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典例1 如果$x^2 + 2ax + 1$是一个完全平方式，则a的值是(
A. 1
B. −1
C. 1或−1
D. 2或−2
举一反三 $x^2 -6x + m^2$是一个完全平方式，则m的值为(
A. 3
B. 9
C. −3
D. $\pm3$
C
).A. 1
B. −1
C. 1或−1
D. 2或−2
举一反三 $x^2 -6x + m^2$是一个完全平方式，则m的值为(
D
).A. 3
B. 9
C. −3
D. $\pm3$
答案
1. 答案C 解析
∵$(x\pm1)^2=x^2\pm2x+1$，且$x^2+2ax+1$是一个完全平方式，
∴$\pm2x=2a$，
∴$a=\pm1$，故选C.
2. 答案D 解析
∵$x^2 -6x + m^2$是一个完全平方式，
∴$m^2=9$，解得$m=\pm3$.故选D.
∵$(x\pm1)^2=x^2\pm2x+1$，且$x^2+2ax+1$是一个完全平方式，
∴$\pm2x=2a$，
∴$a=\pm1$，故选C.
2. 答案D 解析
∵$x^2 -6x + m^2$是一个完全平方式，
∴$m^2=9$，解得$m=\pm3$.故选D.
解析
【分析】
解这类题的核心是掌握完全平方式的结构：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子叫做完全平方式，对应$(a\pm b)^2$的展开式。解题步骤如下：第一步，先找出二次三项式中已经明确的两个平方项的底数；第二步，根据“中间项等于±2倍两个底数的乘积”列等式；第三步，求解等式得到对应参数的值，注意不要漏掉负号对应的解。
【解析】
典例1求解
∵ 完全平方式的平方项分别为$x^2$和$1=1^2$，因此该完全平方式可写为$(x\pm1)^2$
将$(x\pm1)^2$展开得：$x^2\pm2x+1$
与题目给出的$x^2+2ax+1$对比，中间项对应相等，即$2ax=\pm2x$
等式两边同时除以$2x$（$x≠0$），得$a=\pm1$，故选C。
举一反三求解
∵ $x^2-6x+m^2$是完全平方式，其中平方项$x^2$的底数为$x$，中间项$-6x=-2× x×3$
因此另一个平方项应为$3^2$，即$m^2=3^2=9$
对$m^2=9$开平方，得$m=\pm3$，故选D。
【答案】
典例1：C；举一反三：D
【知识点】
完全平方公式，完全平方式特征，开平方运算
【点评】
这两道题是完全平方公式的典型基础应用题，解题时需注意完全平方式包含“两数和”和“两数差”两种形式，避免因忽略负号情况漏解。
【难度系数】
0.8
解这类题的核心是掌握完全平方式的结构：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子叫做完全平方式，对应$(a\pm b)^2$的展开式。解题步骤如下：第一步，先找出二次三项式中已经明确的两个平方项的底数；第二步，根据“中间项等于±2倍两个底数的乘积”列等式；第三步，求解等式得到对应参数的值，注意不要漏掉负号对应的解。
【解析】
典例1求解
∵ 完全平方式的平方项分别为$x^2$和$1=1^2$，因此该完全平方式可写为$(x\pm1)^2$
将$(x\pm1)^2$展开得：$x^2\pm2x+1$
与题目给出的$x^2+2ax+1$对比，中间项对应相等，即$2ax=\pm2x$
等式两边同时除以$2x$（$x≠0$），得$a=\pm1$，故选C。
举一反三求解
∵ $x^2-6x+m^2$是完全平方式，其中平方项$x^2$的底数为$x$，中间项$-6x=-2× x×3$
因此另一个平方项应为$3^2$，即$m^2=3^2=9$
对$m^2=9$开平方，得$m=\pm3$，故选D。
【答案】
典例1：C；举一反三：D
【知识点】
完全平方公式，完全平方式特征，开平方运算
【点评】
这两道题是完全平方公式的典型基础应用题，解题时需注意完全平方式包含“两数和”和“两数差”两种形式，避免因忽略负号情况漏解。
【难度系数】
0.8
典例2 分解因式：
(1)$m^2 +14m +49$；
(2)$-9x^2 +12x -4$；
(3)$a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$。
典例解析
(1)$m^2 +14m +49$；
(2)$-9x^2 +12x -4$；
(3)$a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$。
典例解析
答案
1. 解 $m^2+14m+49$
$=m^2+2· m·7+7^2$
$=(m+7)^2$.
2. 解 $-9x^2+12x-4$
$=-[(3x)^2-2·3x·2+2^2]$
$=-(3x-2)^2$.
3. 解 $a^2+2a(b+c)+(b+c)^2$
$=[a+(b+c)]^2$
$=(a+b+c)^2$.
$=m^2+2· m·7+7^2$
$=(m+7)^2$.
2. 解 $-9x^2+12x-4$
$=-[(3x)^2-2·3x·2+2^2]$
$=-(3x-2)^2$.
3. 解 $a^2+2a(b+c)+(b+c)^2$
$=[a+(b+c)]^2$
$=(a+b+c)^2$.
解析
【分析】
这三道题均考查利用完全平方公式进行因式分解，解题思路如下：①首先回忆完全平方公式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的多项式可以分解为$(a\pm b)^2$，需确认多项式满足“三项式、有两项可写成平方的形式、第三项是这两个平方项底数乘积的2倍”三个特征。②第(1)题直接观察：$m^2$是$m$的平方，$49$是$7$的平方，中间项$14m$恰好是$2× m×7$，符合完全平方和公式结构，直接套用即可。③第(2)题首项系数为负，先提取负号，将括号内的多项式变形为首项为正的三项式，再判断括号内的式子符合完全平方差公式结构，套用后记得带上前面的负号。④第(3)题把$(b+c)$看成一个整体，作为完全平方公式里的“$b$”，发现多项式完全符合完全平方和的结构，先整体套用公式，再化简括号内的式子即可。
【解析】
(1) $m^2 +14m +49$
$=m^2 + 2· m·7 +7^2$
$=(m+7)^2$
(2) $-9x^2 +12x -4$
$=-[(3x)^2 - 2·3x·2 +2^2]$
$=-(3x-2)^2$
(3) $a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$
$=[a+(b+c)]^2$
$=(a+b+c)^2$
【答案】
(1) $(m+7)^2$；(2) $-(3x-2)^2$；(3) $(a+b+c)^2$
【知识点】
因式分解、完全平方公式、整体思想
【点评】
这组题目是运用完全平方公式分解因式的基础训练题，解题的关键是准确识别多项式是否符合完全平方公式的结构特征，遇到首项为负的情况优先提取负号，遇到多个字母组成的重复项可采用整体思想简化判断，能有效提升对公式结构的辨识度。
【难度系数】
0.8
这三道题均考查利用完全平方公式进行因式分解，解题思路如下：①首先回忆完全平方公式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的多项式可以分解为$(a\pm b)^2$，需确认多项式满足“三项式、有两项可写成平方的形式、第三项是这两个平方项底数乘积的2倍”三个特征。②第(1)题直接观察：$m^2$是$m$的平方，$49$是$7$的平方，中间项$14m$恰好是$2× m×7$，符合完全平方和公式结构，直接套用即可。③第(2)题首项系数为负，先提取负号，将括号内的多项式变形为首项为正的三项式，再判断括号内的式子符合完全平方差公式结构，套用后记得带上前面的负号。④第(3)题把$(b+c)$看成一个整体，作为完全平方公式里的“$b$”，发现多项式完全符合完全平方和的结构，先整体套用公式，再化简括号内的式子即可。
【解析】
(1) $m^2 +14m +49$
$=m^2 + 2· m·7 +7^2$
$=(m+7)^2$
(2) $-9x^2 +12x -4$
$=-[(3x)^2 - 2·3x·2 +2^2]$
$=-(3x-2)^2$
(3) $a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$
$=[a+(b+c)]^2$
$=(a+b+c)^2$
【答案】
(1) $(m+7)^2$；(2) $-(3x-2)^2$；(3) $(a+b+c)^2$
【知识点】
因式分解、完全平方公式、整体思想
【点评】
这组题目是运用完全平方公式分解因式的基础训练题，解题的关键是准确识别多项式是否符合完全平方公式的结构特征，遇到首项为负的情况优先提取负号，遇到多个字母组成的重复项可采用整体思想简化判断，能有效提升对公式结构的辨识度。
【难度系数】
0.8
典例1
答案C
解析 ∵$(x\pm1)^2=x^2\pm2x+1$，且$x^2+2ax+1$是一个完全平方式，
∴$\pm2x=2a$，∴$a=\pm1$，故选C.
典例2
解 (1)$m^2+14m+49$
$=m^2+2· m·7+7^2$
$=(m+7)^2$.
(2)$-9x^2+12x-4$
$=-[(3x)^2-2·3x·2+2^2]$
$=-(3x-2)^2$.
(3)$a^2+2a(b+c)+(b+c)^2$
$=[a+(b+c)]^2$
$=(a+b+c)^2$.
规律总结 一个多项式可以利用完全平方公式分解因式时，这个多项式必须同时具备两个条件：(1)可以写成三项式的形式；(2)三项中有两项是两个数(或式子)的平方，第三项是这两个数(或式子)乘积的2倍.
举一反三 分解因式：
(1)$-x^2+2xy-y^2$；
(2)$4(x+y)^2+25-20(x+y)$；
(3)$(a+b)^2-4(a+b-1)$.
答案C
解析 ∵$(x\pm1)^2=x^2\pm2x+1$，且$x^2+2ax+1$是一个完全平方式，
∴$\pm2x=2a$，∴$a=\pm1$，故选C.
典例2
解 (1)$m^2+14m+49$
$=m^2+2· m·7+7^2$
$=(m+7)^2$.
(2)$-9x^2+12x-4$
$=-[(3x)^2-2·3x·2+2^2]$
$=-(3x-2)^2$.
(3)$a^2+2a(b+c)+(b+c)^2$
$=[a+(b+c)]^2$
$=(a+b+c)^2$.
规律总结 一个多项式可以利用完全平方公式分解因式时，这个多项式必须同时具备两个条件：(1)可以写成三项式的形式；(2)三项中有两项是两个数(或式子)的平方，第三项是这两个数(或式子)乘积的2倍.
举一反三 分解因式：
(1)$-x^2+2xy-y^2$；
(2)$4(x+y)^2+25-20(x+y)$；
(3)$(a+b)^2-4(a+b-1)$.
答案
1. 解 $-x^2+2xy-y^2$
$=-(x^2-2xy+y^2)$
$=-(x-y)^2$.
2. 解 $4(x+y)^2+25-20(x+y)$
$=[2(x+y)]^2-2· 2(x+y)· 5+5^2$
$=[2(x+y)-5]^2$
$=(2x+2y-5)^2$.
3. 解 $(a+b)^2-4(a+b-1)$
$=(a+b)^2-4(a+b)+4$
$=(a+b-2)^2$.
$=-(x^2-2xy+y^2)$
$=-(x-y)^2$.
2. 解 $4(x+y)^2+25-20(x+y)$
$=[2(x+y)]^2-2· 2(x+y)· 5+5^2$
$=[2(x+y)-5]^2$
$=(2x+2y-5)^2$.
3. 解 $(a+b)^2-4(a+b-1)$
$=(a+b)^2-4(a+b)+4$
$=(a+b-2)^2$.
解析
【分析】
解决这三道因式分解题，核心是紧扣完全平方公式分解因式的两个条件：①式子可整理为三项式；②三项中有两项是符号相同的平方项，第三项是这两个平方项底数乘积的2倍。具体思考路径：
1. 第(1)题：式子首项为负，先提取负号，将括号内的式子整理为$x^2-2xy+y^2$，对照完全平方公式可直接分解；
2. 第(2)题：先调整式子顺序为$4(x+y)^2 -20(x+y)+25$，将$(x+y)$看作整体，$4(x+y)^2$是$[2(x+y)]$的平方，25是5的平方，中间项正好是两个平方项底数乘积的2倍的相反数，符合完全平方差公式特征，代入公式后化简即可；
3. 第(3)题：先展开原式后段的括号，变形为$(a+b)^2 -4(a+b)+4$，把$(a+b)$看作整体，4是2的平方，中间项符合完全平方差公式的中间项特征，代入公式即可完成分解。
【解析】
(1) $-x^2+2xy-y^2$
$=-(x^2-2xy+y^2)$
$=-(x-y)^2$
(2) $4(x+y)^2+25-20(x+y)$
$=[2(x+y)]^2-2·2(x+y)·5+5^2$
$=[2(x+y)-5]^2$
$=(2x+2y-5)^2$
(3) $(a+b)^2-4(a+b-1)$
$=(a+b)^2-4(a+b)+4$
$=(a+b-2)^2$
【答案】
(1) $-(x-y)^2$
(2) $(2x+2y-5)^2$
(3) $(a+b-2)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式分解因式
2. 提公因式法
3. 整体思想
【点评】
这组题目是完全平方公式分解因式的基础应用，解题时需先观察式子结构，优先提取公因式（含负号），对重复出现的多项式可作为整体处理，变形后对照完全平方公式的特征验证即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决这三道因式分解题，核心是紧扣完全平方公式分解因式的两个条件：①式子可整理为三项式；②三项中有两项是符号相同的平方项，第三项是这两个平方项底数乘积的2倍。具体思考路径：
1. 第(1)题：式子首项为负，先提取负号，将括号内的式子整理为$x^2-2xy+y^2$，对照完全平方公式可直接分解；
2. 第(2)题：先调整式子顺序为$4(x+y)^2 -20(x+y)+25$，将$(x+y)$看作整体，$4(x+y)^2$是$[2(x+y)]$的平方，25是5的平方，中间项正好是两个平方项底数乘积的2倍的相反数，符合完全平方差公式特征，代入公式后化简即可；
3. 第(3)题：先展开原式后段的括号，变形为$(a+b)^2 -4(a+b)+4$，把$(a+b)$看作整体，4是2的平方，中间项符合完全平方差公式的中间项特征，代入公式即可完成分解。
【解析】
(1) $-x^2+2xy-y^2$
$=-(x^2-2xy+y^2)$
$=-(x-y)^2$
(2) $4(x+y)^2+25-20(x+y)$
$=[2(x+y)]^2-2·2(x+y)·5+5^2$
$=[2(x+y)-5]^2$
$=(2x+2y-5)^2$
(3) $(a+b)^2-4(a+b-1)$
$=(a+b)^2-4(a+b)+4$
$=(a+b-2)^2$
【答案】
(1) $-(x-y)^2$
(2) $(2x+2y-5)^2$
(3) $(a+b-2)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式分解因式
2. 提公因式法
3. 整体思想
【点评】
这组题目是完全平方公式分解因式的基础应用，解题时需先观察式子结构，优先提取公因式（含负号），对重复出现的多项式可作为整体处理，变形后对照完全平方公式的特征验证即可快速解题。
【难度系数】
0.8
