三、解答题
7. 已知直角三角形两边 $ x $， $ y $ 的长满足 $ | x^2 - 4 | + \sqrt{y^2 - 5y + 6} = 0 $，求第三边长.

7. $2\sqrt{2}$ 或 $\sqrt{13}$ 或 $\sqrt{5}$

因为$|x^2 - 4| + \sqrt{y^2 - 5y + 6} = 0$，且$|x^2 - 4| ≥ 0$，$\sqrt{y^2 - 5y + 6} ≥ 0$，所以$x^2 - 4 = 0$，$y^2 - 5y + 6 = 0$。
解得$x^2 = 4$，$x = 2$（$x ＞ 0$）；$(y - 2)(y - 3) = 0$，$y = 2$或$y = 3$（$y ＞ 0$）。
情况一：当$x = 2$，$y = 2$时，第三边为$\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$。
情况二：当$x = 2$，$y = 3$时，
若$y$为斜边，第三边为$\sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5}$；
若$y$为直角边，第三边为$\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$。
综上，第三边长为$2\sqrt{2}$或$\sqrt{13}$或$\sqrt{5}$。

8. 在 $ △ ABC $ 中， $ AB = 15 $， $ AC = 13 $，高 $ AD = 12 $，求 $ △ ABC $ 的周长.

8. 42 或 32 提示：分高在三角形内和三角形外两种情况

情况一：高$AD$在$△ ABC$内部
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$
$BC=BD+CD=9+5=14$
周长：$AB+AC+BC=15+13+14=42$
情况二：高$AD$在$△ ABC$外部
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$
$BC=BD-CD=9-5=4$
周长：$AB+AC+BC=15+13+4=32$
$△ ABC$的周长为$42$或$32$

9. 如图所示， $ AC $ 平分 $ ∠ BAD $， $ CE ⊥ AB $ 于点 $ E $， $ CF ⊥ AD $ 于点 $ F $，且 $ BC = CD $.
（1）求证： $ △ BCE ≌ △ DCF $；
（2）若 $ AB = 21 $， $ AD = 9 $， $ BC = CD = 10 $. 求 $ AC $ 的长.

9.（1）提示：利用角平分线性质证明 $CE = CF$，结合直角三角形判定定理 $HL$ 证明两三角形全等 （2）17

（1）证明：
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，∠CFD=∠CEB=90°．
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
$\{\begin{array}{l} BC=CD,\\ CE=CF,\end{array} $
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）．
（2）解：
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF．
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
$\{\begin{array}{l} AC=AC,\\ CF=CE,\end{array} $
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AF=AE．
由（1）知△BCE≌△DCF，
∴DF=EB．
设DF=EB=x，
∵AB=21，AD=9，
∴AE=AB-EB=21-x，AF=AD+DF=9+x．
∵AF=AE，
∴9+x=21-x，
解得x=6，
∴AE=21-6=15，EB=6．
在Rt△BCE中，CE=$\sqrt{BC^2-EB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$．
在Rt△ACE中，AC=$\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{15^2+8^2}=17$．