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1. 若四边形 $ABCD$ 是平行四边形，则下列结论一定正确的是(
A.$AB ⊥ BC$
B.$∠ A+∠ B = 180^{\circ}$
C.$AB = AD$
D.$∠ A ≠ ∠ C$
B
)A.$AB ⊥ BC$
B.$∠ A+∠ B = 180^{\circ}$
C.$AB = AD$
D.$∠ A ≠ ∠ C$
答案
1. B
2. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB // CD$，$AD // BC$，$DE ⊥ BC$，垂足为 $E$. 如果 $∠ A = 72^{\circ}$，那么 $∠ CDE$ 的度数是(
A.$18^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$22^{\circ}$
D.$28^{\circ}$
A
)A.$18^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$22^{\circ}$
D.$28^{\circ}$
答案
2. A
解析
解：
∵四边形$ABCD$中，$AB// CD$，$AD// BC$，
∴四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$∠ C = ∠ A = 72^{\circ}$，
∵$DE⊥ BC$，
∴$∠ DEC = 90^{\circ}$，
在$△ DEC$中，$∠ CDE = 180^{\circ}-∠ DEC-∠ C = 180^{\circ}-90^{\circ}-72^{\circ}=18^{\circ}$。
A
∵四边形$ABCD$中，$AB// CD$，$AD// BC$，
∴四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$∠ C = ∠ A = 72^{\circ}$，
∵$DE⊥ BC$，
∴$∠ DEC = 90^{\circ}$，
在$△ DEC$中，$∠ CDE = 180^{\circ}-∠ DEC-∠ C = 180^{\circ}-90^{\circ}-72^{\circ}=18^{\circ}$。
A
3. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$∠ A$ 比 $∠ D$ 大 $40^{\circ}$，则 $∠ C$ 的度数为
$ 110^{\circ} $
.答案
3. $ 110^{\circ} $
解析
解：在$□ABCD$中，$AD// BC$，
$\therefore ∠ A+∠ D=180^{\circ}$，
设$∠ D=x$，则$∠ A=x+40^{\circ}$，
$\therefore x+x+40^{\circ}=180^{\circ}$，
解得$x=70^{\circ}$，
$\therefore ∠ A=70^{\circ}+40^{\circ}=110^{\circ}$，
$\because$平行四边形对角相等，
$\therefore ∠ C=∠ A=110^{\circ}$。
$110^{\circ}$
$\therefore ∠ A+∠ D=180^{\circ}$，
设$∠ D=x$，则$∠ A=x+40^{\circ}$，
$\therefore x+x+40^{\circ}=180^{\circ}$，
解得$x=70^{\circ}$，
$\therefore ∠ A=70^{\circ}+40^{\circ}=110^{\circ}$，
$\because$平行四边形对角相等，
$\therefore ∠ C=∠ A=110^{\circ}$。
$110^{\circ}$
4. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是边 $AD$，$BC$ 的中点，连接 $BE$，$DF$，则 $BE$，$DF$ 之间的数量和位置关系分别是
$ BE = DF $，$ BE // DF $
.答案
4. $ BE = DF $，$ BE // DF $
解析
证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD // BC$，$AD = BC$。
∵ $E$，$F$ 分别是 $AD$，$BC$ 的中点，
∴ $DE = \frac{1}{2}AD$，$BF = \frac{1}{2}BC$，
∴ $DE = BF$。
又
∵ $AD // BC$，即 $DE // BF$，
∴ 四边形 $BEDF$ 是平行四边形，
∴ $BE = DF$，$BE // DF$。
$BE = DF$，$BE // DF$
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD // BC$，$AD = BC$。
∵ $E$，$F$ 分别是 $AD$，$BC$ 的中点，
∴ $DE = \frac{1}{2}AD$，$BF = \frac{1}{2}BC$，
∴ $DE = BF$。
又
∵ $AD // BC$，即 $DE // BF$，
∴ 四边形 $BEDF$ 是平行四边形，
∴ $BE = DF$，$BE // DF$。
$BE = DF$，$BE // DF$
5. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB // CD$，$AD // BC$，延长 $BA$ 至点 $E$，使 $AE + CD = AD$，连接 $CE$. 求证：$CE$ 平分 $∠ BCD$.
答案
5. $ \because $ 在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB // CD $，$ AD // BC $，$ \therefore ∠ E = ∠ DCE $，四边形 $ ABCD $ 是平行四边形. $ \therefore AB = CD $，$ AD = BC $. $ \because AE + CD = AD $，$ \therefore AE + AB = AD $，即 $ BE = BC $. $ \therefore ∠ E = ∠ BCE $. $ \therefore ∠ DCE = ∠ BCE $，即 $ CE $ 平分 $ ∠ BCD $
解析
证明：
∵ 在四边形 $ABCD$ 中，$AB // CD$，$AD // BC$，
∴ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$∠ E = ∠ DCE$。
∴ $AB = CD$，$AD = BC$。
∵ $AE + CD = AD$，
∴ $AE + AB = AD$，即 $BE = BC$。
∴ $∠ E = ∠ BCE$。
∴ $∠ DCE = ∠ BCE$，即 $CE$ 平分 $∠ BCD$。
∵ 在四边形 $ABCD$ 中，$AB // CD$，$AD // BC$，
∴ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$∠ E = ∠ DCE$。
∴ $AB = CD$，$AD = BC$。
∵ $AE + CD = AD$，
∴ $AE + AB = AD$，即 $BE = BC$。
∴ $∠ E = ∠ BCE$。
∴ $∠ DCE = ∠ BCE$，即 $CE$ 平分 $∠ BCD$。
6. (2025·宿城段考)如图，在 $□ ABCD$ 中，$BF$ 平分 $∠ ABC$，交 $AD$ 于点 $F$，$CE$ 平分 $∠ BCD$，交 $AD$ 于点 $E$，$AB = 6$，$EF = 2$，则 $BC$ 的长为(
A.$8$
B.$10$
C.$12$
D.$14$
B
)A.$8$
B.$10$
C.$12$
D.$14$
答案
6. B
解析
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AB=CD=6$，$AD=BC$。
∵$BF$平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABF=∠ CBF$。
∵$AD// BC$，
∴$∠ AFB=∠ CBF$，
∴$∠ ABF=∠ AFB$，
∴$AF=AB=6$。
同理，$CE$平分$∠ BCD$，
∴$∠ DCE=∠ BCE$。
∵$AD// BC$，
∴$∠ DEC=∠ BCE$，
∴$∠ DCE=∠ DEC$，
∴$DE=CD=6$。
∵$AD=AF+DE-EF$，$EF=2$，
∴$AD=6+6-2=10$，
∴$BC=AD=10$。
答案：B
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AB=CD=6$，$AD=BC$。
∵$BF$平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABF=∠ CBF$。
∵$AD// BC$，
∴$∠ AFB=∠ CBF$，
∴$∠ ABF=∠ AFB$，
∴$AF=AB=6$。
同理，$CE$平分$∠ BCD$，
∴$∠ DCE=∠ BCE$。
∵$AD// BC$，
∴$∠ DEC=∠ BCE$，
∴$∠ DCE=∠ DEC$，
∴$DE=CD=6$。
∵$AD=AF+DE-EF$，$EF=2$，
∴$AD=6+6-2=10$，
∴$BC=AD=10$。
答案：B
7. 如图，将 $□ ABCD$ 沿 $BD$ 折叠，使点 $A$ 落在点 $E$ 处. 若 $∠ 1 = 56^{\circ}$，$∠ 2 = 42^{\circ}$，则 $∠ C$ 的度数为(
A.$108^{\circ}$
B.$109^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$111^{\circ}$
C
)A.$108^{\circ}$
B.$109^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$111^{\circ}$
答案
7. C
8. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$O$ 为 $BD$ 上一点，$EF$ 过点 $O$，且分别交 $AB$，$CD$ 于点 $E$，$F$. 若 $OD = \frac{1}{2}BD$，$OE = 10$，则 $EF$ 的长为
20
.答案
8. 20
解析
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB = CD$，
∴$∠ OBE=∠ ODF$，$∠ OEB=∠ OFD$。
∵$OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$O$为$BD$中点，即$OB = OD$。
在$△ OBE$和$△ ODF$中，
$\begin{cases}∠ OBE=∠ ODF \\∠ OEB=∠ OFD \\OB = OD\end{cases}$，
∴$△ OBE≌△ ODF$（AAS），
∴$OE = OF = 10$，
∴$EF=OE + OF=10 + 10=20$。
20
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB = CD$，
∴$∠ OBE=∠ ODF$，$∠ OEB=∠ OFD$。
∵$OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$O$为$BD$中点，即$OB = OD$。
在$△ OBE$和$△ ODF$中，
$\begin{cases}∠ OBE=∠ ODF \\∠ OEB=∠ OFD \\OB = OD\end{cases}$，
∴$△ OBE≌△ ODF$（AAS），
∴$OE = OF = 10$，
∴$EF=OE + OF=10 + 10=20$。
20
