1. 下列方程是一元一次方程的是 （）

A.$x+2y=9$
B.$x^2 -3x=1$
C.$\frac{1}{x}=1$
D.$\frac{1}{2}x -1=3x$

1. D

【分析】
要解这道题，首先需要明确一元一次方程的三个核心判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③等号两边都是整式。接下来将四个选项依次对照这三个条件，不符合任意一个的直接排除，最终符合所有条件的就是正确答案。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
对各选项逐一分析：
A选项：方程中含有x、y两个未知数，不符合“只含一个未知数”的条件，不是一元一次方程；
B选项：未知数x的最高次数是2，不符合“未知数次数为1”的条件，不是一元一次方程；
C选项：等号左边的$\frac{1}{x}$是分式，不是整式，不符合“等号两边都是整式”的条件，不是一元一次方程；
D选项：方程只含x一个未知数，x的次数是1，且等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的定义
【点评】
本题考查对一元一次方程概念的掌握，解题时只需紧扣定义的三个判定条件逐一排查即可，属于概念辨析类基础题。
【难度系数】
0.9

2.一元一次方程$2x=4$的解是（）

A.$x=1$
B.$x=2$
C.$x=3$
D.$x=4$

2. B

【分析】
这道题考查一元一次方程的求解，我们可以利用等式的基本性质解题：等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时只需要把方程中x的系数化为1，就能得到方程的解，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知方程$2x=4$，根据等式的基本性质，等式两边同时除以2，可得：
$x=4÷2$
计算得$x=2$，因此该一元一次方程的解为$x=2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次方程；等式的基本性质
【点评】
本题是基础题，重点考察一元一次方程的基本求解步骤，熟练掌握系数化为1的操作即可快速得分。
【难度系数】
0.95

3.(传统文化)《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:今有雉、兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问:雉、兔各几何?大意为有若干只鸡和兔关在同一个笼子里,它们一共有35个头,94只脚,问:鸡和兔各有几只?设鸡有x只,可列方程为 ()

A.$4x+2(94-x)=35$
B.$4x+2(35-x)=94$
C.$2x+4(94-x)=35$
D.$2x+4(35-x)=94$

3. D

【分析】
解题时先明确题目中的等量关系：鸡的总脚数+兔的总脚数=总脚数94。首先根据总头数35，结合设鸡有x只，可得出兔的数量为(35-x)只；再结合鸡每只2只脚、兔每只4只脚，分别表示出鸡和兔的总脚数，代入等量关系即可列出对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
已知设鸡有x只，鸡和兔总共有35个头，即总数量为35只，因此兔的数量为(35 - x)只。
每只鸡有2只脚，鸡的总脚数为：2x
每只兔有4只脚，兔的总脚数为：4(35 - x)
根据总脚数为94，可得等量关系：鸡的总脚数 + 兔的总脚数 = 94
代入列方程得：$2x + 4(35 - x) = 94$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 鸡兔同笼问题
【点评】
本题结合传统数学典籍《孙子算经》的经典问题出题，既考查了根据实际问题列一元一次方程的能力，也能让学生感受传统数学文化的趣味，解题核心是找准总脚数的等量关系，正确表示两类动物的脚数总和。
【难度系数】
0.8

4.有下列式子:①$5-2x=3$;②$x-2y$;③$x-2y=6$;④$y^2 + 2 = 4y - 1$;⑤$y^2 + 1 = 7$;⑥$\frac{x}{2}=3$.其中,是方程的有,是一元一次方程的有.(填序号)

4. ①③④⑤⑥ ①⑥

【分析】
解题时首先要明确两个核心判定概念：一是方程的判定条件，需要同时满足“是等式”和“含有未知数”两个要求；二是一元一次方程的判定条件，需要在是方程的基础上，同时满足“只含1个未知数”“未知数的最高次数为1”“等号两边都是整式”三个要求。接下来依次对每个式子对照条件判断即可。
【解析】
首先明确相关定义：
1. 方程：含有未知数的等式叫做方程；
2. 一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，等号两边都是整式的方程。
逐个分析式子：
①$5-2x=3$：是含未知数$x$的等式，未知数次数为1，既是方程也是一元一次方程；
②$x-2y$：不是等式，不属于方程；
③$x-2y=6$：是含未知数$x、y$的等式，属于方程，但含有2个未知数，不是一元一次方程；
④$y^2 + 2 = 4y - 1$：是含未知数$y$的等式，属于方程，但$y$的最高次数为2，不是一元一次方程；
⑤$y^2 + 1 = 7$：是含未知数$y$的等式，属于方程，但$y$的最高次数为2，不是一元一次方程；
⑥$\frac{x}{2}=3$：是含未知数$x$的等式，未知数次数为1，既是方程也是一元一次方程。
综上，是方程的有①③④⑤⑥，是一元一次方程的有①⑥。
【答案】
①③④⑤⑥；①⑥
【知识点】
方程的定义；一元一次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是准确牢记方程和一元一次方程的判定条件，判断时注意不要忽略“等式”这个核心前提，同时要注意核对未知数的个数和最高次数，避免错判漏判。
【难度系数】
0.8

5.已知一个长方形的周长为 30 cm，长方形的长减少 1 cm，宽扩大到原来的 2 倍后成为一个正方形.设原来长方形的长为 x cm，则可列方程为.

5. $x−1=2(30÷2−x)$(答案不唯一)

【分析】
解题时首先结合已知的长方形周长和设出的长，用含x的式子表示出长方形的宽；再抓住“长减少1cm、宽扩大2倍后成为正方形”这一条件，利用正方形边长相等的特点找到等量关系，即可列出方程。
第一步：根据长方形周长公式，周长=2×(长+宽)，已知周长为30cm，可得长+宽=30÷2=15cm，已知长为x cm，因此宽为(30÷2 -x)cm；
第二步：长减少1cm后长度为(x-1)cm，宽扩大到原来的2倍后长度为2×(30÷2 -x)cm，变化后图形为正方形，正方形的边长相等，因此两个表达式相等，即可列方程。
【解析】
∵ 长方形的周长为30cm，长为x cm
∴ 长方形的长与宽的和为$30÷2=15\mathrm{cm}$，即宽为$(15 - x)\mathrm{cm}$，也可写为$(30÷2 -x)\mathrm{cm}$
根据题意，长减少1cm后的长度 = 宽扩大到原来2倍后的长度（正方形边长相等）
因此可列方程：$x - 1 = 2(30÷2 - x)$
【答案】
$x−1=2(30÷2−x)$（答案不唯一）
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 长方形周长公式
3. 正方形的性质
【点评】
本题属于列方程解应用题的基础题型，解题的核心是准确找到等量关系，同时需要熟练掌握长方形周长计算公式、正方形的特征来推导相关量的表达式。
【难度系数】
0.7

6.检验下列 $ x $ 的值是不是方程 $ 5(x - 4) = 3x + 2 $ 的解.
(1)$ x = 3 $; (2)$ x = -4 $; (3)$ x = 11 $.

6. 解:(1)$x=3$ 不是方程 $5(x-4)=3x+2$ 的解.
(2)$x=-4$ 不是方程 $5(x-4)=3x+2$ 的解.
(3)$x=11$ 是方程 $5(x-4)=3x+2$ 的解.

【分析】
检验一个数值是不是方程的解，依据是方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解题思路为：分别将每个给定的x值代入方程的左边和右边，计算出两边的结果后进行比较，若左右两边结果相等，则该x值是方程的解，若不相等则不是。
【解析】
检验方程解的步骤为：分别代入计算左右两边的值，再比较是否相等。
(1) 当$x=3$时：
左边$=5×(3-4)=5×(-1)=-5$
右边$=3×3+2=9+2=11$
$\because -5≠11$，即左边$≠$右边
$\therefore x=3$不是方程$5(x - 4) = 3x + 2$的解。
(2) 当$x=-4$时：
左边$=5×(-4-4)=5×(-8)=-40$
右边$=3×(-4)+2=-12+2=-10$
$\because -40≠-10$，即左边$≠$右边
$\therefore x=-4$不是方程$5(x - 4) = 3x + 2$的解。
(3) 当$x=11$时：
左边$=5×(11-4)=5×7=35$
右边$=3×11+2=33+2=35$
$\because 35=35$，即左边$=$右边
$\therefore x=11$是方程$5(x - 4) = 3x + 2$的解。
【答案】
(1)$x=3$ 不是方程 $5(x-4)=3x+2$ 的解.
(2)$x=-4$ 不是方程 $5(x-4)=3x+2$ 的解.
(3)$x=11$ 是方程 $5(x-4)=3x+2$ 的解.
【知识点】
方程的解的检验，代数式求值
【点评】
本题是方程解检验的基础题型，解题核心是严格按照“代入计算→比较结果→判断结论”的步骤操作，计算时要注意正负号运算的准确性，避免因计算失误导致判断错误。
【难度系数】
0.85

7.从甲地到乙地，某人骑自行车比乘公共汽车多用2.5 h，已知骑自行车的平均速度为15 km/h，乘公共汽车的平均速度为40 km/h，求甲、乙两地之间的距离.(只列方程)

7. 解:设甲、乙两地之间的距离为 $x$ km.
由题意,得$\frac{x}{40}+2.5=\frac{x}{15}$.(答案不唯一)

【分析】
本题属于行程类一元一次方程应用题，解题核心是利用行程问题基本公式“时间=路程÷速度”找到等量关系。首先明确题目的关键条件：骑自行车比乘公共汽车多用2.5h，即“乘公共汽车的时间+2.5h=骑自行车的时间”。我们可以直接设所求的甲、乙两地距离为未知数，再分别用未知数表示出两种出行方式的时间，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
解：设甲、乙两地之间的距离为$ x $ km。
根据“时间=路程÷速度”，可得：
乘公共汽车所需时间为$ \frac{x}{40} $ h，骑自行车所需时间为$ \frac{x}{15} $ h。
结合“骑自行车比乘公共汽车多用2.5h”的等量关系，列方程得：
$ \frac{x}{40} + 2.5 = \frac{x}{15} $
（也可列等价方程如$ \frac{x}{15} - \frac{x}{40} = 2.5 $等）
【答案】
设甲、乙两地之间的距离为$ x $ km，列方程为$\frac{x}{40}+2.5=\frac{x}{15}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 行程问题基本公式
2. 一元一次方程的实际应用
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础题型，解题的关键是准确提取题目中的时间差作为等量关系，正确用路程、速度表示对应时间即可，解题时注意不要混淆两种出行方式对应的时间大小关系。
【难度系数】
0.8

8.根据下列条件列出方程：
(1)$x$的5倍比$x$的2倍大12；
(2)某数的$\frac{2}{3}$比它的相反数小5；
(3)某数的5倍减去4等于该数的6倍加上1；
(4)$x$的20%与15的差的一半等于$－2$；
(5)8与$y$的$\frac{2}{5}$的和等于9；
(6)甲、乙两个数，甲数比乙数的3倍少1，乙数比甲数小4.

(1)$5x-2x=12$.
(2)设该数为 $x$,则$\frac{2}{3}x=-x-5$.
(3)设该数为 $x$,则 $5x-4=6x+1$.
(4)$\frac{1}{2}(20\%x-15)=-2$.
(5)$8+\frac{2}{5}y=9$.
(6)设甲数为 $x$,则乙数为 $x-4$,所以 $x=3(x-4)-1$.(答案不唯一)

【分析】
列方程的核心是先准确捕捉题目中的等量关系，通用解题步骤为：①若题目未给出未知数，先设未知数（通常设为x）；②将文字描述的数量转化为对应的代数式；③根据“大、小、等于、和、差”等关键词列出等式。要注意运算优先级，涉及“和/差的几倍/几分之几”时，需先给和/差加括号保证运算顺序正确。
【解析】
(1) 先分别表示x的5倍为$5x$，x的2倍为$2x$，根据“5x比2x大12”，即两者的差为12，列方程即可。
(2) 设该数为$x$，该数的$\frac{2}{3}$为$\frac{2}{3}x$，该数的相反数为$-x$，根据“$\frac{2}{3}x$比$-x$小5”，即$\frac{2}{3}x$等于$-x$减去5，列方程即可。
(3) 设该数为$x$，该数的5倍减4为$5x-4$，该数的6倍加1为$6x+1$，两者相等，列方程即可。
(4) 先表示x的20%为$20\%x$，它与15的差为$20\%x-15$，差的一半为$\frac{1}{2}(20\%x-15)$，结果等于$-2$，列方程即可。
(5) y的$\frac{2}{5}$为$\frac{2}{5}y$，8与它的和为$8+\frac{2}{5}y$，等于9，列方程即可。
(6) 解法不唯一，示例：设甲数为$x$，由“乙数比甲数小4”得乙数为$x-4$，再根据“甲数比乙数的3倍少1”，即甲数等于乙数乘3减1，代入即可列出方程。
【答案】
(1)$5x-2x=12$.
(2)设该数为 $x$,则$\frac{2}{3}x=-x-5$.
(3)设该数为 $x$,则 $5x-4=6x+1$.
(4)$\frac{1}{2}(20\%x-15)=-2$.
(5)$8+\frac{2}{5}y=9$.
(6)设甲数为 $x$,则乙数为 $x-4$,所以 $x=3(x-4)-1$.(答案不唯一)
【知识点】
列一元一次方程，代数式表示，等量关系转化
【点评】
本题是列方程的基础题型，重点考查将文字语言转化为数学表达式的能力，解题的关键是准确识别等量关系，注意运算顺序，避免因漏加括号、混淆大小关系出现错误，是后续解决实际应用问题的重要基础。
【难度系数】
0.8