典例1 如图，AD是BC边上的中线，F为线段AD上的点，延长AD至点E，连接BE，CF，使$BE // CF$。求证$△ BDE ≌ △ CDF$。

温馨提示 (1)用“ASA”列举两个三角形全等的条件时，把夹边写在中间，以突出边角的位置。
(2)注意挖掘隐含的等角，如：公共角、对顶角、平行线中的同位角等。

1. 证明
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD.
∵BE//CF，
∴∠DBE=∠DCF.
在△BDE和△CDF中，$\{\begin{array}{l}∠DBE=∠DCF,\\BD=CD,\\∠BDE=∠CDF,\end{array} $
∴△BDE≌△CDF(ASA).

【分析】
要证明△BDE≌△CDF，结合ASA全等判定的要求，我们可以逐步推导所需条件：首先根据AD是BC中线，可得BD=CD，即两个三角形的一组对应夹边相等；再由BE//CF，根据平行线的内错角相等，可得一组对应角∠DBE=∠DCF；最后结合图形中隐含的对顶角相等，可得另一组对应角∠BDE=∠CDF，三组条件刚好满足ASA判定要求，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD.
∵BE//CF，
∴∠DBE=∠DCF.
在△BDE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠DBE=∠DCF,\\BD=CD,\\∠BDE=∠CDF,\end{array} $
∴△BDE≌△CDF(ASA).
【答案】
证明过程见解析，△BDE≌△CDF成立。
【知识点】
中线的定义；平行线的性质；全等三角形ASA判定
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是学会从题干已知条件和图形隐含特征（如对顶角）中提取全等判定所需的边角关系，熟练掌握基础几何性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9

举一反三 如图,点 E,C 在线段 BF上,BE=CF,AB//DE,∠ACB=∠F.求证△ABC≌△DEF.

1. 证明
∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF.
∵BE=CF，
∴BC=EF.
在△ABC 和△DEF 中，
$\begin{cases}∠ABC=∠DEF,\\BC=EF,\\∠ACB=∠F,\end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(ASA).

【分析】
要证明△ABC≌△DEF，需先梳理推导全等所需的对应边、对应角相等的条件：①由AB//DE，根据平行线的同位角相等性质，可得∠B=∠DEF；②已知BE=CF，给等式两边同时加公共线段EC，可推出BC=EF，得到一组对应边相等；③题目已给出∠ACB=∠F。以上三个条件刚好符合角边角（ASA）的全等判定规则，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF。
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF。
在△ABC 和△DEF 中：
$\begin{cases}∠ABC=∠DEF,\\BC=EF,\\∠ACB=∠F,\end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(ASA)。
【答案】
△ABC≌△DEF，得证。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形ASA判定；线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题核心是结合已知条件推导全等判定需要的对应边、角相等关系，熟练掌握平行线性质和全等判定定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

典例2 如图，如果$DF=CE$，$∠ DAE=∠ CBF$，$∠ D=∠ C$，那么$△ AED ≌ △ BFC$成立吗？请说明理由。

温馨提示 判定两个三角形全等，若已知两个角分别相等，可以判定其中一个角的对边相等，用“AAS”，或判定其中两个角的夹边相等，用“ASA”。

2. 解 成立.
理由：$\because DF = CE$，$\therefore DF - EF = CE - EF$，$\therefore DE = CF$.
在$△ AED$和$△ BFC$中，$\{\begin{array}{l}∠ DAE=∠ CBF,\\∠ D=∠ C,\\DE=CF,\end{array} $
$\therefore △ AED≌△ BFC(\mathrm{AAS})$.

【分析】
要判断△AED和△BFC是否全等，首先回忆三角形全等的判定定理。题目已给出两组角对应相等：∠DAE=∠CBF，∠D=∠C，因此只需再找到一组对应边相等即可满足全等判定条件。观察已知DF=CE，线段DF由DE和EF组成，线段CE由CF和EF组成，根据等式的性质，两边同时减去公共部分EF，即可得到DE=CF，这组边恰好是两个三角形中对应相等的角的对边，满足AAS的判定要求，即可证明两个三角形全等。
【解析】
成立，理由如下：
$\because DF = CE$，
$\therefore DF - EF = CE - EF$，即$DE = CF$。
在$△ AED$和$△ BFC$中：
$\{\begin{array}{l}∠ DAE=∠ CBF\\∠ D=∠ C\\DE=CF\end{array} $
$\therefore △ AED≌△ BFC(\mathrm{AAS})$
【答案】
△AED≌△BFC成立。理由：$\because DF = CE$，$\therefore DF - EF = CE - EF$，$\therefore DE = CF$。在$△ AED$和$△ BFC$中，$\{\begin{array}{l}∠ DAE=∠ CBF,\\∠ D=∠ C,\\DE=CF,\end{array} $，$\therefore △ AED≌△ BFC(\mathrm{AAS})$。
【知识点】
AAS判定全等、等式的性质、线段和差计算
【点评】
本题是三角形全等判定的基础应用题，解题关键是通过线段的和差运算得到全等所需的对应边相等，再结合已知的角相等条件选择合适的全等判定定理完成证明，能帮助学生巩固全等判定定理的应用和线段等量代换的方法。
【难度系数】
0.8

举一反三 如图,点A,B,D在同一条直线上,BC=BD,∠A=∠E,BC//DE.求证AB=ED.
典例解析
典例1
证明 ∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD.
∵BE//CF，∴∠DBE=∠DCF.
在△BDE和△CDF中，$\{\begin{array}{l}∠DBE=∠DCF,\\BD=CD,\\∠BDE=∠CDF,\end{array} $
∴△BDE≌△CDF(ASA).

2. 证明
∵BC//DE，
∴∠ABC=∠D，
在△ABC 和△EDB 中，
$\begin{cases}∠ABC=∠EDB,\\∠A=∠E,\\BC=DB,\end{cases}$
∴△ABC≌△EDB(AAS)，
∴AB=ED.

【分析】
要证明AB=ED，可通过证明两条线段所在的△ABC和△EDB全等来推导。首先根据BC//DE的条件，利用平行线的性质可得到一组同位角相等；再结合题目给出的∠A=∠E、BC=BD两个条件，即可凑齐AAS全等判定的要素，证得两个三角形全等后，根据全等三角形对应边相等就能得到AB=ED的结论。
【解析】
证明：
∵BC//DE，
∴∠ABC=∠D（两直线平行，同位角相等），
在△ABC和△EDB中：
$\begin{cases}∠A=∠E \\∠ABC=∠EDB \\BC=DB\end{cases}$
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴AB=ED（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
证明：
∵BC//DE，
∴∠ABC=∠D，
在△ABC 和△EDB 中，
$\begin{cases}∠A=∠E,\\∠ABC=∠EDB,\\BC=DB,\end{cases}$
∴△ABC≌△EDB(AAS)，
∴AB=ED。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题，解题核心是先定位待证线段所属的两个三角形，再结合已知条件和几何性质推导全等所需的条件，熟练掌握基础几何性质和全等判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8