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12. 如图2-1-4,在宽为20m、长为32m的矩形地面上修建等宽的道路(图中的阴影部分),余下的部分种上草坪,使草坪的面积为$540\ \mathrm{m}^2$,求道路的宽.
图2-1-4
图2-1-4
答案
12. 提示:设道路宽为$x$ m. 依题意得
$(32-x)(20-x)=540.$ 解得$x=2(\mathrm{m}).$
$(32-x)(20-x)=540.$ 解得$x=2(\mathrm{m}).$
解析
【分析】
本题是实际场景中的面积计算问题，直接计算阴影道路的面积容易出现重复计算重叠部分的错误，因此可以采用平移法转化图形：将所有草坪区域向中间拼接，可得到一个完整的矩形，该矩形的长为原矩形长减去道路宽度，宽为原矩形宽减去道路宽度，再结合给出的草坪面积，即可列一元二次方程求解，最后注意验证解是否符合实际意义。
【解析】
解：设道路的宽为$x\ \mathrm{m}$。
利用平移的性质，将分散的草坪拼接为一个新的矩形，该矩形的长为$(32 - x)\ \mathrm{m}$，宽为$(20 - x)\ \mathrm{m}$。
根据草坪面积为$540\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$(32 - x)(20 - x) = 540$
展开整理方程：
$x^2 - 52x + 640 = 540$
$x^2 - 52x + 100 = 0$
因式分解得：
$(x - 2)(x - 50) = 0$
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 50$。
因为道路宽度不可能超过矩形的宽20m，所以$x = 50$不符合实际，舍去，因此$x = 2$。
【答案】
道路的宽为$\boxed{2\mathrm{m}}$
【知识点】
一元二次方程的应用；平移的性质；矩形面积计算
【点评】
解决此类不规则图形的面积问题时，通过平移转化为规则图形是常用的简便方法，求出方程的解后一定要结合实际场景检验解的合理性，舍去不符合题意的根。
【难度系数】
0.7
本题是实际场景中的面积计算问题，直接计算阴影道路的面积容易出现重复计算重叠部分的错误，因此可以采用平移法转化图形：将所有草坪区域向中间拼接，可得到一个完整的矩形，该矩形的长为原矩形长减去道路宽度，宽为原矩形宽减去道路宽度，再结合给出的草坪面积，即可列一元二次方程求解，最后注意验证解是否符合实际意义。
【解析】
解：设道路的宽为$x\ \mathrm{m}$。
利用平移的性质，将分散的草坪拼接为一个新的矩形，该矩形的长为$(32 - x)\ \mathrm{m}$，宽为$(20 - x)\ \mathrm{m}$。
根据草坪面积为$540\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$(32 - x)(20 - x) = 540$
展开整理方程：
$x^2 - 52x + 640 = 540$
$x^2 - 52x + 100 = 0$
因式分解得：
$(x - 2)(x - 50) = 0$
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 50$。
因为道路宽度不可能超过矩形的宽20m，所以$x = 50$不符合实际，舍去，因此$x = 2$。
【答案】
道路的宽为$\boxed{2\mathrm{m}}$
【知识点】
一元二次方程的应用；平移的性质；矩形面积计算
【点评】
解决此类不规则图形的面积问题时，通过平移转化为规则图形是常用的简便方法，求出方程的解后一定要结合实际场景检验解的合理性，舍去不符合题意的根。
【难度系数】
0.7
13.用长为100 cm 的金属丝制成一个长方形，当长方形各边长取多少时，长方形的面积是$500\ \mathrm{cm}^2$？要使长方形的面积为$625\ \mathrm{cm}^2$，其各边长应取多少？这段金属丝能制成面积为$800\ \mathrm{cm}^2$的矩形吗？
答案
13. 提示:设长方形的长为$x$ cm,宽为$(50-x)$ cm.
长方形面积是$500\ \mathrm{cm}^2$,依题意,得
$x(50-x)=500.$
解得 $x_1=25+5\sqrt{5},x_2=25-5\sqrt{5}.$
长方形面积是$625\ \mathrm{cm}^2$,则 $x(50-x)=625.$
解得 $x_3=x_4=25.$
长方形面积是$800\ \mathrm{cm}^2$,则 $x(50-x)=800,$
即 $x^2-50x+800=0,$
由于 $\Delta=(-50)^2-4×800=-700＜0,$
故此时方程无解.
长方形面积是$500\ \mathrm{cm}^2$,依题意,得
$x(50-x)=500.$
解得 $x_1=25+5\sqrt{5},x_2=25-5\sqrt{5}.$
长方形面积是$625\ \mathrm{cm}^2$,则 $x(50-x)=625.$
解得 $x_3=x_4=25.$
长方形面积是$800\ \mathrm{cm}^2$,则 $x(50-x)=800,$
即 $x^2-50x+800=0,$
由于 $\Delta=(-50)^2-4×800=-700＜0,$
故此时方程无解.
解析
【分析】
本题是利用一元二次方程解决长方形面积的实际问题，解题思路如下：首先根据金属丝总长度（即长方形周长）得出长与宽的和为50cm，设长为x cm，即可用含x的代数式表示出宽；再分别对应三种不同的面积要求，根据“长方形面积=长×宽”列一元二次方程；最后通过解方程或利用根的判别式判断方程是否有实根，得到对应结论。
【解析】
设长方形的长为$ x\ \mathrm{cm} $，由周长为100cm可得宽为$ (50-x)\ \mathrm{cm} $，且满足$ 0＜x＜50 $。
1. 当长方形面积为$ 500\ \mathrm{cm}^2 $时，依题意列方程：
$ x(50-x)=500 $
整理得$ x^2-50x+500=0 $
由求根公式解得：
$ x=\frac{50\pm\sqrt{(-50)^2-4×1×500}}{2}=25\pm5\sqrt{5} $
因长大于宽，故长为$ 25+5\sqrt{5}\ \mathrm{cm} $，宽为$ 25-5\sqrt{5}\ \mathrm{cm} $。
2. 当长方形面积为$ 625\ \mathrm{cm}^2 $时，依题意列方程：
$ x(50-x)=625 $
整理得$ x^2-50x+625=0 $
即$ (x-25)^2=0 $，解得$ x_1=x_2=25 $
此时长和宽均为25cm，为正方形。
3. 当要求面积为$ 800\ \mathrm{cm}^2 $时，列方程：
$ x(50-x)=800 $
整理得$ x^2-50x+800=0 $
计算根的判别式：$ \Delta=(-50)^2-4×1×800=-700＜0 $
该方程无实数根，故不存在这样的矩形。
【答案】
1. 当长为$ (25+5\sqrt{5})\ \mathrm{cm} $，宽为$ (25-5\sqrt{5})\ \mathrm{cm} $时，长方形面积为$ 500\ \mathrm{cm}^2 $；
2. 当各边长均为25cm时，长方形面积为$ 625\ \mathrm{cm}^2 $；
3. 这段金属丝不能制成面积为$ 800\ \mathrm{cm}^2 $的矩形。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的解法；根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程解决几何实际问题的基础题型，核心是通过周长的固定关系简化变量，再结合面积公式建立方程模型，求解时要注意结合实际意义筛选解，同时利用根的判别式可以快速判断是否存在符合条件的图形。
【难度系数】
0.7
本题是利用一元二次方程解决长方形面积的实际问题，解题思路如下：首先根据金属丝总长度（即长方形周长）得出长与宽的和为50cm，设长为x cm，即可用含x的代数式表示出宽；再分别对应三种不同的面积要求，根据“长方形面积=长×宽”列一元二次方程；最后通过解方程或利用根的判别式判断方程是否有实根，得到对应结论。
【解析】
设长方形的长为$ x\ \mathrm{cm} $，由周长为100cm可得宽为$ (50-x)\ \mathrm{cm} $，且满足$ 0＜x＜50 $。
1. 当长方形面积为$ 500\ \mathrm{cm}^2 $时，依题意列方程：
$ x(50-x)=500 $
整理得$ x^2-50x+500=0 $
由求根公式解得：
$ x=\frac{50\pm\sqrt{(-50)^2-4×1×500}}{2}=25\pm5\sqrt{5} $
因长大于宽，故长为$ 25+5\sqrt{5}\ \mathrm{cm} $，宽为$ 25-5\sqrt{5}\ \mathrm{cm} $。
2. 当长方形面积为$ 625\ \mathrm{cm}^2 $时，依题意列方程：
$ x(50-x)=625 $
整理得$ x^2-50x+625=0 $
即$ (x-25)^2=0 $，解得$ x_1=x_2=25 $
此时长和宽均为25cm，为正方形。
3. 当要求面积为$ 800\ \mathrm{cm}^2 $时，列方程：
$ x(50-x)=800 $
整理得$ x^2-50x+800=0 $
计算根的判别式：$ \Delta=(-50)^2-4×1×800=-700＜0 $
该方程无实数根，故不存在这样的矩形。
【答案】
1. 当长为$ (25+5\sqrt{5})\ \mathrm{cm} $，宽为$ (25-5\sqrt{5})\ \mathrm{cm} $时，长方形面积为$ 500\ \mathrm{cm}^2 $；
2. 当各边长均为25cm时，长方形面积为$ 625\ \mathrm{cm}^2 $；
3. 这段金属丝不能制成面积为$ 800\ \mathrm{cm}^2 $的矩形。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的解法；根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程解决几何实际问题的基础题型，核心是通过周长的固定关系简化变量，再结合面积公式建立方程模型，求解时要注意结合实际意义筛选解，同时利用根的判别式可以快速判断是否存在符合条件的图形。
【难度系数】
0.7
14.要建一个面积为$150\ \mathrm{m}^2$的矩形养鸡场,使养鸡场一边靠墙,墙长为$a\ \mathrm{m}$,另外三边用竹篱笆围成,篱笆总长为$35\ \mathrm{m}$.
(1) 求养鸡场的长和宽各是多少.
(2) 对墙的长度$a$有什么要求?
(1) 求养鸡场的长和宽各是多少.
(2) 对墙的长度$a$有什么要求?
答案
14. 提示:(1)设养鸡场长为$x$ m.依题意得
$x· \dfrac{35-x}{2}=150.$ 解得 $x_1=20,x_2=15.$
所以养鸡场长15m,宽10m,或养鸡场长20m,宽7.5m.
(2)$a$的取值应不小于养鸡场的长.
$x· \dfrac{35-x}{2}=150.$ 解得 $x_1=20,x_2=15.$
所以养鸡场长15m,宽10m,或养鸡场长20m,宽7.5m.
(2)$a$的取值应不小于养鸡场的长.
解析
【分析】
这是一道用一元二次方程解决实际面积问题的题目，解题思路如下：1. 第(1)问首先明确篱笆围成的是矩形的三边：平行于墙的1条边为长，另外2条垂直于墙的边为宽；设平行于墙的长为x m，那么宽可由总篱笆长35m表示为$\frac{35-x}{2}$ m，再根据矩形面积=长×宽的等量关系列方程求解，即可得到长的两个取值，对应算出宽即可。2. 第(2)问结合实际场景，平行于墙的长不能超过墙的长度a，否则无法修建，据此即可得出a的取值要求。
【解析】
(1) 设养鸡场平行于墙的长为$x\ \mathrm{m}$，则垂直于墙的宽为$\dfrac{35-x}{2}\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积为$150\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$x· \dfrac{35-x}{2}=150$
整理方程得：$x^2-35x+300=0$
因式分解得：$(x-15)(x-20)=0$
解得：$x_1=15$，$x_2=20$
当$x=15$时，宽为$\dfrac{35-15}{2}=10\ \mathrm{m}$；
当$x=20$时，宽为$\dfrac{35-20}{2}=7.5\ \mathrm{m}$。
(2) 由于养鸡场的长平行于墙面，因此长不能超过墙的长度$a$，否则无法正常修建：若$a＜15$，两种尺寸的养鸡场均无法修建；若$15≤ a＜20$，仅可修建长15m、宽10m的养鸡场；若$a≥20$，两种尺寸的养鸡场均可修建。因此墙的长度$a$需不小于养鸡场的长。
【答案】
(1) 养鸡场长15m、宽10m，或长20m、宽7.5m；
(2) 墙的长度$a$的取值应不小于养鸡场的长。
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、实际问题取值限制
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的典型应用题，解题时除了正确列方程求解外，还要注意结合实际场景对解的合理性进行验证，重点要理解墙长对平行于墙的边长的限制条件，避免忽略实际意义出现错解。
【难度系数】
0.7
这是一道用一元二次方程解决实际面积问题的题目，解题思路如下：1. 第(1)问首先明确篱笆围成的是矩形的三边：平行于墙的1条边为长，另外2条垂直于墙的边为宽；设平行于墙的长为x m，那么宽可由总篱笆长35m表示为$\frac{35-x}{2}$ m，再根据矩形面积=长×宽的等量关系列方程求解，即可得到长的两个取值，对应算出宽即可。2. 第(2)问结合实际场景，平行于墙的长不能超过墙的长度a，否则无法修建，据此即可得出a的取值要求。
【解析】
(1) 设养鸡场平行于墙的长为$x\ \mathrm{m}$，则垂直于墙的宽为$\dfrac{35-x}{2}\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积为$150\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$x· \dfrac{35-x}{2}=150$
整理方程得：$x^2-35x+300=0$
因式分解得：$(x-15)(x-20)=0$
解得：$x_1=15$，$x_2=20$
当$x=15$时，宽为$\dfrac{35-15}{2}=10\ \mathrm{m}$；
当$x=20$时，宽为$\dfrac{35-20}{2}=7.5\ \mathrm{m}$。
(2) 由于养鸡场的长平行于墙面，因此长不能超过墙的长度$a$，否则无法正常修建：若$a＜15$，两种尺寸的养鸡场均无法修建；若$15≤ a＜20$，仅可修建长15m、宽10m的养鸡场；若$a≥20$，两种尺寸的养鸡场均可修建。因此墙的长度$a$需不小于养鸡场的长。
【答案】
(1) 养鸡场长15m、宽10m，或长20m、宽7.5m；
(2) 墙的长度$a$的取值应不小于养鸡场的长。
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、实际问题取值限制
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的典型应用题，解题时除了正确列方程求解外，还要注意结合实际场景对解的合理性进行验证，重点要理解墙长对平行于墙的边长的限制条件，避免忽略实际意义出现错解。
【难度系数】
0.7
15.图2-1-5是一个三角点阵,第1行有1个点,第2行有2个点,第3行有3个点,….
由上而下,前n行的点数和是
$S_n = 1 + 2 + \dots + (n-1) + n$.
可得
$2S_n = [1 + 2 + \dots + (n-1) + n]$
$+ [n + (n-1) + \dots + 2 + 1]$
把上式中等号右边上下对应的两个数相加,其和等于$n(n+1)$,可得$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.
利用以上结论解答下列问题:
(1)若三角点阵的前n行的点数和是300,则n的值是
(2)三角点阵的前n行的点数和能是600吗?试用一元二次方程知识说明道理.
由上而下,前n行的点数和是
$S_n = 1 + 2 + \dots + (n-1) + n$.
可得
$2S_n = [1 + 2 + \dots + (n-1) + n]$
$+ [n + (n-1) + \dots + 2 + 1]$
把上式中等号右边上下对应的两个数相加,其和等于$n(n+1)$,可得$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.
利用以上结论解答下列问题:
(1)若三角点阵的前n行的点数和是300,则n的值是
24
.(2)三角点阵的前n行的点数和能是600吗?试用一元二次方程知识说明道理.
答案
15. (1) 24
(2) 提示:(1)依题意,得 $\dfrac{n(n+1)}{2}=300.$
解方程得 $n_1=24,n_2=-25$(舍去).
(2)不能. 依题意,得 $\dfrac{n(n+1)}{2}=600.$
整理得 $n^2+n-1200=0.$
由$b^2-4ac=4801$知,方程无正整数解.
(2) 提示:(1)依题意,得 $\dfrac{n(n+1)}{2}=300.$
解方程得 $n_1=24,n_2=-25$(舍去).
(2)不能. 依题意,得 $\dfrac{n(n+1)}{2}=600.$
整理得 $n^2+n-1200=0.$
由$b^2-4ac=4801$知,方程无正整数解.
解析
【分析】
本题可根据题干给出的三角点阵前n行点数和公式，将对应数值代入列一元二次方程求解，同时注意n表示行数，为正整数，需对解进行取舍：
(1) 已知前n行点数和为300，直接代入求和公式列方程，解出符合正整数要求的n即可；
(2) 假设点数和能为600，代入公式列方程，通过判断方程是否存在正整数解，即可得出结论。
【解析】
(1) 根据题意，将$S_n=300$代入$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$，得：
$\frac{n(n+1)}{2}=300$
整理方程得：$n^2 + n - 600 = 0$
解得：$n_1=24$，$n_2=-25$
∵n表示行数，为正整数，
∴舍去$n_2=-25$，即$n=24$。
(2) 不能，理由如下：
假设前n行点数和为600，代入公式得：
$\frac{n(n+1)}{2}=600$
整理得：$n^2 + n - 1200 = 0$
计算一元二次方程根的判别式：$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4×1×(-1200) = 4801$
∵4801不是完全平方数，
∴该方程的解不是整数，不存在正整数n满足方程，即三角点阵前n行的点数和不能是600。
【答案】
(1) $\boxed{24}$
(2) 不能，列方程得$n^2 + n - 1200 = 0$，该方程无正整数解，故点数和不能为600。
【知识点】
一元二次方程的应用；数字规律探究；根的判别式应用
【点评】
本题结合数字规律考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是准确利用题干给出的求和公式列方程，解题时需注意未知数的实际意义（n为正整数），对得到的解进行合理性验证。
【难度系数】
0.7
本题可根据题干给出的三角点阵前n行点数和公式，将对应数值代入列一元二次方程求解，同时注意n表示行数，为正整数，需对解进行取舍：
(1) 已知前n行点数和为300，直接代入求和公式列方程，解出符合正整数要求的n即可；
(2) 假设点数和能为600，代入公式列方程，通过判断方程是否存在正整数解，即可得出结论。
【解析】
(1) 根据题意，将$S_n=300$代入$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$，得：
$\frac{n(n+1)}{2}=300$
整理方程得：$n^2 + n - 600 = 0$
解得：$n_1=24$，$n_2=-25$
∵n表示行数，为正整数，
∴舍去$n_2=-25$，即$n=24$。
(2) 不能，理由如下：
假设前n行点数和为600，代入公式得：
$\frac{n(n+1)}{2}=600$
整理得：$n^2 + n - 1200 = 0$
计算一元二次方程根的判别式：$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4×1×(-1200) = 4801$
∵4801不是完全平方数，
∴该方程的解不是整数，不存在正整数n满足方程，即三角点阵前n行的点数和不能是600。
【答案】
(1) $\boxed{24}$
(2) 不能，列方程得$n^2 + n - 1200 = 0$，该方程无正整数解，故点数和不能为600。
【知识点】
一元二次方程的应用；数字规律探究；根的判别式应用
【点评】
本题结合数字规律考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是准确利用题干给出的求和公式列方程，解题时需注意未知数的实际意义（n为正整数），对得到的解进行合理性验证。
【难度系数】
0.7
