1. 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，若要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是().

A.∠CAB=∠DBA
B.AB=BD
C.BC=AD
D.∠ABC=∠BAD

1.C

【分析】
首先明确“HL”判定定理的内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。观察题中两个直角三角形Rt△ABC和Rt△BAD，斜边AB为公共边，已经满足相等的条件，因此只需添加一组直角边对应相等即可符合HL的判定要求。接下来逐一判断选项：角相等的条件属于AAS判定依据，不符合HL要求；对应边不匹配的选项直接排除，最终找到符合直角边对应相等的选项即可。
【解析】
已知AC⊥BC，BD⊥AD，因此∠C=∠D=90°，△ABC和△BAD均为直角三角形，且二者斜边均为AB，可得AB=BA（公共边）。
若用“HL”证明两三角形全等，还需补充一组直角边对应相等：
A选项：∠CAB=∠DBA，结合∠C=∠D、AB=BA，可通过AAS判定全等，不符合“HL”要求，排除；
B选项：AB是Rt△ABC的斜边，BD是Rt△BAD的直角边，二者不是对应边，不可能相等，排除；
C选项：BC是Rt△ABC的直角边，AD是Rt△BAD的直角边，BC=AD时，满足斜边和一条直角边对应相等，可通过“HL”证明Rt△ABC≌Rt△BAD，符合要求；
D选项：∠ABC=∠BAD，同理属于AAS判定的条件，不符合“HL”要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
HL判定定理，直角三角形全等判定，全等三角形判定条件
【点评】
本题重点考查HL判定定理的适用条件，解题时需注意HL仅适用于直角三角形，且题目指定了判定方法，要区分HL与普通三角形全等判定方法的差异，找准斜边和直角边的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2.如图，$AB=DE$，$AD⊥ BE$，垂足$C$是$BE$的中点.求证$AB// DE$.

证明 $\because AD⊥ BE$，
$\therefore∠ ACB=∠ DCE=90°$.
$\because C$ 是 $BE$ 的中点，
$\therefore BC=CE$.
在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 和 $\mathrm{Rt} △ DEC$ 中，
$\begin{cases} AB=DE, \\ BC=EC, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEC(\mathrm{HL})$，
$\therefore∠ B=∠ E$，
$\therefore AB// DE$.

【分析】
要证明$AB// DE$，根据平行线的判定规则，只需证明内错角$∠ B=∠ E$即可。观察图形可知$∠ B$和$∠ E$分别在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEC$中：首先由$AD⊥ BE$可得两个三角形均为直角三角形，再结合$C$是$BE$中点可推出$BC=CE$，加上已知的$AB=DE$，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，利用全等三角形对应角相等的性质得到$∠ B=∠ E$，最终即可推出$AB// DE$。
【解析】
证明：$\because AD⊥ BE$，
$\therefore∠ ACB=∠ DCE=90°$。
$\because C$是$BE$的中点，
$\therefore BC=CE$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEC$中，
$\begin{cases} AB=DE, \\ BC=EC, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEC(\mathrm{HL})$，
$\therefore∠ B=∠ E$，
$\therefore AB// DE$。
【答案】
$\because AD⊥ BE$，
$\therefore∠ ACB=∠ DCE=90°$。
$\because C$是$BE$的中点，
$\therefore BC=CE$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEC$中，
$\begin{cases} AB=DE, \\ BC=EC, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEC(\mathrm{HL})$，
$\therefore∠ B=∠ E$，
$\therefore AB// DE$。
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是先结合已知条件证明直角三角形全等，得到相等的对应角后再推导平行关系，需注意HL定理仅适用于直角三角形全等的判定。
【难度系数】
0.8

3.如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿AC行走，小芳沿BD行走，两人分别同时到达点C，D，且$CB⊥ AB$，$DA⊥ AB$。

(1)CB与DA相等吗？为什么？
(2)若$∠ DAC=60°$，求$∠ DBA$的度数。

3. 解 (1)$CB=DA$,理由：
由题意可得 $AC=BD$，
$\because CB⊥ AB,DA⊥ AB$，
$\therefore∠ ABC=∠ BAD=90°$.
在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 和 $\mathrm{Rt} △ BAD$ 中，
$\begin{cases} AC=BD, \\ AB=BA, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ BAD(\mathrm{HL})$，
$\therefore CB=DA$.
(2) 由题意可得 $∠ CAB = 90° -60°=30°$,又 $\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ BAD$，
$\therefore∠ DBA=∠ BAC=30°$.

【分析】
(1)要判断CB与DA是否相等，可通过证明两条边所在的三角形全等推导。首先根据“速度相同、同时出发同时到达”可得两人行走路程相等，即$AC=BD$；再由垂直条件可知$△ ABC$和$△ BAD$都是直角三角形，且两个三角形有公共边AB，满足直角三角形全等的HL判定条件，证明全等后即可得到对应边相等。
(2)要求$∠ DBA$的度数，先结合$∠ BAD$是直角、已知$∠ DAC=60°$，先计算出$∠ BAC$的度数，再利用(1)中全等三角形对应角相等的性质，即可得到$∠ DBA$的度数。
【解析】
(1)$CB=DA$，理由如下：
由题意得小明和小芳行走速度、时间均相等，因此路程相等，即$AC=BD$。
$\because CB⊥ AB,DA⊥ AB$，
$\therefore∠ ABC=∠ BAD=90°$，即$\mathrm{Rt} △ ABC$ 和 $\mathrm{Rt} △ BAD$均为直角三角形。
在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 和 $\mathrm{Rt} △ BAD$ 中，
$\begin{cases} AC=BD, \\ AB=BA（公共边）, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ BAD(\mathrm{HL})$，
$\therefore$ 由全等三角形对应边相等得$CB=DA$。
(2) $\because DA⊥AB$，$\therefore ∠BAD=90°$，
$\because∠ DAC=60°$，$\therefore ∠CAB = ∠BAD - ∠DAC= 90° -60°=30°$，
由(1)知$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ BAD$，根据全等三角形对应角相等，
$\therefore∠ DBA=∠ BAC=30°$。
【答案】
(1)$CB=DA$；(2)$∠DBA=30°$
【知识点】
1. 直角三角形全等判定（HL）
2. 全等三角形的性质
3. 垂直的定义
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用类题目，解题核心是先结合行程的等量关系得到三角形的边相等，再利用HL定理证明直角三角形全等，最后通过全等的性质求解对应边和角，需注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8

4. 如图，$CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，垂足分别为$D$，$E$，$BE$与$CD$相交于点$O$。如果$AB=AC$，那么图中全等的直角三角形的对数是()。

A.1
B.2
C.3
D.4

4. C 解析 $\because CD⊥ AB,BE⊥ AC$，
$\therefore∠ ADC=∠ AEB=90°$.
在$△ ADC$ 和$△ AEB$ 中，
$\begin{cases} ∠ ADC=∠ AEB, \\ ∠ DAC=∠ EAB, \\ AC=AB, \end{cases}$
$\therefore△ ADC≌△ AEB(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=AE,∠ C=∠ B$.
$\because AB=AC,\therefore BD=CE$.
在$△ BOD$ 和$△ COE$ 中，
$\begin{cases} ∠ B=∠ C, \\ ∠ BOD=∠ COE, \\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore△ BOD≌△ COE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore OD=OE$.
在 $\mathrm{Rt} △ ADO$ 和 $\mathrm{Rt} △ AEO$ 中，
$\begin{cases} OA=OA, \\ OD=OE, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADO≌\mathrm{Rt}△ AEO(\mathrm{HL})$，
$\therefore$ 共有 3 对全等的直角三角形，
故选 C.

【分析】
要找出图中全等的直角三角形，首先先明确所有直角三角形为$△ ADC$、$△ AEB$、$△ ADO$、$△ AEO$、$△ BOD$、$△ COE$。解题时从已知条件最充足的大三角形入手：已知$AB=AC$，且$CD⊥ AB$、$BE⊥ AC$，存在公共角$∠ DAC=∠ EAB$，可先证最大的两个直角三角形全等；再利用全等得到的对应边、对应角相等，结合对顶角相等、公共边等隐含条件，逐步推导小直角三角形的全等关系，最后统计对数即可。
【解析】
$\because CD⊥ AB$，$BE⊥ AC$，$\therefore ∠ ADC=∠ AEB=90°$。
在$△ ADC$和$△ AEB$中：
$\begin{cases}∠ ADC=∠ AEB \\∠ DAC=∠ EAB \\AC=AB\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ AEB(\mathrm{AAS})$，可得$AD=AE$，$∠ C=∠ B$。
$\because AB=AC$，$\therefore AB-AD=AC-AE$，即$BD=CE$。
在$△ BOD$和$△ COE$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ C \\∠ BOD=∠ COE \\BD=CE\end{cases}$
$\therefore △ BOD≌△ COE(\mathrm{AAS})$，可得$OD=OE$。
在$\mathrm{Rt}△ ADO$和$\mathrm{Rt}△ AEO$中：
$\begin{cases}OA=OA \\OD=OE\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADO≌\mathrm{Rt}△ AEO(\mathrm{HL})$。
综上，全等的直角三角形共有3对。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定，HL定理，对顶角性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题时要注意挖掘公共角、对顶角、公共边等隐含条件，按顺序逐步推导全等关系，避免漏数或多数全等三角形的对数。
【难度系数】
0.7

5. 如图, 在四边形 ABCD 中, $∠ ABC = ∠ ADC = 90°$, $BE ⊥ AC$ 于点 E, $DF ⊥ AC$ 于点 F, $CF = AE$, $BC = DA$. 求证 $BE = DF$.

5. 证明 在 $\mathrm{Rt} △ ADC$ 和 $\mathrm{Rt} △ CBA$ 中，$\begin{cases} DA=BC, \\ AC=CA, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ CBA(\mathrm{HL})$，
$\therefore DC=BA$.
$\because BE⊥ AC,DF⊥ AC$，
$\therefore∠ AEB=∠ CFD=90°$.
在 $\mathrm{Rt} △ ABE$ 和 $\mathrm{Rt} △ CDF$ 中，
$\begin{cases} AE=CF, \\ AB=CD, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
$\therefore BE=DF$.

【分析】
要证明BE=DF，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先观察图形和已知条件，存在多个直角三角形：第一步先利用已知的DA=BC，以及公共斜边AC，用HL判定Rt△ADC和Rt△CBA全等，得到AB=CD；第二步结合已知的AE=CF，以及BE⊥AC、DF⊥AC得到的直角，再次用HL判定Rt△ABE和Rt△CDF全等，即可推出对应边BE=DF。
【解析】
证明：在 $\mathrm{Rt} △ ADC$ 和 $\mathrm{Rt} △ CBA$ 中，
$\begin{cases} DA=BC, \\ AC=CA, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ CBA(\mathrm{HL})$，
$\therefore DC=BA$.
$\because BE⊥ AC,DF⊥ AC$，
$\therefore∠ AEB=∠ CFD=90°$.
在 $\mathrm{Rt} △ ABE$ 和 $\mathrm{Rt} △ CDF$ 中，
$\begin{cases} AE=CF, \\ AB=CD, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
$\therefore BE=DF$.
【答案】
证明：在 $\mathrm{Rt} △ ADC$ 和 $\mathrm{Rt} △ CBA$ 中，
$\begin{cases} DA=BC, \\ AC=CA, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ CBA(\mathrm{HL})$，
$\therefore DC=BA$.
$\because BE⊥ AC,DF⊥ AC$，
$\therefore∠ AEB=∠ CFD=90°$.
在 $\mathrm{Rt} △ ABE$ 和 $\mathrm{Rt} △ CDF$ 中，
$\begin{cases} AE=CF, \\ AB=CD, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
$\therefore BE=DF$.
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查直角三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，解题的关键是结合已知条件两次运用HL定理证明三角形全等，掌握全等三角形的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8