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1. (2026永州期末)下列方程是一元二次方程的是（
A.$ax^2 + bx + c = 0$
B.$x^2 + 3x = 0$
C.$x^2 + 3x = x^2 - 1$
D.$x + \frac{1}{x} = 2$
B
）A.$ax^2 + bx + c = 0$
B.$x^2 + 3x = 0$
C.$x^2 + 3x = x^2 - 1$
D.$x + \frac{1}{x} = 2$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断一个方程是不是一元二次方程，首先需明确一元二次方程的判定标准：必须同时满足4个条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数是2；④二次项的系数不为0。解题时我们按照这个标准逐一排查每个选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，需同时满足：整式方程、单未知数、最高次数为2、二次项系数不为0这几个条件。
对各选项逐一分析：
选项A：$ax^2 + bx + c = 0$，未注明$a≠0$，若$a=0$时方程最高次数不是2，不符合一元二次方程定义，排除；
选项B：$x^2 + 3x = 0$，是整式方程，仅含未知数$x$，$x$的最高次数为2，二次项系数为1≠0，完全符合一元二次方程定义；
选项C：$x^2 + 3x = x^2 - 1$，移项化简后得$3x + 1 = 0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，排除；
选项D：$x + \frac{1}{x} = 2$，分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，排除。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式方程的概念
3. 方程化简
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确掌握一元二次方程的判定条件，需特别注意“二次项系数不为0”“必须为整式方程”这两个易错点，避免误选A、D选项。
【难度系数】
0.85
要判断一个方程是不是一元二次方程，首先需明确一元二次方程的判定标准：必须同时满足4个条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数是2；④二次项的系数不为0。解题时我们按照这个标准逐一排查每个选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，需同时满足：整式方程、单未知数、最高次数为2、二次项系数不为0这几个条件。
对各选项逐一分析：
选项A：$ax^2 + bx + c = 0$，未注明$a≠0$，若$a=0$时方程最高次数不是2，不符合一元二次方程定义，排除；
选项B：$x^2 + 3x = 0$，是整式方程，仅含未知数$x$，$x$的最高次数为2，二次项系数为1≠0，完全符合一元二次方程定义；
选项C：$x^2 + 3x = x^2 - 1$，移项化简后得$3x + 1 = 0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，排除；
选项D：$x + \frac{1}{x} = 2$，分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，排除。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式方程的概念
3. 方程化简
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确掌握一元二次方程的判定条件，需特别注意“二次项系数不为0”“必须为整式方程”这两个易错点，避免误选A、D选项。
【难度系数】
0.85
2. 若关于$x$的方程$(m+1)x^{m^2+1} -3x +2=0$是一元二次方程，则$m$的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$\pm1$
D.无法确定
B
）A.$-1$
B.$1$
C.$\pm1$
D.无法确定
答案
2. B
解析
【分析】
要确定m的值，需结合一元二次方程的定义分析：一元二次方程需同时满足两个核心条件：①未知数的最高次数为2；②二次项的系数不能为0（否则二次项消失，方程就不是二次方程了）。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能值，再结合二次项系数不为0排除不符合要求的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵关于x的方程$(m+1)x^{m^2+1} -3x +2=0$是一元二次方程
∴需满足以下两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即：
$m^2+1=2$
移项得$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0，即：
$m+1≠0$，解得$m≠-1$
综上，排除$m=-1$，可得$m=1$
故选B
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的成立条件
【点评】
本题是基础概念题，解题的关键是牢记一元二次方程的判定要求，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，误选C选项，做题时要注意验证两个判定条件都满足后再确定最终结果。
【难度系数】
0.7
要确定m的值，需结合一元二次方程的定义分析：一元二次方程需同时满足两个核心条件：①未知数的最高次数为2；②二次项的系数不能为0（否则二次项消失，方程就不是二次方程了）。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能值，再结合二次项系数不为0排除不符合要求的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵关于x的方程$(m+1)x^{m^2+1} -3x +2=0$是一元二次方程
∴需满足以下两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即：
$m^2+1=2$
移项得$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0，即：
$m+1≠0$，解得$m≠-1$
综上，排除$m=-1$，可得$m=1$
故选B
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的成立条件
【点评】
本题是基础概念题，解题的关键是牢记一元二次方程的判定要求，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，误选C选项，做题时要注意验证两个判定条件都满足后再确定最终结果。
【难度系数】
0.7
3. (2025长沙月考)若关于x的一元二次方程
$mx^2 - 2x + m^2 = 3x^2 + 9$有实数根$x=0$，则
（
A.$m≠0$
B.$m=3$
C.$m=-3$
D.$m=±3$
$mx^2 - 2x + m^2 = 3x^2 + 9$有实数根$x=0$，则
（
C
）A.$m≠0$
B.$m=3$
C.$m=-3$
D.$m=±3$
答案
3. C
解析
【分析】
解题需抓住两个核心条件：①该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②x=0是方程的实数根，将x=0代入方程等式成立。我们先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再代入x=0求出m的可能取值，最后结合二次项系数不为0的限制筛选出正确结果即可。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
移项合并同类项得：$(m-3)x^2 - 2x + m^2 - 9 = 0$
第一步，根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即：
$m - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$
第二步，因为$x=0$是方程的实数根，将$x=0$代入整理后的方程：
$(m-3)×0^2 - 2×0 + m^2 - 9 = 0$
化简得：$m^2 - 9 = 0$，解得$m = 3$或$m = -3$
结合之前$m ≠ 3$的限制，可得$m = -3$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础易错题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐藏条件，直接得出m=±3的错误结论，审题时要注意抓住题干中的限定条件。
【难度系数】
0.7
解题需抓住两个核心条件：①该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②x=0是方程的实数根，将x=0代入方程等式成立。我们先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再代入x=0求出m的可能取值，最后结合二次项系数不为0的限制筛选出正确结果即可。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
移项合并同类项得：$(m-3)x^2 - 2x + m^2 - 9 = 0$
第一步，根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即：
$m - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$
第二步，因为$x=0$是方程的实数根，将$x=0$代入整理后的方程：
$(m-3)×0^2 - 2×0 + m^2 - 9 = 0$
化简得：$m^2 - 9 = 0$，解得$m = 3$或$m = -3$
结合之前$m ≠ 3$的限制，可得$m = -3$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础易错题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐藏条件，直接得出m=±3的错误结论，审题时要注意抓住题干中的限定条件。
【难度系数】
0.7
4. (2026 临汾月考)某同学解一元二次方程$2x^2 - 6x + 1 = 0$的解题步骤如下:
解:$2x^2 - 6x = -1$,①
$x^2 - 3x = -\dfrac{1}{2}$,②
$x^2 - 3x + (\dfrac{3}{2})^2 = -\dfrac{1}{2}$,③
$(x - \dfrac{3}{2})^2 = -\dfrac{1}{2}$,④
∴该方程没有实数根.⑤
(1)这位同学解方程过程中从第
(2)请写出用配方法解方程$2x^2 - 6x + 1 = 0$的正确过程.
解:$2x^2 - 6x = -1$,①
$x^2 - 3x = -\dfrac{1}{2}$,②
$x^2 - 3x + (\dfrac{3}{2})^2 = -\dfrac{1}{2}$,③
$(x - \dfrac{3}{2})^2 = -\dfrac{1}{2}$,④
∴该方程没有实数根.⑤
(1)这位同学解方程过程中从第
③
步开始出现错误,错误原因是方程两边未同时加上$(\dfrac{3}{2})^2$
.(2)请写出用配方法解方程$2x^2 - 6x + 1 = 0$的正确过程.
答案
4. (1) ③ 方程两边未同时加上$(\dfrac{3}{2})^2$
(2) 解:$2x^2 - 6x + 1 = 0$,
$2x^2 - 6x = -1$,
$x^2 - 3x = -\dfrac{1}{2}$,
$x^2 - 3x + (\dfrac{3}{2})^2 = -\dfrac{1}{2} + (\dfrac{3}{2})^2$,
$(x-\dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{7}{4}$,
$\therefore x-\dfrac{3}{2} = \pm\dfrac{\sqrt{7}}{2}$,
$\therefore x-\dfrac{3}{2} = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$ 或 $x-\dfrac{3}{2} = -\dfrac{\sqrt{7}}{2}$,
$\therefore x_1 = \dfrac{\sqrt{7}}{2} + \dfrac{3}{2},x_2 = -\dfrac{\sqrt{7}}{2} + \dfrac{3}{2}$.
(2) 解:$2x^2 - 6x + 1 = 0$,
$2x^2 - 6x = -1$,
$x^2 - 3x = -\dfrac{1}{2}$,
$x^2 - 3x + (\dfrac{3}{2})^2 = -\dfrac{1}{2} + (\dfrac{3}{2})^2$,
$(x-\dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{7}{4}$,
$\therefore x-\dfrac{3}{2} = \pm\dfrac{\sqrt{7}}{2}$,
$\therefore x-\dfrac{3}{2} = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$ 或 $x-\dfrac{3}{2} = -\dfrac{\sqrt{7}}{2}$,
$\therefore x_1 = \dfrac{\sqrt{7}}{2} + \dfrac{3}{2},x_2 = -\dfrac{\sqrt{7}}{2} + \dfrac{3}{2}$.
解析
【分析】
(1) 本题考查配方法解一元二次方程的正误判断，需结合配方法规则和等式性质分析：配方法配方时，等式两边需同时加上一次项系数一半的平方，才能保证等式成立。观察解题步骤，第③步仅在方程左边加了$(\dfrac{3}{2})^2$，右边未加，因此从此步开始出错。
(2) 正确用配方法解方程的思路：先移项将常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1，随后左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式，再开平方求解即可。
【解析】
(1) 逐步骤核对配方法要求：
步骤①移项，正确；步骤②二次项系数化为1，正确；步骤③配方时，仅左边加了$(\dfrac{3}{2})^2$，右边没有同时加该数，违背等式的基本性质，因此从第③步开始出错，错误原因为方程两边未同时加上$(\dfrac{3}{2})^2$。
(2) 正确配方法过程：
$2x^2 - 6x + 1 = 0$
移项得：$2x^2 - 6x = -1$
二次项系数化为1得：$x^2 - 3x = -\dfrac{1}{2}$
配方，两边同时加$(\dfrac{3}{2})^2$得：$x^2 - 3x + (\dfrac{3}{2})^2 = -\dfrac{1}{2} + (\dfrac{3}{2})^2$
整理得：$(x-\dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{7}{4}$
开平方得：$x-\dfrac{3}{2} = \pm\dfrac{\sqrt{7}}{2}$
即$x-\dfrac{3}{2} = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$ 或 $x-\dfrac{3}{2} = -\dfrac{\sqrt{7}}{2}$
解得两个根即可。
【答案】
(1) $\boxed{③}$，方程两边未同时加上$(\dfrac{3}{2})^2$
(2) 解:$2x^2 - 6x + 1 = 0$,
$2x^2 - 6x = -1$,
$x^2 - 3x = -\dfrac{1}{2}$,
$x^2 - 3x + (\dfrac{3}{2})^2 = -\dfrac{1}{2} + (\dfrac{3}{2})^2$,
$(x-\dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{7}{4}$,
$\therefore x-\dfrac{3}{2} = \pm\dfrac{\sqrt{7}}{2}$,
$\therefore x-\dfrac{3}{2} = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$ 或 $x-\dfrac{3}{2} = -\dfrac{\sqrt{7}}{2}$,
$\therefore x_1 = \dfrac{3+\sqrt{7}}{2},x_2 = \dfrac{3-\sqrt{7}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、等式的基本性质、完全平方公式
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的规范步骤，易错点为配方时忽略等式两边需同时加上相同的数，熟练掌握配方法的操作流程，牢记等式性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 本题考查配方法解一元二次方程的正误判断，需结合配方法规则和等式性质分析：配方法配方时，等式两边需同时加上一次项系数一半的平方，才能保证等式成立。观察解题步骤，第③步仅在方程左边加了$(\dfrac{3}{2})^2$，右边未加，因此从此步开始出错。
(2) 正确用配方法解方程的思路：先移项将常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1，随后左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式，再开平方求解即可。
【解析】
(1) 逐步骤核对配方法要求：
步骤①移项，正确；步骤②二次项系数化为1，正确；步骤③配方时，仅左边加了$(\dfrac{3}{2})^2$，右边没有同时加该数，违背等式的基本性质，因此从第③步开始出错，错误原因为方程两边未同时加上$(\dfrac{3}{2})^2$。
(2) 正确配方法过程：
$2x^2 - 6x + 1 = 0$
移项得：$2x^2 - 6x = -1$
二次项系数化为1得：$x^2 - 3x = -\dfrac{1}{2}$
配方，两边同时加$(\dfrac{3}{2})^2$得：$x^2 - 3x + (\dfrac{3}{2})^2 = -\dfrac{1}{2} + (\dfrac{3}{2})^2$
整理得：$(x-\dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{7}{4}$
开平方得：$x-\dfrac{3}{2} = \pm\dfrac{\sqrt{7}}{2}$
即$x-\dfrac{3}{2} = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$ 或 $x-\dfrac{3}{2} = -\dfrac{\sqrt{7}}{2}$
解得两个根即可。
【答案】
(1) $\boxed{③}$，方程两边未同时加上$(\dfrac{3}{2})^2$
(2) 解:$2x^2 - 6x + 1 = 0$,
$2x^2 - 6x = -1$,
$x^2 - 3x = -\dfrac{1}{2}$,
$x^2 - 3x + (\dfrac{3}{2})^2 = -\dfrac{1}{2} + (\dfrac{3}{2})^2$,
$(x-\dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{7}{4}$,
$\therefore x-\dfrac{3}{2} = \pm\dfrac{\sqrt{7}}{2}$,
$\therefore x-\dfrac{3}{2} = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$ 或 $x-\dfrac{3}{2} = -\dfrac{\sqrt{7}}{2}$,
$\therefore x_1 = \dfrac{3+\sqrt{7}}{2},x_2 = \dfrac{3-\sqrt{7}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、等式的基本性质、完全平方公式
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的规范步骤，易错点为配方时忽略等式两边需同时加上相同的数，熟练掌握配方法的操作流程，牢记等式性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
