1. 作已知角的平分线
已知$∠ AOB$,求作$∠ AOB$的平分线.

作法:如图,已知$∠ AOB$.
(1)以点$O$为圆心,适当长为半径作弧,交$OA$于点$M$,交$OB$于点$N$.
(2)分别以点$M,N$为圆心,的长为半径作弧,两弧在$∠ AOB$的相交于点$C$.
(3)作射线$OC$. 射线$OC$即为$∠ AOB$的平分线.

1. (2)大于$\frac{1}{2}MN$ 内部

【分析】
本题考查尺规作角平分线的步骤细节，解题时需回忆角平分线作图的原理和操作要求：第一步得到OM=ON后，第二步要保证以M、N为圆心画的两弧有交点，所以半径必须大于$\frac{1}{2}MN$，若半径等于$\frac{1}{2}MN$，交点在MN线段上，若半径小于$\frac{1}{2}MN$则两弧无交点，都无法作出符合要求的交点；同时为了让作出的射线在角内部起到平分作用，两弧的交点要落在∠AOB的内部，这样才能得到正确的角平分线。
【解析】
根据尺规作角平分线的规范步骤：
(2)分别以点M,N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧，可保证两弧存在有效交点；两弧需在$∠ AOB$的内部相交于点C，才能保证后续作出的射线OC在角内部，起到平分∠AOB的作用。
因此两个空依次填大于$\frac{1}{2}MN$、内部。
【答案】
(2)大于$\frac{1}{2}MN$ 内部
【知识点】
角平分线的尺规作图；尺规作图操作规范
【点评】
本题属于基础概念操作类题目，重点考察角平分线画法的核心细节，熟记作图步骤、理解每一步操作的原理是解题的关键，这类基础操作是后续复杂尺规作图的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9

2. 角的平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的距离.
3. 一般情况下,要证明一个几何命题时,可以按照类似的步骤进行,即:(1)明确命题中的和;(2)根据题意,画出,并用数学符号表示和;(3)经过分析,找出由推出要证的的途径,写出过程.

2. 相等
3. (1)已知 求证 (2)图形 已知 求证 (3)已知 结论 证明

【分析】
第2题属于基础概念识记题，直接回忆角平分线的性质定理内容即可作答；第3题考察几何命题证明的标准步骤，是教材中明确给出的固定流程，回忆对应步骤的表述即可完成填空，整体无推导难度，核心考察课本基础内容的记忆情况。
【解析】
2. 根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等，因此此处应填“相等”。
3. 结合几何命题证明的标准步骤分析：
(1) 证明命题首先要明确命题里给出的已知条件，以及需要证明的内容即求证；
(2) 随后根据题意画出对应的图形，用数学符号把已知和求证表示出来，将文字命题转化为直观的几何问题；
(3) 最后分析逻辑关系，找到由已知推出待证结论的路径，写出完整的证明过程。据此填写对应内容即可。
【答案】
2. 相等
3. (1)已知 求证 (2)图形 已知 求证 (3)已知 结论 证明
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 几何证明的基本步骤
【点评】
本题为基础识记类题目，考察对教材核心基础内容的掌握情况，熟记课本对应概念、流程即可快速作答，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9

典例1 如图，已知$∠ AOB$内一点$C$及线段$a$，在$∠ AOB$内求作一点$P$，使点$P$到射线$OA$和$OB$的距离相等，且$PC=a$.

解：
作法：
1. 用尺规作∠AOB的角平分线OM；
2. 以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，弧与射线OM在∠AOB内部的交点即为所求作的点P。

【分析】
我们可以将题目的两个要求分别转化为点的轨迹来思考：首先，到角两边OA、OB距离相等的点，都在∠AOB的角平分线上；其次，到点C的距离等于a的点，都在以C为圆心、a为半径的圆上。因此满足两个条件的点就是这两个轨迹的交点，按照这个思路分步作图即可。
【解析】
1. 利用尺规作图作出∠AOB的角平分线OM；
2. 以点C为圆心，线段a的长度为半径画弧，取该弧与射线OM在∠AOB内部的交点，即为所求的点P。
【答案】
作法：
1. 用尺规作∠AOB的角平分线OM；
2. 以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，弧与射线OM在∠AOB内部的交点即为所求作的点P。
【知识点】
角平分线的性质；尺规作图；圆的定义
【点评】
本题属于基础作图题，是双轨迹作图的典型应用，要求学生能将几何条件转化为对应的点的集合，熟练掌握角平分线和圆的基本作图方法，加深对几何性质的应用理解。
【难度系数】
0.7

举一反三 如图，$∠ A = 90°$. 利用直尺和圆规，在边AC上找一点P，使点P到边AB和BC的距离相等.

作法 如图.
(1)以点 B 为圆心,适当长为半径作弧,交 BA 于点 M,交 BC 于点 N;
(2)分别以点 M,N 为圆心,以大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在$∠ABC$内部相交于点 D;
(3)作射线 BD,交 AC 于点 P. 点 P 就是所求作的点.

【分析】
要找到AC边上到AB、BC距离相等的点P，首先回忆角平分线的相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反之，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。由此可知点P一定在∠ABC的角平分线上，结合P在AC上的要求，只需用尺规作出∠ABC的角平分线，它与AC的交点就是所求的点P。
【解析】
所求点P是∠ABC的角平分线与边AC的交点，尺规作图步骤如下：
(1)以点B为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交BA边于点M、交BC边于点N；
(2)分别以点M、N为圆心，取大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠ABC的内部交于点D；
(3)过点B、D作射线BD，射线BD与AC边的交点即为所求的点P。
【答案】
作法 如图.
(1)以点 B 为圆心,适当长为半径作弧,交 BA 于点 M,交 BC 于点 N;
(2)分别以点 M,N 为圆心,以大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在$∠ABC$内部相交于点 D;
(3)作射线 BD,交 AC 于点 P. 点 P 就是所求作的点.
【知识点】
角平分线的性质；尺规作角平分线
【点评】
本题是基础作图题，解题的关键是将“点到角两边距离相等”的条件转化为作角平分线的操作，需要熟练掌握角平分线的性质和尺规作角平分线的标准步骤。
【难度系数】
0.8

典例2 如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝3 cm，BC＝10 cm，求△DBC的面积。

温馨提示 利用角的平分线的性质解决相关线段相等问题比利用三角形全等去解决更直观、更快捷。
举一反三 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积$S_{△ ABC}=28\ \mathrm{cm}^2$，AB＝16 cm，AC＝12 cm，求DE的长。
典例解析

举一反三 解 $\because AD$ 平分$∠ BAC,DE⊥ AB,DF⊥ AC$,
$\therefore DE=DF$.
$\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AB × DE + \frac{1}{2} AC × DF = \frac{1}{2}(AB+AC)× DE$,
即$\frac{1}{2}×(16+12)× DE=28$,
$\therefore DE=2\ \mathrm{cm}$.

【分析】
解题时先观察已知条件：AD是∠BAC的角平分线，且DE、DF分别是点D到∠BAC两边的垂线段，首先联想到角平分线的性质，可直接得到DE=DF，无需证明三角形全等。接下来△ABC的面积可拆分为△ABD和△ACD的面积之和，两个三角形的高分别为DE和DF，结合DE=DF，代入已知的面积、AB和AC的长度，即可列方程求出DE的长度。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质可得：DE=DF。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$，
且$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· DF$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· DE+\frac{1}{2}AC· DF$，
将DE=DF代入上式，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(AB+AC)· DE$，
把$S_{△ ABC}=28\ \mathrm{cm}^2$，AB=16 cm，AC=12 cm代入，
得：$\frac{1}{2}×(16+12)× DE=28$，
即$14DE=28$，
解得：$DE=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$DE=2\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 三角形面积计算
【点评】
本题核心是角平分线性质的灵活应用，将大三角形拆分为两个等高的小三角形计算面积是解题的突破口，相比证明三角形全等来推导线段相等，使用角平分线的性质能大幅简化计算步骤。
【难度系数】
0.8