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11. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3 cm,AC=4 cm,AD是高线,AE是中线.
(1)以点A为圆心,3 cm为半径作⊙A,则点B,D,E,C与⊙A的位置关系怎样?
(2)若以点A为圆心作⊙A,使B,C,D三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,求⊙A的半径r的取值范围.
(1)以点A为圆心,3 cm为半径作⊙A,则点B,D,E,C与⊙A的位置关系怎样?
(2)若以点A为圆心作⊙A,使B,C,D三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,求⊙A的半径r的取值范围.
答案
11.解:(1)
∵∠BAC=90°,AB=3 cm,AC=4 cm,
∴$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5$ cm.
∵$\frac{1}{2}AD· BC=\frac{1}{2}AB· AC$,$\therefore AD=\frac{12}{5}$ cm.
∵AE是中线,$\therefore AE=\frac{1}{2}BC=2.5$ cm.
∵r=3 cm,
∴AB=r,AD＜r,AE＜r,AC＞r,
∴点B在⊙A上,点D和点E在⊙A内,点C在⊙A外.
(2)⊙A的半径r的取值范围为$\frac{12}{5}$ cm＜r＜4 cm.
∵∠BAC=90°,AB=3 cm,AC=4 cm,
∴$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5$ cm.
∵$\frac{1}{2}AD· BC=\frac{1}{2}AB· AC$,$\therefore AD=\frac{12}{5}$ cm.
∵AE是中线,$\therefore AE=\frac{1}{2}BC=2.5$ cm.
∵r=3 cm,
∴AB=r,AD＜r,AE＜r,AC＞r,
∴点B在⊙A上,点D和点E在⊙A内,点C在⊙A外.
(2)⊙A的半径r的取值范围为$\frac{12}{5}$ cm＜r＜4 cm.
解析
【分析】
(1)判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离和半径的大小：距离大于半径则点在圆外，等于半径则点在圆上，小于半径则点在圆内。首先用勾股定理计算Rt△ABC的斜边BC，再通过面积法求高线AD的长度，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求中线AE的长度，最后将各点到A的距离与半径3cm对比即可判定位置。
(2)要满足B、C、D三点中至少一点在圆内、至少一点在圆外，只需半径r大于三点到A点距离的最小值，小于三点到A点距离的最大值即可，先确定三个点到A的距离，找到最值即可得到r的取值范围。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm，AC=4cm，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm。
∵AD是斜边BC的高线，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$，代入数值解得：$AD=\frac{AB· AC}{BC}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$ cm。
∵AE是Rt△ABC斜边BC的中线，
∴$AE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×5=2.5$ cm。
已知⊙A半径r=3cm，对比得：AB=3cm=r，$AD=\frac{12}{5}=2.4$cm ＜ 3cm，AE=2.5cm ＜ 3cm，AC=4cm ＞ 3cm，
∴点B在⊙A上，点D和点E在⊙A内，点C在⊙A外。
(2) 点B、C、D到圆心A的距离分别为AB=3cm，AC=4cm，$AD=\frac{12}{5}$cm，其中最小距离为$AD=\frac{12}{5}$cm，最大距离为AC=4cm。
要使三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则半径r需满足$\frac{12}{5}$cm ＜ r ＜ 4cm。
【答案】
(1) 点B在⊙A上，点D和点E在⊙A内，点C在⊙A外；
(2) $\frac{12}{5}$cm ＜ r ＜ 4cm
【知识点】
点与圆的位置关系；勾股定理；直角三角形的性质
【点评】
本题重点考查点与圆位置关系的判定，解题的关键是掌握点到圆心的距离与半径的大小关系和点位置的对应规律，结合直角三角形的相关性质计算各线段长度，第二问需要将文字描述的条件转化为半径的取值范围，锻炼条件转化的能力。
【难度系数】
0.7
(1)判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离和半径的大小：距离大于半径则点在圆外，等于半径则点在圆上，小于半径则点在圆内。首先用勾股定理计算Rt△ABC的斜边BC，再通过面积法求高线AD的长度，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求中线AE的长度，最后将各点到A的距离与半径3cm对比即可判定位置。
(2)要满足B、C、D三点中至少一点在圆内、至少一点在圆外，只需半径r大于三点到A点距离的最小值，小于三点到A点距离的最大值即可，先确定三个点到A的距离，找到最值即可得到r的取值范围。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm，AC=4cm，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm。
∵AD是斜边BC的高线，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$，代入数值解得：$AD=\frac{AB· AC}{BC}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$ cm。
∵AE是Rt△ABC斜边BC的中线，
∴$AE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×5=2.5$ cm。
已知⊙A半径r=3cm，对比得：AB=3cm=r，$AD=\frac{12}{5}=2.4$cm ＜ 3cm，AE=2.5cm ＜ 3cm，AC=4cm ＞ 3cm，
∴点B在⊙A上，点D和点E在⊙A内，点C在⊙A外。
(2) 点B、C、D到圆心A的距离分别为AB=3cm，AC=4cm，$AD=\frac{12}{5}$cm，其中最小距离为$AD=\frac{12}{5}$cm，最大距离为AC=4cm。
要使三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则半径r需满足$\frac{12}{5}$cm ＜ r ＜ 4cm。
【答案】
(1) 点B在⊙A上，点D和点E在⊙A内，点C在⊙A外；
(2) $\frac{12}{5}$cm ＜ r ＜ 4cm
【知识点】
点与圆的位置关系；勾股定理；直角三角形的性质
【点评】
本题重点考查点与圆位置关系的判定，解题的关键是掌握点到圆心的距离与半径的大小关系和点位置的对应规律，结合直角三角形的相关性质计算各线段长度，第二问需要将文字描述的条件转化为半径的取值范围，锻炼条件转化的能力。
【难度系数】
0.7
12.如图,点A(2,0),M(0,1)分别是x轴和y轴上的两点,B是以点M为圆心,1为半径的圆上的一个动点,连接AB,C是AB的中点,连接OC,求OC长度的最大值.
答案
12.解:设点D是点A关于y轴的对称点,连接DB.
∵OA=OD,AC=BC,$\therefore OC// BD,OC=\frac{1}{2}BD$,
∴当BD取得最大值时,OC的值最大.
当点D,M,B共线时,BD的值最大,如答图.
∵A(2,0),M(0,1),
∴OA=2,OM=1,
∴OD=OA=2,MB=MO=1.
∵$DM=\sqrt{OD^2+OM^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,
∴$BD=\sqrt{5}+1$,$\therefore OC=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,
即OC长度的最大值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
第12题答图解析
【分析】
要求OC的最大值，已知C是AB中点，O是AD的中点（构造A关于y轴的对称点D可得），可通过三角形中位线性质将OC的长度转化为BD的一半，因此求OC最大值等价于求BD的最大值。B是以M为圆心的圆上的动点，圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加半径，因此当D、M、B三点共线且B在DM延长线上时BD最大，代入计算即可得到OC的最大值。
【解析】
解：设点D是点A关于y轴的对称点，连接DB。
∵OA=OD，AC=BC，
∴OC是△ABD的中位线，
∴$OC// BD$，且$OC=\frac{1}{2}BD$，
因此当BD取得最大值时，OC的长度最大。
∵B是$\odot M$上的动点，圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加半径，
∴当D、M、B三点共线，且B在DM的延长线上时，BD取得最大值，如答图所示。
已知$A(2,0)$，$M(0,1)$，
∴$OA=2$，$OM=1$，$OD=OA=2$，$\odot M$的半径$MB=1$。
在$Rt△ DOM$中，由勾股定理得：
$DM=\sqrt{OD^2+OM^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
此时BD的最大值为$DM + MB = \sqrt{5}+1$，
∴OC的最大值为$\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
【答案】
OC长度的最大值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ 第12题答图
【知识点】
三角形中位线定理，点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题是圆的最值类常见题型，解题核心是利用中位线性质将未知线段的最值转化为圆外一点到圆上点的最值问题，体现了转化思想的应用，需要熟练掌握点与圆的位置关系对应的距离最值规律。
【难度系数】
0.6
要求OC的最大值，已知C是AB中点，O是AD的中点（构造A关于y轴的对称点D可得），可通过三角形中位线性质将OC的长度转化为BD的一半，因此求OC最大值等价于求BD的最大值。B是以M为圆心的圆上的动点，圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加半径，因此当D、M、B三点共线且B在DM延长线上时BD最大，代入计算即可得到OC的最大值。
【解析】
解：设点D是点A关于y轴的对称点，连接DB。
∵OA=OD，AC=BC，
∴OC是△ABD的中位线，
∴$OC// BD$，且$OC=\frac{1}{2}BD$，
因此当BD取得最大值时，OC的长度最大。
∵B是$\odot M$上的动点，圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加半径，
∴当D、M、B三点共线，且B在DM的延长线上时，BD取得最大值，如答图所示。
已知$A(2,0)$，$M(0,1)$，
∴$OA=2$，$OM=1$，$OD=OA=2$，$\odot M$的半径$MB=1$。
在$Rt△ DOM$中，由勾股定理得：
$DM=\sqrt{OD^2+OM^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
此时BD的最大值为$DM + MB = \sqrt{5}+1$，
∴OC的最大值为$\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
【答案】
OC长度的最大值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
第12题答图【知识点】
三角形中位线定理，点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题是圆的最值类常见题型，解题核心是利用中位线性质将未知线段的最值转化为圆外一点到圆上点的最值问题，体现了转化思想的应用，需要熟练掌握点与圆的位置关系对应的距离最值规律。
【难度系数】
0.6
