5. (2024·泰州月考)先化简，再求值：$ (\frac{x^{2}}{x - 1} - x + 1) ÷ \frac{4x^{2} - 4x + 1}{1 - x} $，其中 $ x = -3 $。

解：原式$=\frac{x^2-(x-1)^2}{x-1}·\frac{1-x}{(2x-1)^2}=\frac{2x-1}{x-1}·\frac{1-x}{(2x-1)^2}=-\frac{1}{2x-1}$
当x=-3时，原式$=-\frac{1}{2×(-3)-1}=\frac{1}{7}$

6. 若 $ x^{2} + x - 1 = 0 $，求 $ \frac{x^{4} + (x - 1)^{2} - 1}{x(x - 1)} $ 的值。

7. 已知 $ xyz ≠ 0 $，且 $ \begin{cases} x + 4y - 3z = 0, \\ 4x - 5y + 2z = 0. \end{cases} $
(1) 用含 $ z $ 的代数式表示 $ x $，$ y $；
(2) 求 $ \frac{3x^{2} + 2xy + z^{2}}{x^{2} + y^{2}} $ 的值。

解：$\because x^2+x-1=0,\therefore x^2=-(x-1)$，
$ \therefore$原式$=\frac{x^4+x^2-2x+1-1}{-x^3}=\frac{x^3+x-2}{-x^2}=\frac{x(x^2+1)-2}{-x^2}=\frac{x(-x+1+1)-2}{-x^2}=\frac{-x^2+2x-2}{-x^2}=\frac{-x^2+2(x-1)}{-x^2}=\frac{-x^2-2x^2}{-x^2}=3$
解：
$ (1)\begin{cases}x+4y-3z=0&①\\4x-5y+2z=0&②\end{cases}$
①×4-②，得$21y-14z=0,\therefore y=\frac{2}{3}z$，
把$y=\frac{2}{3}z$代入①，得$x+4×\frac{2}{3}z-3z=0,\therefore x=\frac{1}{3}z$。
(2)把$x=\frac{1}{3}z,y=\frac{2}{3}z$代入$\frac{3x^2+2xy+z^2}{x^2+y^2}$，得
原式$=\frac{3×\frac{1}{9}z^2+2×\frac{1}{3}z×\frac{2}{3}z+z^2}{\frac{1}{9}z^2+\frac{4}{9}z^2}=\frac{16}{5}$

8. (1) 已知 $ \frac{a - b}{a + b} = 3 $，求代数式 $ \frac{5(a - b)}{a + b} - \frac{3a + 3b}{a - b} $ 的值；
(2) 已知实数 $ x $ 满足 $ x + \frac{1}{x} = 4 $，求分式 $ \frac{x}{x^{2} + 3x + 1} $ 的值。

解：
(1)原式$=5×\frac{a-b}{a+b}-3×\frac{a+b}{a-b}$，
$ \because\frac{a-b}{a+b}=3,\therefore\frac{a+b}{a-b}=\frac{1}{3}$，
$ \therefore$原式$=5×3-3×\frac{1}{3}=15-1=14$。
(2)由题意知x≠0，则原式$=\frac{1}{x+3+\frac{1}{x}}$，
当$x+\frac{1}{x}=4$时，原式$=\frac{1}{4+3}=\frac{1}{7}$