3. 如图，$BC=DC$，$∠ 1=∠ 2$，求证$△ ABC≌△ ADC$.

证明 $\because ∠1=∠2,$
$\therefore ∠ACB=∠ACD$，在$△ ABC$ 和$△ ADC$ 中,$\begin{cases} AC=AC, \\ ∠ACB=∠ACD, \\ BC=DC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC(\mathrm{SAS}).$

【分析】
要证明△ABC≌△ADC，首先梳理已知条件：题目已给出BC=DC，且AC是两个三角形的公共边，天然相等；此时两个三角形已有两组对应边相等，只需再证明这两组边的夹角∠ACB=∠ACD，即可用SAS判定定理证明全等。已知∠1=∠2，∠ACB与∠1互为邻补角，∠ACD与∠2互为邻补角，根据等角的补角相等，可推出∠ACB=∠ACD，满足SAS的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠1=∠2，
∴ 180°-∠1=180°-∠2，即∠ACB=∠ACD。
在△ABC和△ADC中：
$\begin{cases}AC=AC, \\∠ACB=∠ACD, \\BC=DC,\end{cases}$
∴ △ABC≌△ADC（SAS）。
【答案】
证明 $\because ∠1=∠2,$
$\therefore ∠ACB=∠ACD$，在$△ ABC$ 和$△ ADC$ 中,$\begin{cases} AC=AC, \\ ∠ACB=∠ACD, \\ BC=DC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC(\mathrm{SAS}).$
【知识点】
SAS判定全等、等角的补角相等、公共边性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是通过已知等角推导得到全等所需的对应夹角相等，结合公共边与已知等边，运用SAS判定定理完成证明，解题时要注意判定全等时用到的角必须是两组对应边的夹角，避免使用错误的判定方法。
【难度系数】
0.85

4. 如图，AC//EG，BC//EF，延长GE分别交BC，BA于点P，D，且AC=GE，BC=FE. 求证∠A=∠G.

证明 $\because AC// EG,$
$\therefore ∠C=∠CPG.$
$\because BC// EF,\therefore ∠CPG=∠FEG,$
$\therefore ∠C=∠FEG.$
在$△ ABC$ 和$△ GFE$ 中，
$\begin{cases} AC=GE, \\ ∠BCA=∠FEG, \\ BC=FE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ GFE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠A=∠G.$

【分析】
要证明∠A=∠G，可通过证明两角所在的△ABC和△GFE全等实现。首先结合已知的两组边相等AC=GE、BC=FE，只需证得两组边的夹角∠C与∠FEG相等即可；再利用题目给出的两组平行线的条件，根据平行线的性质推导角的等量关系，得到夹角相等后即可用SAS判定三角形全等，最后根据全等三角形对应角相等得到结论。
【解析】
证明：$\because AC// EG,$
$\therefore ∠C=∠CPG$（两直线平行，内错角相等）.
$\because BC// EF,$
$\therefore ∠CPG=∠FEG$（两直线平行，同位角相等）,
$\therefore ∠C=∠FEG.$
在$△ ABC$ 和$△ GFE$ 中，
$\begin{cases} AC=GE, \\ ∠BCA=∠FEG, \\ BC=FE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ GFE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠A=∠G$（全等三角形对应角相等）.
【答案】
$\boldsymbol{∠A=∠G}$，得证
【知识点】
平行线的性质；全等三角形SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是将证明角相等的问题转化为证明三角形全等的问题，解题的关键是利用平行线的性质推导得到全等判定所需的等角条件，是平行线性质与全等三角形知识结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.8

5. 如图,在△ABC中,BE,CF分别是AC,AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD,AG.

(1)求证∠CGA=∠BAD;
(2)连接GD,判断△AGD的形状,并说明理由.

5. (1) 证明 由题意知，$∠CEH = ∠BFH=90°,$
$\because ∠CHE=∠BHF,$
$\therefore ∠ECH=∠FBH,$
即$∠ACG=∠ABD.$
在$△ ACG$ 和$△ DBA$ 中，
$\begin{cases} AC=DB, \\ ∠ACG=∠DBA, \\ CG=BA, \end{cases}$
$\therefore △ ACG≌△ DBA(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠CGA=∠BAD.$
(2) 解 $△ AGD$ 是等腰直角三角形.
理由：
由(1)得,$△ ACG≌△ DBA,$
$\therefore AG=AD,∠AGC=∠DAB.$
$\because CF$ 是$△ ABC$ 的高，
$\therefore ∠AFG=90°,$
$\therefore ∠AGC+∠GAF=90°,$
$\therefore ∠DAB+∠GAF=90°,$
即$∠GAD=90°,$
$\therefore △ AGD$ 是等腰直角三角形.

【分析】
(1) 要证明∠CGA=∠BAD，可通过证明两角所在的△ACG和△DBA全等推导。已知两组边对应相等：BD=AC、CG=AB，只需证两组边的夹角∠ACG=∠ABD即可。结合BE、CF是△ABC的高，利用对顶角相等和直角三角形两锐角互余的性质，可推出∠ACG=∠ABD，即可用SAS判定两个三角形全等，进而得到对应角相等。
(2) 判断△AGD的形状，首先由(1)的全等结论可得AG=AD，可知△AGD是等腰三角形；再证顶角∠GAD为90°：由CF是AB边上的高可得∠AFG=90°，因此∠AGC+∠GAF=90°，结合全等的对应角相等，将∠AGC替换为∠DAB，即可推出∠GAD=90°，从而得到△AGD的形状。
【解析】
(1) 证明：由题意得BE、CF分别是AC、AB边上的高，因此$∠CEH = ∠BFH=90°$，
$\because ∠CHE=∠BHF$（对顶角相等），
$\therefore ∠ECH=∠FBH$（直角三角形两锐角互余），
即$∠ACG=∠ABD$。
在$△ ACG$和$△ DBA$中：
$\begin{cases} AC=DB（已知）, \\ ∠ACG=∠DBA（已证）, \\ CG=BA（已知）, \end{cases}$
$\therefore △ ACG≌△ DBA(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠CGA=∠BAD$（全等三角形对应角相等）。
(2) $△ AGD$是等腰直角三角形，理由如下：
由(1)得$△ ACG≌△ DBA$，
$\therefore AG=AD$，$∠AGC=∠DAB$（全等三角形对应边、对应角相等），
$\because CF$是$AB$边上的高，
$\therefore ∠AFG=90°$，
$\therefore ∠AGC+∠GAF=90°$（直角三角形两锐角互余），
将$∠AGC$替换为$∠DAB$得：$∠DAB+∠GAF=90°$，
即$∠GAD=90°$，
又$\because AG=AD$，
$\therefore △ AGD$是等腰直角三角形。
【答案】
(1) $∠CGA=∠BAD$得证；
(2) $△ AGD$是等腰直角三角形。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题属于三角形综合基础题，核心考查全等三角形的判定及性质的应用，解题关键是借助三角形高的性质找到相等的夹角，完成全等证明后再推导边和角的关系，对几何逻辑推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.7