登录
7.木杆AB斜靠在墙壁上($∠ OAB=30°$),当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿射线OM方向滑动,下列各图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是（
D
）答案
7.D
解析
【分析】
解决这道题首先要抓住运动过程中的不变量：木杆AB的长度始终保持不变，且滑动过程中△AOB始终是直角三角形，∠AOB=90°。我们可以先回忆直角三角形斜边中线的性质，得到中点P到直角顶点O的距离是定值，再结合圆的定义判断P点的运动轨迹，最后结合P的起点和终点位置匹配正确选项。
【解析】
连接OP，
∵∠AOB=90°，P是AB的中点，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$OP=\frac{1}{2}AB$。
∵木杆AB滑动过程中自身长度不变，
∴OP的长度是定值，即点P到定点O的距离始终等于定长$\frac{1}{2}AB$。
根据圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合是圆，可知点P的运动轨迹是以O为圆心、OP长为半径的一段圆弧。
初始时P为AB中点，当木杆最终滑到水平位置（A落到O点，AB与OM重合）时，P的落点恰好是初始位置的B点（初始时∠OAB=30°，$OB=\frac{1}{2}AB=OP$），因此P的下落路线是从初始P点到B点的一段以O为圆心的圆弧，只有选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；圆的定义
【点评】
本题属于动态几何的轨迹类问题，解题核心是挖掘运动中的不变量，结合基础几何性质判断轨迹形状，能很好地考查对几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要抓住运动过程中的不变量：木杆AB的长度始终保持不变，且滑动过程中△AOB始终是直角三角形，∠AOB=90°。我们可以先回忆直角三角形斜边中线的性质，得到中点P到直角顶点O的距离是定值，再结合圆的定义判断P点的运动轨迹，最后结合P的起点和终点位置匹配正确选项。
【解析】
连接OP，
∵∠AOB=90°，P是AB的中点，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$OP=\frac{1}{2}AB$。
∵木杆AB滑动过程中自身长度不变，
∴OP的长度是定值，即点P到定点O的距离始终等于定长$\frac{1}{2}AB$。
根据圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合是圆，可知点P的运动轨迹是以O为圆心、OP长为半径的一段圆弧。
初始时P为AB中点，当木杆最终滑到水平位置（A落到O点，AB与OM重合）时，P的落点恰好是初始位置的B点（初始时∠OAB=30°，$OB=\frac{1}{2}AB=OP$），因此P的下落路线是从初始P点到B点的一段以O为圆心的圆弧，只有选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；圆的定义
【点评】
本题属于动态几何的轨迹类问题，解题核心是挖掘运动中的不变量，结合基础几何性质判断轨迹形状，能很好地考查对几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
8.如图,在以原点为圆心,2为半径的$\odot O$上有一点C,$∠ COA=45°$,则点C的坐标为
$(-\sqrt{2},\sqrt{2})$
. 答案
8.$(-\sqrt{2},\sqrt{2})$
解析
【分析】
解题时首先观察点C所在象限，确定其横、纵坐标的符号；再结合圆的半径为2，∠COA=45°的条件，过点C向x轴作垂线构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质计算出横、纵坐标的绝对值，最后结合符号即可得到点C的坐标。
【解析】
过点C作CD⊥x轴于点D，则△CDO为直角三角形。
∵⊙O的半径为2，
∴OC=2。
又
∵∠COA=45°，
∴△CDO是等腰直角三角形，OD=CD。
在Rt△CDO中，由勾股定理得：$OD^2+CD^2=OC^2$，
代入得$2OD^2=2^2=4$，解得$OD=CD=\sqrt{2}$（长度为正，舍去负根）。
∵点C在第二象限，
∴点C的横坐标为负，纵坐标为正，
即C点坐标为$(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$。
【答案】
$(-\sqrt{2},\sqrt{2})$
【知识点】
圆的基本性质；平面直角坐标系点的坐标特征；勾股定理的应用
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础题型，解题关键是构造直角三角形，结合象限内坐标的符号特征求解，考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察点C所在象限，确定其横、纵坐标的符号；再结合圆的半径为2，∠COA=45°的条件，过点C向x轴作垂线构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质计算出横、纵坐标的绝对值，最后结合符号即可得到点C的坐标。
【解析】
过点C作CD⊥x轴于点D，则△CDO为直角三角形。
∵⊙O的半径为2，
∴OC=2。
又
∵∠COA=45°，
∴△CDO是等腰直角三角形，OD=CD。
在Rt△CDO中，由勾股定理得：$OD^2+CD^2=OC^2$，
代入得$2OD^2=2^2=4$，解得$OD=CD=\sqrt{2}$（长度为正，舍去负根）。
∵点C在第二象限，
∴点C的横坐标为负，纵坐标为正，
即C点坐标为$(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$。
【答案】
$(-\sqrt{2},\sqrt{2})$
【知识点】
圆的基本性质；平面直角坐标系点的坐标特征；勾股定理的应用
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础题型，解题关键是构造直角三角形，结合象限内坐标的符号特征求解，考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
9.如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形.若AB=3，BC=4，求DF的长. 
第9题图
第9题图答案
9.解:如答图,连接OB,OE.
∵四边形OABC是矩形,
∴∠CBA=90°,OB=AC.
在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,
∴AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$,
∴OB=AC=5,
∴OE=OB=5.
∵四边形ODEF为矩形,
∴DF=OE=5.
第9题答图解析
【分析】
解题可运用转化思想逐步推导：①首先观察待求线段DF是矩形ODEF的对角线，根据矩形对角线相等的性质，可知DF等于该矩形的另一条对角线OE，而OE是半圆O的半径，因此只需先求出半圆的半径；②左侧矩形OABC的对角线OB同样是半圆O的半径，且矩形内角为直角，可在Rt△ABC中通过勾股定理求出AC的长度，再利用矩形对角线相等的性质得到OB=AC，即可得到半径长度，最终求出DF的长。
【解析】
解：如答图，连接OB，OE。
∵四边形OABC是矩形，
∴∠CBA=90°，矩形对角线相等，即$OB=AC$。
在$Rt△ ABC$中，$AB=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴$OB=AC=5$。
∵OB、OE均为半圆O的半径，
∴$OE=OB=5$。
又
∵四边形ODEF为矩形，矩形对角线相等，
∴$DF=OE=5$。
【答案】
DF的长为5。
第9题答图
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，圆的半径相等
【点评】
本题结合了矩形与圆的基础性质，核心考查转化思想，通过矩形对角线相等的性质将待求线段转化为圆的半径，再结合勾股定理计算即可，解题关键是找到待求量和已知条件之间的转化桥梁。
【难度系数】
0.8
解题可运用转化思想逐步推导：①首先观察待求线段DF是矩形ODEF的对角线，根据矩形对角线相等的性质，可知DF等于该矩形的另一条对角线OE，而OE是半圆O的半径，因此只需先求出半圆的半径；②左侧矩形OABC的对角线OB同样是半圆O的半径，且矩形内角为直角，可在Rt△ABC中通过勾股定理求出AC的长度，再利用矩形对角线相等的性质得到OB=AC，即可得到半径长度，最终求出DF的长。
【解析】
解：如答图，连接OB，OE。
∵四边形OABC是矩形，
∴∠CBA=90°，矩形对角线相等，即$OB=AC$。
在$Rt△ ABC$中，$AB=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴$OB=AC=5$。
∵OB、OE均为半圆O的半径，
∴$OE=OB=5$。
又
∵四边形ODEF为矩形，矩形对角线相等，
∴$DF=OE=5$。
【答案】
DF的长为5。
第9题答图【知识点】
矩形的性质，勾股定理，圆的半径相等
【点评】
本题结合了矩形与圆的基础性质，核心考查转化思想，通过矩形对角线相等的性质将待求线段转化为圆的半径，再结合勾股定理计算即可，解题关键是找到待求量和已知条件之间的转化桥梁。
【难度系数】
0.8
10.如图,在四边形ABCD中,∠ABC,∠ADC均为直角,且AB=3,BC=4,AD=2.
(1)求证:A,B,C,D四个点都在同一个圆上;
(2)求这个圆的半径,并计算它的面积.
(1)求证:A,B,C,D四个点都在同一个圆上;
(2)求这个圆的半径,并计算它的面积.
答案
10.(1)证明:如答图,取AC的中点E,连接DE,BE.
∵∠ABC,∠ADC均为直角,
∴△ABC和△ADC均为直角三角形,
∴AE=BE=CE=DE,
∴A,B,C,D四个点都在以点E为圆心的同一个圆上.
(2)解:在Rt△ABC中,$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5$,
∴该圆的半径r为2.5,$\therefore S=π r^2=6.25π$.
第10题答图解析
【分析】
(1) 要证明四点共圆，根据圆的定义，只需找到一个定点，使得A、B、C、D四个点到该定点的距离相等即可。观察图形可知△ABC和△ADC都是直角三角形，且共用斜边AC，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，取AC中点E，可推出四个点到E的距离相等，即可得证。
(2) 该圆的直径为公共斜边AC，先在Rt△ABC中用勾股定理求出AC的长度，即可得到半径，再代入圆的面积公式计算面积即可。
【解析】
(1) 证明：如答图，取AC的中点E，连接DE，BE。
∵∠ABC、∠ADC均为直角，
∴△ABC和△ADC均为直角三角形，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得AE=BE=CE，DE=AE=CE，
∴AE=BE=CE=DE，
∴A、B、C、D四个点都在以点E为圆心的同一个圆上。
(2) 解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴该圆的半径$r=\frac{AC}{2}=2.5$，
∴圆的面积$S=πr^2=π×2.5^2=6.25π$。
【答案】
(1) 证明：如答图，取AC的中点E，连接DE，BE。
∵∠ABC，∠ADC均为直角，
∴△ABC和△ADC均为直角三角形，
∴AE=BE=CE=DE，
∴A，B，C，D四个点都在以点E为圆心的同一个圆上。
(2) 解：在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5$，
∴该圆的半径r为2.5，$\therefore S=π r^2=6.25π$。
第10题答图
【知识点】
圆的定义；直角三角形斜边中线性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何题，结合直角三角形性质和圆的定义进行考察，解题关键是利用两个直角三角形共斜边的特点找到公共圆心，熟练掌握相关性质就能快速解答。
【难度系数】
0.75
(1) 要证明四点共圆，根据圆的定义，只需找到一个定点，使得A、B、C、D四个点到该定点的距离相等即可。观察图形可知△ABC和△ADC都是直角三角形，且共用斜边AC，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，取AC中点E，可推出四个点到E的距离相等，即可得证。
(2) 该圆的直径为公共斜边AC，先在Rt△ABC中用勾股定理求出AC的长度，即可得到半径，再代入圆的面积公式计算面积即可。
【解析】
(1) 证明：如答图，取AC的中点E，连接DE，BE。
∵∠ABC、∠ADC均为直角，
∴△ABC和△ADC均为直角三角形，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得AE=BE=CE，DE=AE=CE，
∴AE=BE=CE=DE，
∴A、B、C、D四个点都在以点E为圆心的同一个圆上。
(2) 解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴该圆的半径$r=\frac{AC}{2}=2.5$，
∴圆的面积$S=πr^2=π×2.5^2=6.25π$。
【答案】
(1) 证明：如答图，取AC的中点E，连接DE，BE。
∵∠ABC，∠ADC均为直角，
∴△ABC和△ADC均为直角三角形，
∴AE=BE=CE=DE，
∴A，B，C，D四个点都在以点E为圆心的同一个圆上。
(2) 解：在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5$，
∴该圆的半径r为2.5，$\therefore S=π r^2=6.25π$。
第10题答图【知识点】
圆的定义；直角三角形斜边中线性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何题，结合直角三角形性质和圆的定义进行考察，解题关键是利用两个直角三角形共斜边的特点找到公共圆心，熟练掌握相关性质就能快速解答。
【难度系数】
0.75
