4. 二次函数 $ y = -x^2 + bx + c $ 的图象如图所示，则此二次函数的表达式为。

4. $y = -x^{2}+2x + 3$

5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，点 $ A $ 在 $ x $ 轴负半轴上，点 $ B $ 在 $ x $ 轴正半轴上，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，且 $ \tan ∠ ACO = \frac{1}{2} $，$ CO = BO $，$ AB = 3 $，则此抛物线的表达式为。

5. $y = x^{2}-x - 2$

6. 已知当 $ x = 4 $ 时，二次函数有最小值 $-3$，且它的图象与 $ x $ 轴两交点间的距离为 $ 6 $，求这个二次函数的表达式。

6. 解：
∵当$x = 4$时，二次函数有最小值$-3$，
∴其图象开口向上，顶点坐标为$(4,-3)$，对称轴为直线$x = 4$。由于图象与$x$轴两交点间的距离为$6$，根据图象的对称性就可以得到图象与$x$轴两交点的坐标是$(1,0)$和$(7,0)$。
∴抛物线的顶点为$(4,-3)$且过点$(1,0)$。故可设函数表达式为$y = a(x - 4)^{2}-3$。将点$(1,0)$的坐标代入所设表达式得$0 = a×(1 - 4)^{2}-3$，解得$a = \frac{1}{3}$。
∴$y = \frac{1}{3}(x - 4)^{2}-3$，即$y = \frac{1}{3}x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{7}{3}$。

7. 如图，一单杠高 $ 2.2 \, \mathrm{m} $，两立柱间的距离为 $ 1.6 \, \mathrm{m} $，将一根绳子的两端拴于立柱与铁杠的结合处 $ A $，$ B $，绳子自然下垂，呈抛物线状，一个身高 $ 0.7 \, \mathrm{m} $ 的小孩站在距立柱 $ 0.4 \, \mathrm{m} $ 处，其头部刚好触上绳子的 $ D $ 处，求绳子的最低点 $ O $ 到地面的距离。

7. 解：以$O$为坐标原点，水平向右为$x$轴正半轴，垂直向上为$y$轴正半轴，建立平面直角坐标系（图略）。设抛物线的表达式为$y = ax^{2}(a≠ 0)$。设$A$，$B$，$D$三点坐标依次为$(x_{A},y_{A})$，$(x_{B},y_{B})$，$(x_{D},y_{D})$，由题意，得$AB = 1.6$，
∴$x_{A} = -0.8$，$x_{B} = 0.8$。又可得$x_{D} = -(\frac{1}{2}×1.6 - 0.4)= -0.4$。
∴当$x = -0.8$时，$y_{A} = a·(-0.8)^{2}=0.64a$；当$x = -0.4$时，$y_{D} = a·(-0.4)^{2}=0.16a$。
∵$y_{A}-y_{D}=2.2 - 0.7 = 1.5$，
∴$0.64a - 0.16a = 1.5$，
∴$a = \frac{25}{8}$，
∴抛物线的表达式为$y = \frac{25}{8}x^{2}$。当$x = -0.4$时，$y_{D} = \frac{25}{8}×(-0.4)^{2}=0.5$，
∴$0.7 - 0.5 = 0.2(\mathrm{m})$。
∴绳子的最低点$O$到地面的距离是$0.2\mathrm{ m}$。

8. （山西改编）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $ y = ax^2 + bx - 8 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，直线 $ l $ 经过坐标原点 $ O $，与抛物线的一个交点为 $ D $，与抛物线的对称轴交于点 $ E $，连接 $ CE $，已知点 $ A $，$ D $ 的坐标分别为 $ (-2, 0) $，$ (6, -8) $。求抛物线的表达式，并分别求出点 $ B $ 和点 $ E $ 的坐标。

8. 解：
∵抛物线$y = ax^{2}+bx - 8$经过点$A(-2,0)$，$D(6,-8)$，
∴$\begin{cases}4a - 2b - 8 = 0,\\36a + 6b - 8 = -8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = \frac{1}{2},\\b = -3,\end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y = \frac{1}{2}x^{2}-3x - 8$。
∵$y = \frac{1}{2}x^{2}-3x - 8 = \frac{1}{2}(x - 3)^{2}-\frac{25}{2}$，
∴抛物线的对称轴为直线$x = 3$。又
∵抛物线与$x$轴交于$A$，$B$两点，点$A$的坐标为$(-2,0)$，
∴点$B$的坐标为$(8,0)$。设直线$l$对应的函数表达式为$y = kx$。
∵点$D(6,-8)$在直线$l$上，
∴$6k = -8$，解得$k = -\frac{4}{3}$。
∴直线$l$对应的函数表达式为$y = -\frac{4}{3}x$。
∵点$E$为直线$l$和抛物线对称轴的交点，
∴点$E$的横坐标为$3$，纵坐标为$-\frac{4}{3}×3 = -4$，即点$E$的坐标为$(3,-4)$。