登录
一、选择题
1. 下列三条线段长能组成直角三角形的是(
A.5，6，10
B.2，3，4
C.25，144，169
D.$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$
1. 下列三条线段长能组成直角三角形的是(
D
).A.5，6，10
B.2，3，4
C.25，144，169
D.$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$
答案
1. D
解析
【解析】
根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一验证选项：
A. $5^2+6^2=25+36=61$，$10^2=100$，$61≠100$，不能组成直角三角形；
B. $2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能组成直角三角形；
C. $25^2+144^2=625+20736=21361$，$169^2=28561$，$21361≠28561$，不能组成直角三角形；
D. $(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2=2+3=5$，$(\sqrt{5})^2=5$，$5=5$，能组成直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查勾股定理逆定理的应用，通过计算三边平方关系判断是否能构成直角三角形，属于基础题型，需熟练掌握勾股定理逆定理的内容。
【难度系数】
0.8
根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一验证选项：
A. $5^2+6^2=25+36=61$，$10^2=100$，$61≠100$，不能组成直角三角形；
B. $2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能组成直角三角形；
C. $25^2+144^2=625+20736=21361$，$169^2=28561$，$21361≠28561$，不能组成直角三角形；
D. $(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2=2+3=5$，$(\sqrt{5})^2=5$，$5=5$，能组成直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查勾股定理逆定理的应用，通过计算三边平方关系判断是否能构成直角三角形，属于基础题型，需熟练掌握勾股定理逆定理的内容。
【难度系数】
0.8
2. 下列各组数中，以$a$，$b$，$c$为边的三角形不是直角三角形的是(
A.$a = 2$，$b = 3$，$c = 4$
B.$a = 7$，$b = 24$，$c = 25$
C.$a = 6$，$b = 8$，$c = 10$
D.$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$
A
).A.$a = 2$，$b = 3$，$c = 4$
B.$a = 7$，$b = 24$，$c = 25$
C.$a = 6$，$b = 8$，$c = 10$
D.$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$
答案
2. A
解析
【解析】
根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足$a^2 + b^2 = c^2$（$c$为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证：
- 选项A：$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，$4^2 = 16$，$13≠16$，不是直角三角形；
- 选项B：$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，$25^2 = 625$，$625=625$，是直角三角形；
- 选项C：$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$，$100=100$，是直角三角形；
- 选项D：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$5^2 = 25$，$25=25$，是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查勾股定理逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，关键是验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足$a^2 + b^2 = c^2$（$c$为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证：
- 选项A：$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，$4^2 = 16$，$13≠16$，不是直角三角形；
- 选项B：$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，$25^2 = 625$，$625=625$，是直角三角形；
- 选项C：$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$，$100=100$，是直角三角形；
- 选项D：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$5^2 = 25$，$25=25$，是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查勾股定理逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，关键是验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
3. 一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰、底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了.请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据(
A.13，10，10
B.13，10，12
C.13，12，12
D.13，10，11
B
).A.13，10，10
B.13，10，12
C.13，12，12
D.13，10，11
答案
3. B
解析
假设腰长为$a$，底边长为$b$，底边上的高为$h$。
对于选项B：13，10，12。
情况一：若腰$a = 13$，底$b = 10$，则底的一半为$\frac{b}{2}=5$。根据勾股定理，高$h=\sqrt{a^{2}-(\frac{b}{2})^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12$，符合数据13，10，12。
情况二：若腰$a = 13$，底$b = 12$，底的一半为$6$，高$h=\sqrt{13^{2}-6^{2}}=\sqrt{169 - 36}=\sqrt{133}\approx11.53≠10$。
情况三：若腰$a = 10$，底$b = 13$，底的一半为$6.5$，高$h=\sqrt{10^{2}-6.5^{2}}=\sqrt{100 - 42.25}=\sqrt{57.75}\approx7.6≠12$。
综上，只有情况一成立，所以等腰三角形工件的数据为B选项。
B
对于选项B：13，10，12。
情况一：若腰$a = 13$，底$b = 10$，则底的一半为$\frac{b}{2}=5$。根据勾股定理，高$h=\sqrt{a^{2}-(\frac{b}{2})^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12$，符合数据13，10，12。
情况二：若腰$a = 13$，底$b = 12$，底的一半为$6$，高$h=\sqrt{13^{2}-6^{2}}=\sqrt{169 - 36}=\sqrt{133}\approx11.53≠10$。
情况三：若腰$a = 10$，底$b = 13$，底的一半为$6.5$，高$h=\sqrt{10^{2}-6.5^{2}}=\sqrt{100 - 42.25}=\sqrt{57.75}\approx7.6≠12$。
综上，只有情况一成立，所以等腰三角形工件的数据为B选项。
B
二、填空题
4. 如图所示，在$△ ABC$中，$AC = 9$，$BC = 40$，$AB = 41$，若$AD$是$△ ABC$的角平分线，则$CD$的长为
4. 如图所示，在$△ ABC$中，$AC = 9$，$BC = 40$，$AB = 41$，若$AD$是$△ ABC$的角平分线，则$CD$的长为
$\dfrac{36}{5}$
.答案
4. $\dfrac{36}{5}$
解析
解：在$△ ABC$中，$AC = 9$，$BC = 40$，$AB = 41$。
因为$AC^2 + BC^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$，$AB^2 = 41^2 = 1681$，所以$AC^2 + BC^2 = AB^2$，故$△ ABC$是直角三角形，$∠ C = 90°$。
设$CD = x$，则$BD = BC - CD = 40 - x$。
因为$AD$是$∠ BAC$的角平分线，根据角平分线定理，$\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{CD}{BD}$，即$\dfrac{9}{41} = \dfrac{x}{40 - x}$。
交叉相乘得：$9(40 - x) = 41x$，$360 - 9x = 41x$，$50x = 360$，解得$x = \dfrac{360}{50} = \dfrac{36}{5}$。
所以$CD$的长为$\dfrac{36}{5}$。
因为$AC^2 + BC^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$，$AB^2 = 41^2 = 1681$，所以$AC^2 + BC^2 = AB^2$，故$△ ABC$是直角三角形，$∠ C = 90°$。
设$CD = x$，则$BD = BC - CD = 40 - x$。
因为$AD$是$∠ BAC$的角平分线，根据角平分线定理，$\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{CD}{BD}$，即$\dfrac{9}{41} = \dfrac{x}{40 - x}$。
交叉相乘得：$9(40 - x) = 41x$，$360 - 9x = 41x$，$50x = 360$，解得$x = \dfrac{360}{50} = \dfrac{36}{5}$。
所以$CD$的长为$\dfrac{36}{5}$。
5. 如图所示，在四边形$ABCD$中，已知$AB:BC:CD:DA = 2:2:3:1$，且$∠ B = 90^{\circ}$，则$∠ DAB$的度数为
$135^{\circ}$
.答案
5. $135^{\circ}$
解析
解：设 $AB = 2k$，$BC = 2k$，$CD = 3k$，$DA = k$（$k ＞ 0$）。
连接 $AC$，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ B = 90°$，
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = (2k)^2 + (2k)^2 = 8k^2$，则 $AC = 2\sqrt{2}k$。
在 $△ ADC$ 中，$DA = k$，$AC = 2\sqrt{2}k$，$CD = 3k$，
$DA^2 + AC^2 = k^2 + (2\sqrt{2}k)^2 = k^2 + 8k^2 = 9k^2 = (3k)^2 = CD^2$，
故 $△ ADC$ 是直角三角形，$∠ DAC = 90°$。
在 $Rt△ ABC$ 中，$AB = BC$，$∠ BAC = 45°$。
$∠ DAB = ∠ DAC + ∠ BAC = 90° + 45° = 135°$。
$135°$
连接 $AC$，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ B = 90°$，
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = (2k)^2 + (2k)^2 = 8k^2$，则 $AC = 2\sqrt{2}k$。
在 $△ ADC$ 中，$DA = k$，$AC = 2\sqrt{2}k$，$CD = 3k$，
$DA^2 + AC^2 = k^2 + (2\sqrt{2}k)^2 = k^2 + 8k^2 = 9k^2 = (3k)^2 = CD^2$，
故 $△ ADC$ 是直角三角形，$∠ DAC = 90°$。
在 $Rt△ ABC$ 中，$AB = BC$，$∠ BAC = 45°$。
$∠ DAB = ∠ DAC + ∠ BAC = 90° + 45° = 135°$。
$135°$
6. 若$△ ABC$的三边长$a$，$b$，$c$满足条件$a^{2}+b^{2}+c^{2}+338 = 10a + 24b + 26c$，则这个三角形最长边上的高为
$\dfrac{60}{13}$
.答案
6. $\dfrac{60}{13}$
解析
解：由题意得，$a^{2} + b^{2} + c^{2} + 338 = 10a + 24b + 26c$，
移项并配方：$(a^{2} - 10a + 25) + (b^{2} - 24b + 144) + (c^{2} - 26c + 169) = 0$，
即$(a - 5)^{2} + (b - 12)^{2} + (c - 13)^{2} = 0$，
因为平方数非负，所以$a - 5 = 0$，$b - 12 = 0$，$c - 13 = 0$，
解得$a = 5$，$b = 12$，$c = 13$。
因为$5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169 = 13^{2}$，所以$△ ABC$是直角三角形，最长边为$c = 13$。
设最长边上的高为$h$，根据三角形面积公式：$\dfrac{1}{2} × 5 × 12 = \dfrac{1}{2} × 13 × h$，
解得$h = \dfrac{60}{13}$。
$\dfrac{60}{13}$
移项并配方：$(a^{2} - 10a + 25) + (b^{2} - 24b + 144) + (c^{2} - 26c + 169) = 0$，
即$(a - 5)^{2} + (b - 12)^{2} + (c - 13)^{2} = 0$，
因为平方数非负，所以$a - 5 = 0$，$b - 12 = 0$，$c - 13 = 0$，
解得$a = 5$，$b = 12$，$c = 13$。
因为$5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169 = 13^{2}$，所以$△ ABC$是直角三角形，最长边为$c = 13$。
设最长边上的高为$h$，根据三角形面积公式：$\dfrac{1}{2} × 5 × 12 = \dfrac{1}{2} × 13 × h$，
解得$h = \dfrac{60}{13}$。
$\dfrac{60}{13}$
