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一、选择题
1. 估计$\sqrt{29}$的值在(
A.3 和 4 之间
B.4 和 5 之间
C.5 和 6 之间
D.6 和 7 之间
1. 估计$\sqrt{29}$的值在(
C
)。A.3 和 4 之间
B.4 和 5 之间
C.5 和 6 之间
D.6 和 7 之间
答案
1. C
解析
因为$5^2 = 25$，$6^2 = 36$，且$25 ＜ 29 ＜ 36$，所以$\sqrt{25} ＜ \sqrt{29} ＜ \sqrt{36}$，即$5 ＜ \sqrt{29} ＜ 6$。
C
C
2. 等式$\sqrt{x - 1} · \sqrt{x + 1} = \sqrt{x^2 - 1}$成立的条件是(
A.$x ＞ 1$
B.$x ＜ -1$
C.$x ≥ 1$
D.$x ≤ 1$
C
)。A.$x ＞ 1$
B.$x ＜ -1$
C.$x ≥ 1$
D.$x ≤ 1$
答案
2. C
解析
要使等式$\sqrt{x - 1} · \sqrt{x + 1} = \sqrt{x^2 - 1}$成立，需满足：
被开方数非负：$x - 1 ≥ 0$，即$x ≥ 1$；
被开方数非负：$x + 1 ≥ 0$，即$x ≥ -1$；
被开方数非负：$x^2 - 1 ≥ 0$，即$x ≤ -1$或$x ≥ 1$。
综合以上条件，取交集得$x ≥ 1$。
C
被开方数非负：$x - 1 ≥ 0$，即$x ≥ 1$；
被开方数非负：$x + 1 ≥ 0$，即$x ≥ -1$；
被开方数非负：$x^2 - 1 ≥ 0$，即$x ≤ -1$或$x ≥ 1$。
综合以上条件，取交集得$x ≥ 1$。
C
3. 使得$\sqrt{x + 4} + \frac{1}{\sqrt{x - 1}}$有意义的条件是(
A.$x ＞ -4$
B.$x ＞ 1$
C.$-4 ≤ x ＜ 1$
D.$x ≥ -4$
B
)。A.$x ＞ -4$
B.$x ＞ 1$
C.$-4 ≤ x ＜ 1$
D.$x ≥ -4$
答案
3. B
解析
要使$\sqrt{x + 4} + \frac{1}{\sqrt{x - 1}}$有意义，需满足：
1. 二次根式$\sqrt{x + 4}$的被开方数非负：$x + 4 ≥ 0$，解得$x ≥ -4$；
2. 分式$\frac{1}{\sqrt{x - 1}}$的分母不为零且二次根式$\sqrt{x - 1}$的被开方数为正：$x - 1 ＞ 0$，解得$x ＞ 1$。
综合以上条件，$x$需同时满足$x ≥ -4$和$x ＞ 1$，故$x ＞ 1$。
B
1. 二次根式$\sqrt{x + 4}$的被开方数非负：$x + 4 ≥ 0$，解得$x ≥ -4$；
2. 分式$\frac{1}{\sqrt{x - 1}}$的分母不为零且二次根式$\sqrt{x - 1}$的被开方数为正：$x - 1 ＞ 0$，解得$x ＞ 1$。
综合以上条件，$x$需同时满足$x ≥ -4$和$x ＞ 1$，故$x ＞ 1$。
B
二、填空题
4. 比较大小：$\sqrt{3} + \sqrt{2}\_\_\_\_\_\_\sqrt{5}$。
4. 比较大小：$\sqrt{3} + \sqrt{2}\_\_\_\_\_\_\sqrt{5}$。
答案
4. ＞
解析
$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$，$(\sqrt{5})^2 = 5$，因为$2\sqrt{6} ＞ 0$，所以$5 + 2\sqrt{6} ＞ 5$，即$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 ＞ (\sqrt{5})^2$，又因为$\sqrt{3} + \sqrt{2} ＞ 0$，$\sqrt{5} ＞ 0$，所以$\sqrt{3} + \sqrt{2} ＞ \sqrt{5}$。＞
5. 不等式$\sqrt{2}(x - 2) ＜ 1$的解集是
$ x ＜ 2 + \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
。答案
5. $ x ＜ 2 + \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
解析
解：$\sqrt{2}(x - 2) ＜ 1$
$x - 2 ＜ \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$x - 2 ＜ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$x ＜ 2 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$x - 2 ＜ \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$x - 2 ＜ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$x ＜ 2 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
6. 若$3 - \sqrt{2}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，则代数式$(2 + \sqrt{2}a)b$的值是
2
。答案
6. 2
解析
解：因为$1＜\sqrt{2}＜2$，所以$-2＜-\sqrt{2}＜-1$，则$3 - 2＜3 - \sqrt{2}＜3 - 1$，即$1＜3 - \sqrt{2}＜2$，所以$a = 1$，$b=3 - \sqrt{2}-1=2 - \sqrt{2}$。
$(2+\sqrt{2}a)b=(2+\sqrt{2}×1)(2 - \sqrt{2})=(2+\sqrt{2})(2 - \sqrt{2})=2^2 - (\sqrt{2})^2=4 - 2=2$。
2
$(2+\sqrt{2}a)b=(2+\sqrt{2}×1)(2 - \sqrt{2})=(2+\sqrt{2})(2 - \sqrt{2})=2^2 - (\sqrt{2})^2=4 - 2=2$。
2
三、解答题
7. 计算：
(1) $\sqrt{12} - \sqrt{\frac{1}{2}} - 2\sqrt{\frac{1}{3}}$；
(2) $\frac{1}{3}(\sqrt{108} - \sqrt{4\frac{1}{2}} - 6\sqrt{\frac{1}{3}}) - 2(\sqrt{\frac{1}{8}} - \frac{1}{3}\sqrt{27})$。
7. 计算：
(1) $\sqrt{12} - \sqrt{\frac{1}{2}} - 2\sqrt{\frac{1}{3}}$；
(2) $\frac{1}{3}(\sqrt{108} - \sqrt{4\frac{1}{2}} - 6\sqrt{\frac{1}{3}}) - 2(\sqrt{\frac{1}{8}} - \frac{1}{3}\sqrt{27})$。
答案
7. (1) $ \dfrac{4\sqrt{3}}{3} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} $ (2) $ \dfrac{10\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2} $
解析
(1) $\sqrt{12} - \sqrt{\frac{1}{2}} - 2\sqrt{\frac{1}{3}}$
$=2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 2×\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2\sqrt{3}}{3}$
$=\frac{6\sqrt{3}}{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}$
(2) $\frac{1}{3}(\sqrt{108} - \sqrt{4\frac{1}{2}} - 6\sqrt{\frac{1}{3}}) - 2(\sqrt{\frac{1}{8}} - \frac{1}{3}\sqrt{27})$
$=\frac{1}{3}(6\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{2}}{2} - 6×\frac{\sqrt{3}}{3}) - 2(\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{3}×3\sqrt{3})$
$=\frac{1}{3}(6\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{3}) - 2(\frac{\sqrt{2}}{4} - \sqrt{3})$
$=\frac{1}{3}(4\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{2}}{2}) - 2×\frac{\sqrt{2}}{4} + 2\sqrt{3}$
$=\frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{3}$
$=\frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{6\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2}$
$=\frac{10\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2}$
$=2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 2×\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2\sqrt{3}}{3}$
$=\frac{6\sqrt{3}}{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}$
(2) $\frac{1}{3}(\sqrt{108} - \sqrt{4\frac{1}{2}} - 6\sqrt{\frac{1}{3}}) - 2(\sqrt{\frac{1}{8}} - \frac{1}{3}\sqrt{27})$
$=\frac{1}{3}(6\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{2}}{2} - 6×\frac{\sqrt{3}}{3}) - 2(\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{3}×3\sqrt{3})$
$=\frac{1}{3}(6\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{3}) - 2(\frac{\sqrt{2}}{4} - \sqrt{3})$
$=\frac{1}{3}(4\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{2}}{2}) - 2×\frac{\sqrt{2}}{4} + 2\sqrt{3}$
$=\frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{3}$
$=\frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{6\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2}$
$=\frac{10\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2}$
8. 已知$x = \sqrt{\frac{3}{2}}$，求$\frac{x^2 - \sqrt{6}x - 12}{x + \sqrt{6}}$的值。
答案
8. $ - \dfrac{3\sqrt{6}}{2} $
解析
解：$\because x = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$，
$\therefore x^2 = (\frac{\sqrt{6}}{2})^2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$，
$\sqrt{6}x = \sqrt{6} × \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{6}{2} = 3$，
$\therefore \frac{x^2 - \sqrt{6}x - 12}{x + \sqrt{6}} = \frac{\frac{3}{2} - 3 - 12}{\frac{\sqrt{6}}{2} + \sqrt{6}} = \frac{-\frac{27}{2}}{\frac{3\sqrt{6}}{2}} = -\frac{27}{3\sqrt{6}} = -\frac{9}{\sqrt{6}} = -\frac{3\sqrt{6}}{2}$。
$-\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$
$\therefore x^2 = (\frac{\sqrt{6}}{2})^2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$，
$\sqrt{6}x = \sqrt{6} × \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{6}{2} = 3$，
$\therefore \frac{x^2 - \sqrt{6}x - 12}{x + \sqrt{6}} = \frac{\frac{3}{2} - 3 - 12}{\frac{\sqrt{6}}{2} + \sqrt{6}} = \frac{-\frac{27}{2}}{\frac{3\sqrt{6}}{2}} = -\frac{27}{3\sqrt{6}} = -\frac{9}{\sqrt{6}} = -\frac{3\sqrt{6}}{2}$。
$-\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$
