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5. 新情境社会生活 牧场里去年养牛的数量比前年减少了$\frac{1}{5}$，今年又比去年增加了$\frac{1}{5}$。今年养牛的数量和前年相比，是增加了还是减少了？
答案
假设前年养牛的数量是100头。
$100×(1-\frac{1}{5})×(1+\frac{1}{5})=96$(头)
96＜100 答:减少了。
$100×(1-\frac{1}{5})×(1+\frac{1}{5})=96$(头)
96＜100 答:减少了。
解析
【分析】
本题是分数实际应用问题，题中未给出前年养牛的具体数量，可采用假设法简化计算：首先明确两次分数变化的单位“1”不同，“去年比前年减少$\frac{1}{5}$”的单位“1”是前年养牛数量，“今年比去年增加$\frac{1}{5}$”的单位“1”是去年养牛数量。我们可以先假设前年养牛数量为一个整百数（如100头，方便计算），先根据前年数量求出去年数量，再根据去年数量求出今年数量，最后将今年数量和前年数量比较大小即可得出结论。
【解析】
假设前年养牛的数量是100头。
先计算去年养牛的数量：
$100×(1-\frac{1}{5})=100×\frac{4}{5}=80$（头）
再计算今年养牛的数量：
$80×(1+\frac{1}{5})=80×\frac{6}{5}=96$（头）
比较今年和前年的数量：$96＜100$，因此今年养牛数量比前年减少。
【答案】
减少了
【知识点】
分数乘法应用，单位“1”识别
【点评】
本题易错点是容易忽略两次变化的单位“1”不同，错误认为先减$\frac{1}{5}$再加$\frac{1}{5}$后数量和原来相等。使用假设法将未知的基准量转化为具体数值，能更直观梳理数量关系，降低解题出错概率。
【难度系数】
0.6
本题是分数实际应用问题，题中未给出前年养牛的具体数量，可采用假设法简化计算：首先明确两次分数变化的单位“1”不同，“去年比前年减少$\frac{1}{5}$”的单位“1”是前年养牛数量，“今年比去年增加$\frac{1}{5}$”的单位“1”是去年养牛数量。我们可以先假设前年养牛数量为一个整百数（如100头，方便计算），先根据前年数量求出去年数量，再根据去年数量求出今年数量，最后将今年数量和前年数量比较大小即可得出结论。
【解析】
假设前年养牛的数量是100头。
先计算去年养牛的数量：
$100×(1-\frac{1}{5})=100×\frac{4}{5}=80$（头）
再计算今年养牛的数量：
$80×(1+\frac{1}{5})=80×\frac{6}{5}=96$（头）
比较今年和前年的数量：$96＜100$，因此今年养牛数量比前年减少。
【答案】
减少了
【知识点】
分数乘法应用，单位“1”识别
【点评】
本题易错点是容易忽略两次变化的单位“1”不同，错误认为先减$\frac{1}{5}$再加$\frac{1}{5}$后数量和原来相等。使用假设法将未知的基准量转化为具体数值，能更直观梳理数量关系，降低解题出错概率。
【难度系数】
0.6
6.有一项工程，甲单独做需要15天完成，乙单独做需要12天完成。现在他们合作若干天后，剩下的由乙单独做3天才能完成，甲、乙合作了多少天？
答案
$(1-\frac{1}{12}×3)÷(\frac{1}{15}+\frac{1}{12})=5$(天)
答:甲、乙合作了5天。
答:甲、乙合作了5天。
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题时先把这项工程的总工作量看作单位“1”。第一步先计算乙单独做3天完成的工作量，用总工作量减去这部分工作量，就能得到甲、乙合作完成的工作量。第二步分别计算甲、乙的工作效率（工作效率=1÷单独完成总工作的时间），相加得到两人合作的效率和。最后根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，用合作的工作量除以合作效率和，即可求出两人合作的天数。
【解析】
解：将这项工程总工作量看作单位“1”。
甲的工作效率为$\frac{1}{15}$，乙的工作效率为$\frac{1}{12}$。
先算乙单独做3天的工作量：$\frac{1}{12}×3=\frac{1}{4}$
再算甲乙合作的工作量：$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
甲乙合作的效率和：$\frac{1}{15}+\frac{1}{12}=\frac{3}{20}$
合作天数：$\frac{3}{4}÷\frac{3}{20}=5$（天）
综合算式：$(1-\frac{1}{12}×3)÷(\frac{1}{15}+\frac{1}{12})=5$（天）
【答案】
甲、乙合作了5天。
【知识点】
工程问题；分数四则混合运算；工作三量关系
【点评】
本题是工程问题的基础考法，解题核心是把总工作量设为单位“1”，梳理清楚各部分工作量对应的工作主体，结合工程问题基本数量关系即可求解，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程问题，解题时先把这项工程的总工作量看作单位“1”。第一步先计算乙单独做3天完成的工作量，用总工作量减去这部分工作量，就能得到甲、乙合作完成的工作量。第二步分别计算甲、乙的工作效率（工作效率=1÷单独完成总工作的时间），相加得到两人合作的效率和。最后根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，用合作的工作量除以合作效率和，即可求出两人合作的天数。
【解析】
解：将这项工程总工作量看作单位“1”。
甲的工作效率为$\frac{1}{15}$，乙的工作效率为$\frac{1}{12}$。
先算乙单独做3天的工作量：$\frac{1}{12}×3=\frac{1}{4}$
再算甲乙合作的工作量：$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
甲乙合作的效率和：$\frac{1}{15}+\frac{1}{12}=\frac{3}{20}$
合作天数：$\frac{3}{4}÷\frac{3}{20}=5$（天）
综合算式：$(1-\frac{1}{12}×3)÷(\frac{1}{15}+\frac{1}{12})=5$（天）
【答案】
甲、乙合作了5天。
【知识点】
工程问题；分数四则混合运算；工作三量关系
【点评】
本题是工程问题的基础考法，解题核心是把总工作量设为单位“1”，梳理清楚各部分工作量对应的工作主体，结合工程问题基本数量关系即可求解，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.7
7. 甲、乙两队一起修一条公路，完成任务时，甲队修了这条公路的$\frac{8}{15}$。如果乙队单独修，那么需要24天。如果甲队单独修，那么需要几天？
答案
$(1-\frac{8}{15})÷\frac{1}{24}=\frac{56}{5}$(天) $\frac{8}{15}÷\frac{56}{5}=\frac{1}{21}$
$1÷\frac{1}{21}=21$(天) 答:需要21天。
解析 先算出乙队修了$1-\frac{8}{15}=\frac{7}{15}$,乙队的工作效率是$\frac{1}{24}$,可以算出两队的合作时间;再用甲队的工作量除以时间得到甲队的工作效率;最后算出甲队单独完成需要的天数。
$1÷\frac{1}{21}=21$(天) 答:需要21天。
解析 先算出乙队修了$1-\frac{8}{15}=\frac{7}{15}$,乙队的工作效率是$\frac{1}{24}$,可以算出两队的合作时间;再用甲队的工作量除以时间得到甲队的工作效率;最后算出甲队单独完成需要的天数。
解析
【分析】
这是工程类应用题，解题时我们把公路总工作量看作单位“1”。首先，两队合作完成修路任务，已知甲队修的占比，可先求出乙队完成的工作量占比；其次，已知乙队单独修的时间，可得到乙队的工作效率，用乙队的工作量除以乙队的工作效率，就能算出两队合作的工作时间（合作时甲乙两队工作时间相等）；接着，用甲队完成的工作量除以合作时间，得到甲队的工作效率；最后用总工作量1除以甲队的工作效率，就能求出甲队单独修需要的天数。
【解析】
1. 计算乙队完成的工作量：
$1-\frac{8}{15}=\frac{7}{15}$
2. 计算两队合作的工作时间：
已知乙队单独修需24天，乙队工作效率为$\frac{1}{24}$，根据$工作时间=工作量÷工作效率$，可得合作时间为：
$\frac{7}{15}÷\frac{1}{24}=\frac{7}{15}×24=\frac{56}{5}$（天）
3. 计算甲队的工作效率：
甲队工作量为$\frac{8}{15}$，工作时间为$\frac{56}{5}$天，可得甲队效率为：
$\frac{8}{15}÷\frac{56}{5}=\frac{8}{15}×\frac{5}{56}=\frac{1}{21}$
4. 计算甲队单独修需要的时间：
$1÷\frac{1}{21}=21$（天）
【答案】
21天
【知识点】
工程问题；工作三量关系；分数四则运算
【点评】
这道题是工程问题的典型拓展题，解题关键是抓住合作时两队工作时间相同的特点，先求出共同工作的时长，再逐步推导甲的工作效率，解题过程中要明确将总工作量看作单位“1”，理清各数量的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.65
这是工程类应用题，解题时我们把公路总工作量看作单位“1”。首先，两队合作完成修路任务，已知甲队修的占比，可先求出乙队完成的工作量占比；其次，已知乙队单独修的时间，可得到乙队的工作效率，用乙队的工作量除以乙队的工作效率，就能算出两队合作的工作时间（合作时甲乙两队工作时间相等）；接着，用甲队完成的工作量除以合作时间，得到甲队的工作效率；最后用总工作量1除以甲队的工作效率，就能求出甲队单独修需要的天数。
【解析】
1. 计算乙队完成的工作量：
$1-\frac{8}{15}=\frac{7}{15}$
2. 计算两队合作的工作时间：
已知乙队单独修需24天，乙队工作效率为$\frac{1}{24}$，根据$工作时间=工作量÷工作效率$，可得合作时间为：
$\frac{7}{15}÷\frac{1}{24}=\frac{7}{15}×24=\frac{56}{5}$（天）
3. 计算甲队的工作效率：
甲队工作量为$\frac{8}{15}$，工作时间为$\frac{56}{5}$天，可得甲队效率为：
$\frac{8}{15}÷\frac{56}{5}=\frac{8}{15}×\frac{5}{56}=\frac{1}{21}$
4. 计算甲队单独修需要的时间：
$1÷\frac{1}{21}=21$（天）
【答案】
21天
【知识点】
工程问题；工作三量关系；分数四则运算
【点评】
这道题是工程问题的典型拓展题，解题关键是抓住合作时两队工作时间相同的特点，先求出共同工作的时长，再逐步推导甲的工作效率，解题过程中要明确将总工作量看作单位“1”，理清各数量的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.65
8. 新素养应用意识 实验小学六年级有三个班，每个班都有45人。六年级一班男生人数与六年级二班女生人数同样多，六年级三班的$\frac{3}{5}$是男生。六年级三个班女生一共有多少人？
答案
$45+45×(1-\frac{3}{5})=63$(人)
答:六年级三个班女生一共有63人。
答:六年级三个班女生一共有63人。
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：①三个班每班45人；②一班男生人数=二班女生人数；③三班男生占三班总人数的$\frac{3}{5}$。首先推导一二班的女生总数：一班总人数=一班男生+一班女生=45，把“一班男生”替换成和它相等的“二班女生”，就能得到二班女生+一班女生=45，也就是一二班女生总和恰好是1个班的总人数。接下来求三班的女生人数，三班男生占$\frac{3}{5}$，那么女生占三班总人数的$1-\frac{3}{5}$，用三班总人数乘女生占比即可得到三班女生数。最后把一二班女生总数和三班女生数相加，就是三个班的女生总人数。
【解析】
1. 计算一、二班女生总人数
已知一班男生人数 = 二班女生人数，且一班总人数=一班男生+一班女生=45人
将等量关系代入可得：一班女生+二班女生=45人，即一、二班女生总人数为45人。
2. 计算三班女生人数
三班女生占本班总人数的分率：$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$
三班女生人数：$45×\frac{2}{5}=18$（人）
3. 计算三个班女生总人数
总人数：$45+18=63$（人）
综合算式：$45+45×(1-\frac{3}{5})=63$（人）
【答案】
六年级三个班女生一共有63人。
【知识点】
分数乘法应用；等量代换；分数四则运算
【点评】
本题的解题关键是通过等量关系推导出前两个班的女生总人数，再结合分数乘法计算第三个班的女生人数，既考察了逻辑推理能力，也检验了分数相关计算的熟练度。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：①三个班每班45人；②一班男生人数=二班女生人数；③三班男生占三班总人数的$\frac{3}{5}$。首先推导一二班的女生总数：一班总人数=一班男生+一班女生=45，把“一班男生”替换成和它相等的“二班女生”，就能得到二班女生+一班女生=45，也就是一二班女生总和恰好是1个班的总人数。接下来求三班的女生人数，三班男生占$\frac{3}{5}$，那么女生占三班总人数的$1-\frac{3}{5}$，用三班总人数乘女生占比即可得到三班女生数。最后把一二班女生总数和三班女生数相加，就是三个班的女生总人数。
【解析】
1. 计算一、二班女生总人数
已知一班男生人数 = 二班女生人数，且一班总人数=一班男生+一班女生=45人
将等量关系代入可得：一班女生+二班女生=45人，即一、二班女生总人数为45人。
2. 计算三班女生人数
三班女生占本班总人数的分率：$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$
三班女生人数：$45×\frac{2}{5}=18$（人）
3. 计算三个班女生总人数
总人数：$45+18=63$（人）
综合算式：$45+45×(1-\frac{3}{5})=63$（人）
【答案】
六年级三个班女生一共有63人。
【知识点】
分数乘法应用；等量代换；分数四则运算
【点评】
本题的解题关键是通过等量关系推导出前两个班的女生总人数，再结合分数乘法计算第三个班的女生人数，既考察了逻辑推理能力，也检验了分数相关计算的熟练度。
【难度系数】
0.7
9. 新素养推理意识 甲、乙、丙三车共运160吨煤，甲车运走的吨数是乙、丙两车运走总吨数的$\frac{2}{3}$，乙车运走的吨数是甲、丙两车运走总吨数的$\frac{1}{3}$。丙车运走多少吨？
思路提示：想一想，甲车运走的吨数占三车运走总吨数的几分之几？乙车呢？
思路提示：想一想，甲车运走的吨数占三车运走总吨数的几分之几？乙车呢？
答案
$160×(1-\frac{2}{3+2}-\frac{1}{3+1})=56$(吨) 答:丙车运走56吨。
解析 甲车运走的吨数是乙、丙两车运走总吨数的$\frac{2}{3}$,则甲车运走的吨数占三车运走总吨数的$\frac{2}{3+2}$;乙车运走的吨数是甲、丙两车运走总吨数的$\frac{1}{3}$,则乙车运走的吨数占三车运走总吨数的$\frac{1}{3+1}$,所以丙车运走的吨数占三车运走总吨数的$(1-\frac{2}{3+2}-\frac{1}{3+1})$,据此求解。
解析 甲车运走的吨数是乙、丙两车运走总吨数的$\frac{2}{3}$,则甲车运走的吨数占三车运走总吨数的$\frac{2}{3+2}$;乙车运走的吨数是甲、丙两车运走总吨数的$\frac{1}{3}$,则乙车运走的吨数占三车运走总吨数的$\frac{1}{3+1}$,所以丙车运走的吨数占三车运走总吨数的$(1-\frac{2}{3+2}-\frac{1}{3+1})$,据此求解。
解析
【分析】
这是一道分数实际应用问题，解题核心是统一单位“1”。题目中甲的分率以乙、丙总运量为单位“1”，乙的分率以甲、丙总运量为单位“1”，两个单位“1”不统一，需要先把两个分率都转化为以三车总运量为单位“1”：①甲是乙丙总吨数的$\frac{2}{3}$，说明甲占2份，乙丙共占3份，总份数为$2+3=5$份，因此甲占总吨数的$\frac{2}{5}$；②乙是甲丙总吨数的$\frac{1}{3}$，说明乙占1份，甲丙共占3份，总份数为$1+3=4$份，因此乙占总吨数的$\frac{1}{4}$。再用单位“1”减去甲、乙的分率，得到丙占总吨数的对应分率，最后用总吨数乘丙的对应分率即可算出丙的运量。
【解析】
首先计算甲车运量占总吨数的分率：$\frac{2}{3+2}=\frac{2}{5}$
再计算乙车运量占总吨数的分率：$\frac{1}{3+1}=\frac{1}{4}$
接着计算丙车运量占总吨数的分率：$1-\frac{2}{5}-\frac{1}{4}=\frac{7}{20}$
最后计算丙车的运量：
$160×(1-\frac{2}{3+2}-\frac{1}{3+1})$
$=160×(1-\frac{2}{5}-\frac{1}{4})$
$=160×\frac{7}{20}$
$=56$（吨）
【答案】
丙车运走56吨。
【知识点】
单位“1”转化、分数乘法应用、分数四则运算
【点评】
本题的解题关键是将不同参照标准的分率统一为以总运量为单位“1”，再结合“总量×对应分率=分量”的关系求解，能够锻炼学生的分率转化能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
这是一道分数实际应用问题，解题核心是统一单位“1”。题目中甲的分率以乙、丙总运量为单位“1”，乙的分率以甲、丙总运量为单位“1”，两个单位“1”不统一，需要先把两个分率都转化为以三车总运量为单位“1”：①甲是乙丙总吨数的$\frac{2}{3}$，说明甲占2份，乙丙共占3份，总份数为$2+3=5$份，因此甲占总吨数的$\frac{2}{5}$；②乙是甲丙总吨数的$\frac{1}{3}$，说明乙占1份，甲丙共占3份，总份数为$1+3=4$份，因此乙占总吨数的$\frac{1}{4}$。再用单位“1”减去甲、乙的分率，得到丙占总吨数的对应分率，最后用总吨数乘丙的对应分率即可算出丙的运量。
【解析】
首先计算甲车运量占总吨数的分率：$\frac{2}{3+2}=\frac{2}{5}$
再计算乙车运量占总吨数的分率：$\frac{1}{3+1}=\frac{1}{4}$
接着计算丙车运量占总吨数的分率：$1-\frac{2}{5}-\frac{1}{4}=\frac{7}{20}$
最后计算丙车的运量：
$160×(1-\frac{2}{3+2}-\frac{1}{3+1})$
$=160×(1-\frac{2}{5}-\frac{1}{4})$
$=160×\frac{7}{20}$
$=56$（吨）
【答案】
丙车运走56吨。
【知识点】
单位“1”转化、分数乘法应用、分数四则运算
【点评】
本题的解题关键是将不同参照标准的分率统一为以总运量为单位“1”，再结合“总量×对应分率=分量”的关系求解，能够锻炼学生的分率转化能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
10. 新趋势思维过程 在一壶水中加入80克椰子粉，搅匀后喝去$\frac{2}{5}$；再加入40克椰子粉，加满水后搅匀，随后喝去$\frac{2}{5}$；再加入40克椰子粉，加满水后搅匀，仍喝去$\frac{2}{5}$。此时壶中剩下的椰汁中有多少克椰子粉？
思路提示：每加入一次椰子粉，壶中椰子粉的质量就改变了，想一想，还有什么也改变了？
思路提示：每加入一次椰子粉，壶中椰子粉的质量就改变了，想一想，还有什么也改变了？
答案
$80×(1-\frac{2}{5})+40=88$(克)
$88×(1-\frac{2}{5})+40=\frac{464}{5}$(克)
$\frac{464}{5}×(1-\frac{2}{5})=\frac{1392}{25}$(克)
答:此时壶中剩下的椰汁中有$\frac{1392}{25}$克椰子粉。
解析 在一壶水中加入80克椰子粉,搅匀后喝去$\frac{2}{5}$,再加入40克椰子粉,这时壶中有80×$(1-\frac{2}{5})+40=88$(克)椰子粉;第二次喝去了以88克为单位“1”的$\frac{2}{5}$,喝完后又加入40克椰子粉,此时壶中有$88×(1-\frac{2}{5})+40=\frac{464}{5}$(克)椰子粉;第三次喝去了以$\frac{464}{5}$克为单位“1”的$\frac{2}{5}$,此时壶中剩下的椰汁中椰子粉的质量是$\frac{464}{5}$克的$(1-\frac{2}{5})$。
$88×(1-\frac{2}{5})+40=\frac{464}{5}$(克)
$\frac{464}{5}×(1-\frac{2}{5})=\frac{1392}{25}$(克)
答:此时壶中剩下的椰汁中有$\frac{1392}{25}$克椰子粉。
解析 在一壶水中加入80克椰子粉,搅匀后喝去$\frac{2}{5}$,再加入40克椰子粉,这时壶中有80×$(1-\frac{2}{5})+40=88$(克)椰子粉;第二次喝去了以88克为单位“1”的$\frac{2}{5}$,喝完后又加入40克椰子粉,此时壶中有$88×(1-\frac{2}{5})+40=\frac{464}{5}$(克)椰子粉;第三次喝去了以$\frac{464}{5}$克为单位“1”的$\frac{2}{5}$,此时壶中剩下的椰汁中椰子粉的质量是$\frac{464}{5}$克的$(1-\frac{2}{5})$。
解析
【分析】
解题时我们按照操作顺序逐步计算即可：每次搅匀后喝去$\frac{2}{5}$，因为椰汁混合均匀，所以剩下的椰子粉质量是当前椰子粉总质量的$1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$；每次喝过后加入新的椰子粉，就用剩余的椰子粉质量加上新加入的椰子粉质量，得到下一次操作前的椰子粉总质量，按这个逻辑分三步计算就能得到最终结果。
【解析】
1. 第一次操作：初始加入80克椰子粉，喝去$\frac{2}{5}$后剩余椰子粉质量为$80×(1-\frac{2}{5})=48$克，加入40克椰子粉后，当前椰子粉总质量为$48+40=88$克；
2. 第二次操作：搅匀后喝去$\frac{2}{5}$，剩余椰子粉质量为$88×(1-\frac{2}{5})=\frac{264}{5}$克，加入40克椰子粉后，当前椰子粉总质量为$\frac{264}{5}+40=\frac{464}{5}$克；
3. 第三次操作：搅匀后喝去$\frac{2}{5}$，剩余椰子粉质量为$\frac{464}{5}×(1-\frac{2}{5})=\frac{1392}{25}$克。
【答案】
$\frac{1392}{25}$克
【知识点】
分数乘法应用，单位“1”识别，分数四则运算
【点评】
本题结合实际生活场景，需要理清每一步操作后椰子粉的质量变化，找准每次计算对应的单位“1”，按顺序逐步推导就能得出结果，能有效锻炼分步解决问题的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
解题时我们按照操作顺序逐步计算即可：每次搅匀后喝去$\frac{2}{5}$，因为椰汁混合均匀，所以剩下的椰子粉质量是当前椰子粉总质量的$1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$；每次喝过后加入新的椰子粉，就用剩余的椰子粉质量加上新加入的椰子粉质量，得到下一次操作前的椰子粉总质量，按这个逻辑分三步计算就能得到最终结果。
【解析】
1. 第一次操作：初始加入80克椰子粉，喝去$\frac{2}{5}$后剩余椰子粉质量为$80×(1-\frac{2}{5})=48$克，加入40克椰子粉后，当前椰子粉总质量为$48+40=88$克；
2. 第二次操作：搅匀后喝去$\frac{2}{5}$，剩余椰子粉质量为$88×(1-\frac{2}{5})=\frac{264}{5}$克，加入40克椰子粉后，当前椰子粉总质量为$\frac{264}{5}+40=\frac{464}{5}$克；
3. 第三次操作：搅匀后喝去$\frac{2}{5}$，剩余椰子粉质量为$\frac{464}{5}×(1-\frac{2}{5})=\frac{1392}{25}$克。
【答案】
$\frac{1392}{25}$克
【知识点】
分数乘法应用，单位“1”识别，分数四则运算
【点评】
本题结合实际生活场景，需要理清每一步操作后椰子粉的质量变化，找准每次计算对应的单位“1”，按顺序逐步推导就能得出结果，能有效锻炼分步解决问题的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
