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3. 抛物线 $ y = x^2 + 2x - 3 $ 与x轴交于两点，则这两交点之间的距离为
4
。答案
3. 4
4.抛物线$y=x^2+4x-c$与x轴只有一个公共点，则c的值为
-4
.答案
4. -4
5.已知二次函数$y=x^2+mx+m-2$，求证:无论$m$为何实数,此函数图象与$x$轴总有两个不同的交点.
答案
5. 证明 对于二次函数$y=x^2+mx+m-2$，当$y=0$时，$x^2+mx+m-2=0$，此时$\Delta=m^2-4×1×(m-2)=(m-2)^2+4＞0$，
∴方程$x^2+mx+m-2=0$有两个不相等的实数根，
∴无论$m$为何实数，此函数图象与$x$轴总有两个不同的交点.
∴方程$x^2+mx+m-2=0$有两个不相等的实数根，
∴无论$m$为何实数，此函数图象与$x$轴总有两个不同的交点.
6. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴的交点为$(m,0),(n,0)$，则方程$ax^2 -bx +c=0$的根是(
A.$m,n$
B.$-m,n$
C.$m,-n$
D.$-m,-n$
D
).A.$m,n$
B.$-m,n$
C.$m,-n$
D.$-m,-n$
答案
6. D
7.如图，抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的两个交点坐标分别为$A(-2,4)$，$B(1,1)$，则方程$ax^2=bx+c$的根是
-2或1
。答案
7. -2或1
8.如图,某种礼炮从点O竖直升空,到达点A引爆后,在无风状态下,某一填充物以抛物线状向外喷发.建立如图所示的平面直角坐标系,右侧为填充物的飞行路径,可用函数解析式$y=-\frac{1}{18}x^2+\frac{2}{9}x+\frac{448}{9}$(其中x表示填充物的水平飞行距离,y表示其飞行高度,单位:m)表示.在点O右侧35 m处有一水池,该填充物能否落入水池?请说明理由.
答案
8. 解 该填充物不能落入水池.理由如下：
当$y=0$时，$-\frac{1}{18}x^2+\frac{2}{9}x+\frac{448}{9}=0$.
解得$x_1=32,x_2=-28$(不合题意，舍去).
即抛物线与$x$轴正半轴交于点$(32,0)$.
因为$32＜35$，所以该填充物不能落入水池.
当$y=0$时，$-\frac{1}{18}x^2+\frac{2}{9}x+\frac{448}{9}=0$.
解得$x_1=32,x_2=-28$(不合题意，舍去).
即抛物线与$x$轴正半轴交于点$(32,0)$.
因为$32＜35$，所以该填充物不能落入水池.
9.已知抛物线$y=mx^2+(3-2m)x+m-2$（$m≠0$）与$x$轴有两个不同的交点.
(1)求$m$的取值范围；
(2)判断点$P(1,1)$是否在该抛物线上；
(3)当$m=1$时,求抛物线的顶点$Q$及点$P(1,1)$关于抛物线的对称轴对称的点$P'$的坐标.
(1)求$m$的取值范围；
(2)判断点$P(1,1)$是否在该抛物线上；
(3)当$m=1$时,求抛物线的顶点$Q$及点$P(1,1)$关于抛物线的对称轴对称的点$P'$的坐标.
答案
9. 解 (1) 根据题意，得$(3-2m)^2-4m(m-2)＞0$,解得$m＜\frac{9}{4}$. 又$m≠0$,所以$m$的取值范围是$m＜\frac{9}{4}$,且$m≠0$.
(2)把$x=1$代入，得$y=m+(3-2m)+m-2=1$,所以点$P(1,1)$在该抛物线上.
(3)当$m=1$时，$y=x^2+x-1=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4}$,所以$Q(-\frac{1}{2},-\frac{5}{4})$. 根据对称性，令$x^2+x-1=1$,解得$x_1=-2,x_2=1$. 所以点$P'$的坐标为$(-2,1)$.
(2)把$x=1$代入，得$y=m+(3-2m)+m-2=1$,所以点$P(1,1)$在该抛物线上.
(3)当$m=1$时，$y=x^2+x-1=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4}$,所以$Q(-\frac{1}{2},-\frac{5}{4})$. 根据对称性，令$x^2+x-1=1$,解得$x_1=-2,x_2=1$. 所以点$P'$的坐标为$(-2,1)$.
