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典例1 判断下列各式哪些是整式，哪些是分式.
$9x+4,\frac{7}{x},\frac{9+y}{20},\frac{m-4}{5},\frac{8y-3}{y^2},\frac{1}{x-9}$
$9x+4,\frac{7}{x},\frac{9+y}{20},\frac{m-4}{5},\frac{8y-3}{y^2},\frac{1}{x-9}$
答案
解：
根据整式与分式的定义：分母中不含有字母的有理式是整式，分母中含有字母且分母不为0的有理式是分式。
整式有：$9x+4$，$\frac{9+y}{20}$，$\frac{m-4}{5}$；
分式有：$\frac{7}{x}$，$\frac{8y-3}{y^2}$，$\frac{1}{x-9}$。
根据整式与分式的定义：分母中不含有字母的有理式是整式，分母中含有字母且分母不为0的有理式是分式。
整式有：$9x+4$，$\frac{9+y}{20}$，$\frac{m-4}{5}$；
分式有：$\frac{7}{x}$，$\frac{8y-3}{y^2}$，$\frac{1}{x-9}$。
解析
【分析】
要判断式子属于整式还是分式，首先要明确两者的核心判定标准：二者的本质区别是式子的分母中是否含有字母。解题时我们逐个分析每个式子的分母即可：若分母不含字母，就是整式；若分母含有字母，就是分式，分子是否含字母不影响分类结果。
【解析】
根据整式与分式的定义：分母中不含有字母的有理式是整式，分母中含有字母且分母不为0的有理式是分式。
逐个分析各式子：
1. $9x+4$无分母（分母为1，不含字母），属于整式；
2. $\frac{7}{x}$分母含字母$x$，属于分式；
3. $\frac{9+y}{20}$分母是20，不含字母，属于整式；
4. $\frac{m-4}{5}$分母是5，不含字母，属于整式；
5. $\frac{8y-3}{y^2}$分母含字母$y$，属于分式；
6. $\frac{1}{x-9}$分母含字母$x$，属于分式。
综上可得整式和分式的分类结果。
【答案】
整式有：$9x+4$，$\frac{9+y}{20}$，$\frac{m-4}{5}$；
分式有：$\frac{7}{x}$，$\frac{8y-3}{y^2}$，$\frac{1}{x-9}$。
【知识点】
整式的定义；分式的定义；有理式分类
【点评】
本题是概念类基础题，核心考查整式和分式的区分，只要抓住“分母是否含字母”这一判定要点即可快速解题，注意不要被分子中是否有字母干扰判断。
【难度系数】
0.9
要判断式子属于整式还是分式，首先要明确两者的核心判定标准：二者的本质区别是式子的分母中是否含有字母。解题时我们逐个分析每个式子的分母即可：若分母不含字母，就是整式；若分母含有字母，就是分式，分子是否含字母不影响分类结果。
【解析】
根据整式与分式的定义：分母中不含有字母的有理式是整式，分母中含有字母且分母不为0的有理式是分式。
逐个分析各式子：
1. $9x+4$无分母（分母为1，不含字母），属于整式；
2. $\frac{7}{x}$分母含字母$x$，属于分式；
3. $\frac{9+y}{20}$分母是20，不含字母，属于整式；
4. $\frac{m-4}{5}$分母是5，不含字母，属于整式；
5. $\frac{8y-3}{y^2}$分母含字母$y$，属于分式；
6. $\frac{1}{x-9}$分母含字母$x$，属于分式。
综上可得整式和分式的分类结果。
【答案】
整式有：$9x+4$，$\frac{9+y}{20}$，$\frac{m-4}{5}$；
分式有：$\frac{7}{x}$，$\frac{8y-3}{y^2}$，$\frac{1}{x-9}$。
【知识点】
整式的定义；分式的定义；有理式分类
【点评】
本题是概念类基础题，核心考查整式和分式的区分，只要抓住“分母是否含字母”这一判定要点即可快速解题，注意不要被分子中是否有字母干扰判断。
【难度系数】
0.9
举一反三 下列各式是分式的是(
A.$a+b$
B.$\dfrac{a+b}{2}$
C.$\dfrac{a+b}{π}$
D.$\dfrac{1}{a+b}$
典例解析
典例1
D
).A.$a+b$
B.$\dfrac{a+b}{2}$
C.$\dfrac{a+b}{π}$
D.$\dfrac{1}{a+b}$
典例解析
典例1
答案
1. D
解析
【分析】
要判断一个式子是不是分式，首先要回忆分式的定义：判断核心是看式子的分母中是否含有字母，注意π是圆周率，属于固定的常数，不算字母。接下来我们逐个分析每个选项是否符合分式的定义即可选出正确答案。
【解析】
首先明确分式的定义：如果A、B是两个整式，且B中含有字母（B≠0），那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。
对各选项逐一分析：
A选项：$a+b$是整式，不具备$\frac{A}{B}$的分式形式，不符合定义，排除；
B选项：$\frac{a+b}{2}$的分母是2，属于常数，因此该式是整式，不符合分式定义，排除；
C选项：$\frac{a+b}{π}$的分母是$π$，是固定常数，因此该式是整式，不符合分式定义，排除；
D选项：$\frac{1}{a+b}$的分母是$a+b$，含有字母，符合分式的定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题考查分式的基础判定，属于概念类基础题，易错点是容易误将π当作字母判断，只要牢记分式的判定标准，区分开常数和字母即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要判断一个式子是不是分式，首先要回忆分式的定义：判断核心是看式子的分母中是否含有字母，注意π是圆周率，属于固定的常数，不算字母。接下来我们逐个分析每个选项是否符合分式的定义即可选出正确答案。
【解析】
首先明确分式的定义：如果A、B是两个整式，且B中含有字母（B≠0），那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。
对各选项逐一分析：
A选项：$a+b$是整式，不具备$\frac{A}{B}$的分式形式，不符合定义，排除；
B选项：$\frac{a+b}{2}$的分母是2，属于常数，因此该式是整式，不符合分式定义，排除；
C选项：$\frac{a+b}{π}$的分母是$π$，是固定常数，因此该式是整式，不符合分式定义，排除；
D选项：$\frac{1}{a+b}$的分母是$a+b$，含有字母，符合分式的定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题考查分式的基础判定，属于概念类基础题，易错点是容易误将π当作字母判断，只要牢记分式的判定标准，区分开常数和字母即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解 整式：$9x+4,\frac{9+y}{20},\frac{m-4}{5}.$
分式：$\frac{7}{x},\frac{8y-3}{y^2},\frac{1}{x-9}.$
分式：$\frac{7}{x},\frac{8y-3}{y^2},\frac{1}{x-9}.$
答案
解：根据整式与分式的定义判断：
分母中不含有字母的有理式为整式，分母中含有字母的有理式为分式。
1. $9x+4$是多项式，分母不含字母，属于整式；
2. $\frac{9+y}{20}$的分母是常数20，不含字母，属于整式；
3. $\frac{m-4}{5}$的分母是常数5，不含字母，属于整式；
4. $\frac{7}{x}$的分母中含有字母$x$，属于分式；
5. $\frac{8y-3}{y^2}$的分母中含有字母$y$，属于分式；
6. $\frac{1}{x-9}$的分母中含有字母$x$，属于分式。
综上，整式为$9x+4,\frac{9+y}{20},\frac{m-4}{5}$；分式为$\frac{7}{x},\frac{8y-3}{y^2},\frac{1}{x-9}$。
分母中不含有字母的有理式为整式，分母中含有字母的有理式为分式。
1. $9x+4$是多项式，分母不含字母，属于整式；
2. $\frac{9+y}{20}$的分母是常数20，不含字母，属于整式；
3. $\frac{m-4}{5}$的分母是常数5，不含字母，属于整式；
4. $\frac{7}{x}$的分母中含有字母$x$，属于分式；
5. $\frac{8y-3}{y^2}$的分母中含有字母$y$，属于分式；
6. $\frac{1}{x-9}$的分母中含有字母$x$，属于分式。
综上，整式为$9x+4,\frac{9+y}{20},\frac{m-4}{5}$；分式为$\frac{7}{x},\frac{8y-3}{y^2},\frac{1}{x-9}$。
解析
【分析】
要完成这道题的分类，首先要明确整式和分式的核心判断标准：二者的本质区别是式子的分母中是否含有字母，分母不含字母的有理式为整式，分母含有字母的有理式为分式。解题时只需逐个检查每个式子的分母部分，判断是否含有字母，再对应归类即可，不需要受分子是否含字母的干扰。
【解析】
根据整式与分式的定义判断：
分母中不含有字母的有理式为整式，分母中含有字母的有理式为分式。
1. $9x+4$是多项式，分母可看作常数1，不含字母，属于整式；
2. $\frac{9+y}{20}$的分母是常数20，不含字母，属于整式；
3. $\frac{m-4}{5}$的分母是常数5，不含字母，属于整式；
4. $\frac{7}{x}$的分母中含有字母$x$，属于分式；
5. $\frac{8y-3}{y^2}$的分母中含有字母$y$，属于分式；
6. $\frac{1}{x-9}$的分母中含有字母$x$，属于分式。
综上可得到整式和分式的分类结果。
【答案】
整式：$9x+4,\frac{9+y}{20},\frac{m-4}{5}$；分式：$\frac{7}{x},\frac{8y-3}{y^2},\frac{1}{x-9}$
【知识点】
1. 整式的定义
2. 分式的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查整式与分式的区分方法，只要牢牢抓住“分母是否含字母”这个判断标准，就能快速准确完成分类，不易出错。
【难度系数】
0.8
要完成这道题的分类，首先要明确整式和分式的核心判断标准：二者的本质区别是式子的分母中是否含有字母，分母不含字母的有理式为整式，分母含有字母的有理式为分式。解题时只需逐个检查每个式子的分母部分，判断是否含有字母，再对应归类即可，不需要受分子是否含字母的干扰。
【解析】
根据整式与分式的定义判断：
分母中不含有字母的有理式为整式，分母中含有字母的有理式为分式。
1. $9x+4$是多项式，分母可看作常数1，不含字母，属于整式；
2. $\frac{9+y}{20}$的分母是常数20，不含字母，属于整式；
3. $\frac{m-4}{5}$的分母是常数5，不含字母，属于整式；
4. $\frac{7}{x}$的分母中含有字母$x$，属于分式；
5. $\frac{8y-3}{y^2}$的分母中含有字母$y$，属于分式；
6. $\frac{1}{x-9}$的分母中含有字母$x$，属于分式。
综上可得到整式和分式的分类结果。
【答案】
整式：$9x+4,\frac{9+y}{20},\frac{m-4}{5}$；分式：$\frac{7}{x},\frac{8y-3}{y^2},\frac{1}{x-9}$
【知识点】
1. 整式的定义
2. 分式的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查整式与分式的区分方法，只要牢牢抓住“分母是否含字母”这个判断标准，就能快速准确完成分类，不易出错。
【难度系数】
0.8
典例2 分式$\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1)(x-3)}$有意义的条件是().
A.$x≠-1$
B.$x≠3$
C.$x≠-1$或$x≠3$
D.$x≠-1$，且$x≠3$
规律方法 判断分式是否有意义只看分母，若字母的取值使分母不为零，则分式有意义；若字母的取值使分母为零，则分式无意义。
A.$x≠-1$
B.$x≠3$
C.$x≠-1$或$x≠3$
D.$x≠-1$，且$x≠3$
规律方法 判断分式是否有意义只看分母，若字母的取值使分母不为零，则分式有意义；若字母的取值使分母为零，则分式无意义。
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确判断分式有意义的核心规则：分式有意义的前提是分母不为0。我们只需要对该分式的分母列不等式求解即可，分母是两个整式的乘积，要使乘积不为0，必须两个因式同时不为0，两个条件是并列关系，要用“且”连接，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：要使分式$\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1)(x-3)}$有意义，需满足分母不等于0，即：
$(x+1)(x-3) ≠ 0$
根据乘法运算的性质，若两个数的乘积不为0，则两个乘数都不能为0，因此可得：
$x+1 ≠ 0$ 且 $x-3 ≠ 0$
分别解两个不等式，得$x ≠ -1$且$x ≠ 3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式基础概念类考题，易错点是容易混淆“且”和“或”的逻辑关系，要注意分母的两个因式必须同时满足不为0的要求，因此两个限制条件是并列关系，需用“且”连接。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确判断分式有意义的核心规则：分式有意义的前提是分母不为0。我们只需要对该分式的分母列不等式求解即可，分母是两个整式的乘积，要使乘积不为0，必须两个因式同时不为0，两个条件是并列关系，要用“且”连接，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：要使分式$\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1)(x-3)}$有意义，需满足分母不等于0，即：
$(x+1)(x-3) ≠ 0$
根据乘法运算的性质，若两个数的乘积不为0，则两个乘数都不能为0，因此可得：
$x+1 ≠ 0$ 且 $x-3 ≠ 0$
分别解两个不等式，得$x ≠ -1$且$x ≠ 3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式基础概念类考题，易错点是容易混淆“且”和“或”的逻辑关系，要注意分母的两个因式必须同时满足不为0的要求，因此两个限制条件是并列关系，需用“且”连接。
【难度系数】
0.7
举一反三 使分式$\frac{x}{x+2}$无意义的条件是(
A. $x≠2$
B. $x≠-2$
C. $x=-2$
D. $x=2$
典例2
答案 D
解析 由题意知$(x+1)(x-3)≠0$，
即$x+1≠0$，且$x-3≠0$，
$\therefore x≠-1$，且$x≠3$，故选 D.
C
).A. $x≠2$
B. $x≠-2$
C. $x=-2$
D. $x=2$
典例2
答案 D
解析 由题意知$(x+1)(x-3)≠0$，
即$x+1≠0$，且$x-3≠0$，
$\therefore x≠-1$，且$x≠3$，故选 D.
答案
2. C
解析
【分析】
要判断分式无意义的条件，首先回忆分式相关性质：分式无意义等价于分式的分母取值为0。因此解题时第一步先找到给定分式的分母，第二步令分母的表达式等于0，第三步解出对应x的取值，即可得到答案。本题中分式$\frac{x}{x+2}$的分母是$x+2$，按上述步骤求解即可。
【解析】
根据分式无意义的判定规则：当分式的分母为0时，分式无意义。
分式$\frac{x}{x+2}$的分母为$x+2$，令$x+2=0$，
解得：$x=-2$，
即$x=-2$时，该分式无意义，故选C。
【答案】
C
【知识点】
分式无意义的判定；一元一次方程的求解
【点评】
本题是基础概念考查题，核心要求掌握分式有无意义的判定规则，解题时只需紧扣“分母为0时分式无意义”的要点即可快速作答，注意区分分式无意义、有意义、值为0三类问题的判定条件，避免混淆。
【难度系数】
0.9
要判断分式无意义的条件，首先回忆分式相关性质：分式无意义等价于分式的分母取值为0。因此解题时第一步先找到给定分式的分母，第二步令分母的表达式等于0，第三步解出对应x的取值，即可得到答案。本题中分式$\frac{x}{x+2}$的分母是$x+2$，按上述步骤求解即可。
【解析】
根据分式无意义的判定规则：当分式的分母为0时，分式无意义。
分式$\frac{x}{x+2}$的分母为$x+2$，令$x+2=0$，
解得：$x=-2$，
即$x=-2$时，该分式无意义，故选C。
【答案】
C
【知识点】
分式无意义的判定；一元一次方程的求解
【点评】
本题是基础概念考查题，核心要求掌握分式有无意义的判定规则，解题时只需紧扣“分母为0时分式无意义”的要点即可快速作答，注意区分分式无意义、有意义、值为0三类问题的判定条件，避免混淆。
【难度系数】
0.9
