1. 对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，当$b^2 - 4ac ≥ 0$时，它的根是。这个式子称为一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法称为。

1. $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 公式法

【分析】
本题考查一元二次方程求根公式及相关概念的识记，解题思路如下：首先明确题目考查的是一元二次方程的基础概念，第一空对应判别式非负时方程根的固定表达式，即需回忆求根公式的内容；第二空对应使用求根公式解方程的方法的标准名称，直接匹配教材中的定义作答即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），通过配方法推导求根公式的过程如下：
1. 方程两边同时除以$a$，移项可得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；
2. 给等式两边同时加上$(\frac{b}{2a})^2$配方，得$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$；
3. 当$b^2-4ac≥0$时，给等式两边开平方后整理，可得方程的根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，该式就是一元二次方程的求根公式。
用上述求根公式直接求解一元二次方程的方法，就叫做公式法。
【答案】
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$；公式法
【知识点】
一元二次方程求根公式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，是一元二次方程解法的核心基础内容，熟练掌握求根公式和公式法的定义，是后续灵活求解一元二次方程的必要前提。
【难度系数】
0.9

2. 对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，当$b^2 - 4ac ＞ 0$时，方程有的实数根；当$b^2 - 4ac = 0$时，方程有的实数根；当$b^2 - 4ac ＜ 0$时，方程实数根。

2. 两个不相等 两个相等 没有

【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式与根的情况的对应关系，解题时可结合求根公式理解记忆判别式不同取值对应的根的结论：首先明确我们将$b^2-4ac$叫做一元二次方程的根的判别式，记为$\Delta$，结合求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$分析：当$\Delta＞0$时，根号部分可得到两个不同的非零实数，因此根有两个且不相等；当$\Delta=0$时，根号部分为0，两个根的数值完全相同；当$\Delta＜0$时，根号内为负数，在实数范围内没有意义，因此不存在实数根。
【解析】
根据一元二次方程根的判别式的相关结论：
1. 当$b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
2. 当$b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根；
3. 当$b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。
因此依次填入对应内容即可。
【答案】
两个不相等；两个相等；没有
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根的判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对一元二次方程根的判别式相关结论的掌握，该知识点是后续求解一元二次方程、判断方程根的情况、解决根的相关应用问题的基础，需要熟练记忆并灵活运用。
【难度系数】
0.9

3. 一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根的情况可由来判定。我们把叫作一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根的，通常用希腊字母“Δ”来表示。

3. $b^2 - 4ac$ $b^2 - 4ac$ 判别式

【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础概念，解题时先回忆相关定义：我们判断一元二次方程根的情况时，需要根据$b^2-4ac$的取值大小判断，该式子就是一元二次方程根的判别式，用希腊字母Δ表示，结合题干空缺位置对应填写即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$：
1. 它的根的情况可由$b^2-4ac$的取值来判定：当$b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根；当$b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根，因此第一个空填$b^2-4ac$。
2. 根据定义，我们把$b^2-4ac$叫作一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的判别式，通常用Δ表示，因此后两个空依次填$b^2-4ac$、判别式。
【答案】
$b^2 - 4ac$；$b^2 - 4ac$；判别式
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考察对核心定义的识记，熟练掌握相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9

4. 用公式法解一元二次方程时,必须先把方程整理成一般形式,即________,找出$a,b,c$的值,然后计算$b^2 - 4ac$的值,在确定$b^2 - 4ac$______$0$后,才能代入求根公式求出方程的解。

$ax^2 + bx + c = 0$ ≥

【分析】
这道题考查公式法解一元二次方程的基础步骤，解题时可按以下思路思考：
1. 回忆公式法的第一步要求：为了统一确定二次项系数、一次项系数和常数项，需要先把方程整理为右边为0、左边按x降幂排列的标准形式，也就是一元二次方程的一般形式；
2. 再回忆求根公式的适用条件：求根公式中含有根号下的$b^2-4ac$，只有根号内的数非负时，才有实数意义，因此需要先确认$b^2-4ac$的取值满足非负的要求，才能代入求根公式计算实数解。
【解析】
1. 一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），因此第一空填该式；
2. 求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$有实数意义的前提是被开方数$b^2-4ac$非负，即$b^2-4ac≥0$，因此第二空填$≥$。
【答案】
$ax^2 + bx + c = 0$；≥
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 公式法解一元二次方程
3. 根的判别式
【点评】
本题是基础概念考查题，聚焦公式法解方程的核心流程，是求解一元二次方程的必备基础，需准确记忆相关规范和要求。
【难度系数】
0.9

1. 以 $x=\dfrac{b\pm\sqrt{b^2+4c}}{2}$ 为根的一元二次方程可能是()。

A.$x^2+bx+c=0$
B.$x^2+bx-c=0$
C.$x^2-bx+c=0$
D.$x^2-bx-c=0$

1. D

【分析】
本题可通过两种思路求解：思路1是利用一元二次方程的求根公式，分别计算各选项方程的根，与题干给出的根对比即可得出答案；思路2是利用根与系数的关系（韦达定理），先计算题干所给两根的和与积，再根据“若一元二次方程两根为$x_1、x_2$，则方程可写为$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$”反推方程，匹配选项即可。解题时要注意各项系数的符号，避免计算出错。
【解析】
方法一：用求根公式逐一验证选项
一元二次方程一般式为$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），求根公式为$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$。
A选项：方程$x^2+bx+c=0$中，$A=1$，$B=b$，$C=c$，根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}$，与题干不符，排除；
B选项：方程$x^2+bx-c=0$中，$A=1$，$B=b$，$C=-c$，根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4c}}{2}$，与题干不符，排除；
C选项：方程$x^2-bx+c=0$中，$A=1$，$B=-b$，$C=c$，根为$x=\frac{b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}$，与题干不符，排除；
D选项：方程$x^2-bx-c=0$中，$A=1$，$B=-b$，$C=-c$，判别式$\Delta=(-b)^2-4×1×(-c)=b^2+4c$，根为$x=\frac{b\pm\sqrt{b^2+4c}}{2}$，与题干完全一致，符合要求。
方法二：用韦达定理反推方程
设题干给出的两根为$x_1=\frac{b+\sqrt{b^2+4c}}{2}$，$x_2=\frac{b-\sqrt{b^2+4c}}{2}$：
两根之和：$x_1+x_2=\frac{b+\sqrt{b^2+4c}}{2}+\frac{b-\sqrt{b^2+4c}}{2}=b$
两根之积：$x_1x_2=\frac{(b+\sqrt{b^2+4c})(b-\sqrt{b^2+4c})}{4}=\frac{b^2-(b^2+4c)}{4}=-c$
根据韦达定理，以$x_1、x_2$为根的一元二次方程为$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$，代入得$x^2-bx-c=0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础题型，解题核心是熟练掌握求根公式的形式或韦达定理的应用，计算时要特别注意系数符号，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.8

2. 给出下列三个结论:①$3x^2 +5x=-2x+2$的二次项系数是3；②$ax^2 +bx +c=0$是关于x的一元二次方程，它的两个实数根是$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$；③方程$x(x+1)=x+1$的根是$x=-1$。其中正确的有()。

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

2. B

【分析】
解题时需逐个判断三个结论的正误，结合一元二次方程的相关概念逐一分析：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再判断二次项系数；②明确一元二次方程的定义及求根公式的适用条件；③解方程时注意不要随意约去含未知数的因式，避免漏根。
【解析】
我们对三个结论逐一验证：
1. 验证结论①：将方程$3x^2 +5x=-2x+2$移项整理为一般形式：
$3x^2 +5x +2x -2 = 0$，化简得$3x^2 +7x -2 = 0$，其中二次项系数为3，故①正确。
2. 验证结论②：只有当$a≠0$时，$ax^2 +bx +c=0$才是关于x的一元二次方程，且仅当判别式$\Delta = b^2 -4ac ≥ 0$时，方程才有两个实数根，可使用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$求解，题干未说明$a≠0$且$\Delta≥0$，故②错误。
3. 验证结论③：解方程$x(x+1)=x+1$，移项得$x(x+1)-(x+1)=0$，因式分解得$(x+1)(x-1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=1$，题干只给出根$x=-1$，漏掉了根$x=1$，故③错误。
综上，仅1个结论正确。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程定义、一元二次方程求解、求根公式适用条件
【点评】
本题主要考查一元二次方程的基础概念，易错点为忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，以及解方程时随意约去含未知数的因式导致漏根，熟练掌握基础概念和规范的解方程步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.7

3. 用公式法解下列方程：
(1)$2x^2 + \frac{1}{2} = -2x$；
(2)$x(x + 8) = 16$。

(1) $x_1 = x_2 = -\dfrac{1}{2}$
(2) $x_1 = -4 + 4\sqrt{2},x_2 = -4 - 4\sqrt{2}$

【分析】
用公式法解一元二次方程的固定思路为：第一步先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定$a、b、c$的取值；第二步计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程是否有实数根；第三步若$\Delta≥0$，直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，即可得到方程的根。
【解析】
(1) 整理原方程$2x^2 + \frac{1}{2} = -2x$，移项得一般形式：
$2x^2 + 2x + \frac{1}{2}=0$，两边同乘2消去分母得$4x^2+4x+1=0$
这里$a=4$，$b=4$，$c=1$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = 4^2 - 4×4×1 = 16 - 16 = 0$，方程有两个相等的实数根
代入求根公式得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4\pm\sqrt{0}}{2×4}=-\frac{1}{2}$
即$x_1=x_2=-\frac{1}{2}$
(2) 整理原方程$x(x + 8) = 16$，展开移项得一般形式：
$x^2 + 8x - 16=0$
这里$a=1$，$b=8$，$c=-16$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = 8^2 - 4×1×(-16) = 64 + 64 = 128＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-8\pm\sqrt{128}}{2×1}=\frac{-8\pm8\sqrt{2}}{2}=-4\pm4\sqrt{2}$
即$x_1=-4+4\sqrt{2}$，$x_2=-4-4\sqrt{2}$
【答案】
(1) $x_1 = x_2 = -\dfrac{1}{2}$
(2) $x_1 = -4 + 4\sqrt{2},x_2 = -4 - 4\sqrt{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 根的判别式
3. 公式法解方程
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，重点考查公式法解方程的步骤掌握情况，解题时需注意整理一般形式时不要弄错各项符号，计算判别式和求根时要细心，避免运算错误。
【难度系数】
0.75