典例3 分解因式：
(1)$25(x-2y)^2 - 4(y-2x)^2$；
(2)$2(x^2 - \dfrac{1}{2}) - x^4$。
典例解析

典例3 解 (1)$25(x-2y)^2 -4(y-2x)^2$
$=[5(x-2y)+2(y-2x)][5(x-2y)-2(y-2x)]$
$=(5x -10y +2y -4x)(5x -10y -2y +4x)$
$=(x-8y)(9x-12y)$
$=3(x-8y)(3x-4y)$。
(2)$2(x^2 - \frac{1}{2})-x^4$
$=2x^2 -1 -x^4$
$=-(x^4 -2x^2 +1)$
$=-(x^2 -1)^2$
$=-(x+1)^2(x-1)^2$。

【分析】
(1) 观察原式可发现是两个平方项相减的结构，符合平方差公式的特征，先将两项分别转化为平方形式：$25(x-2y)^2=[5(x-2y)]^2$，$4(y-2x)^2=[2(y-2x)]^2$，套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$展开，再去括号合并同类项，最后提取公因式即可得到结果；
(2) 先对原式去括号整理，按降幂排列后可发现其符合完全平方公式的逆用结构，先提取负号转化为完全平方形式分解，得到的因式$x^2-1$仍满足平方差公式特征，继续分解直到所有因式都不能再分解为止。
【解析】
(1) $25(x-2y)^2 -4(y-2x)^2$
$=[5(x-2y)+2(y-2x)][5(x-2y)-2(y-2x)]$
$=(5x -10y +2y -4x)(5x -10y -2y +4x)$
$=(x-8y)(9x-12y)$
$=3(x-8y)(3x-4y)$
(2) $2(x^2 - \frac{1}{2})-x^4$
$=2x^2 -1 -x^4$
$=-(x^4 -2x^2 +1)$
$=-(x^2 -1)^2$
$=-(x+1)^2(x-1)^2$
【答案】
(1) $3(x-8y)(3x-4y)$；(2) $-(x+1)^2(x-1)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的常规应用，解题时要先观察式子结构选择对应的分解方法，注意因式分解要彻底，需分解到每个因式都不能再分解为止，同时要注意变形过程中的符号处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.7