登录
一、已知$□ = △ + △ + △ + △$，$□ + △ + △ + △ = 56$。那么，$□$和$△$分别是多少？
答案
△: 56÷(3+4)=8
□: 8×4=32
答: □是32， △是8。
解析
【分析】
首先观察题目中的两个等式，第一个等式明确了□和△的数量关系：1个□等于4个△。我们可以利用这个等量关系，将第二个等式中的□替换成4个△，这样第二个等式就转化为只含有△的式子，先求出△的值，再根据第一个等式的关系算出□的值。具体来说，替换后等式变为4个△加3个△等于56，也就是7个△的和是56，用总数56除以△的总个数7就能得到单个△的值，再用△的值乘4即可得到□的值。
【解析】
1. 根据$□ = △ + △ + △ + △$，可得1个□等价于4个△。
2. 将$□ + △ + △ + △ = 56$中的□替换为4个△，等式转化为：$4△ + 3△ = 56$，即$7△ = 56$。
3. 计算△的值：$△ = 56÷(4+3) = 56÷7 = 8$。
4. 计算□的值：因为$□ = 4×△$，所以$□ = 8×4 = 32$。
答：□是32，△是8。
【答案】
□是32，△是8。
【知识点】
等量代换、整数四则运算
【点评】
本题核心考查等量代换思想的应用，通过将不同图形转化为同一图形，把含有两个未知量的问题简化为单一未知量的计算，帮助学生建立转化思维，提升整数运算的熟练度。
【难度系数】
0.8
首先观察题目中的两个等式，第一个等式明确了□和△的数量关系：1个□等于4个△。我们可以利用这个等量关系，将第二个等式中的□替换成4个△，这样第二个等式就转化为只含有△的式子，先求出△的值，再根据第一个等式的关系算出□的值。具体来说，替换后等式变为4个△加3个△等于56，也就是7个△的和是56，用总数56除以△的总个数7就能得到单个△的值，再用△的值乘4即可得到□的值。
【解析】
1. 根据$□ = △ + △ + △ + △$，可得1个□等价于4个△。
2. 将$□ + △ + △ + △ = 56$中的□替换为4个△，等式转化为：$4△ + 3△ = 56$，即$7△ = 56$。
3. 计算△的值：$△ = 56÷(4+3) = 56÷7 = 8$。
4. 计算□的值：因为$□ = 4×△$，所以$□ = 8×4 = 32$。
答：□是32，△是8。
【答案】
□是32，△是8。
【知识点】
等量代换、整数四则运算
【点评】
本题核心考查等量代换思想的应用，通过将不同图形转化为同一图形，把含有两个未知量的问题简化为单一未知量的计算，帮助学生建立转化思维，提升整数运算的熟练度。
【难度系数】
0.8
二、如果$□$、$△$、$☆$各代表一个数，根据下面的已知条件，求下面各小题中$□$、$△$、$☆$的值。
1. $□ + □ + △ = 56$ $△ + △ + □ + □ = 72$
2. $□ + ☆ = 13$ $□ + △ = 12$ $△ + ☆ = 11$
1. $□ + □ + △ = 56$ $△ + △ + □ + □ = 72$
2. $□ + ☆ = 13$ $□ + △ = 12$ $△ + ☆ = 11$
答案
△: 72-56=16
□: (56-16)÷2=20
(13+12+11)÷2=18 △:18-13=5 □:12-5=7 ☆:11-5=6
(13+12+11)÷2=18 △:18-13=5 □:12-5=7 ☆:11-5=6
解析
【分析】
1. 对于第一组等式，观察发现第二个等式比第一个等式多了一个$△$，利用等式的性质，用第二个等式减去第一个等式，可直接求出$△$的值，再将$△$的值代入第一个等式，就能计算出$□$的值。
2. 对于第二组等式，把三个等式左右两边分别相加，得到2倍的$□$、$△$、$☆$的和，先求出三个数的总和，再用总和依次减去每两个数的和，即可分别求出第三个数的值。
【解析】
第1小题
已知：
$□ + □ + △ = 56$ ①
$△ + △ + □ + □ = 72$ ②
1. 用②式减去①式：
$(△ + △ + □ + □) - (□ + □ + △) = 72 - 56$
化简得：$△ = 16$
2. 将$△ = 16$代入①式：
$□ + □ + 16 = 56$
$2□ = 56 - 16 = 40$
$□ = 40 ÷ 2 = 20$
第2小题
已知：
$□ + ☆ = 13$ ③
$□ + △ = 12$ ④
$△ + ☆ = 11$ ⑤
1. 将③、④、⑤式左右两边分别相加：
$(□ + ☆) + (□ + △) + (△ + ☆) = 13 + 12 + 11$
化简得：$2(□ + △ + ☆) = 36$
两边同时除以2：$□ + △ + ☆ = 18$
2. 求$△$：
$△ = 18 - (□ + ☆) = 18 - 13 = 5$
3. 求$□$：
$□ = 12 - △ = 12 - 5 = 7$
4. 求$☆$：
$☆ = 11 - △ = 11 - 5 = 6$
【答案】
1. $△=16$，$□=20$；
2. $□=7$，$△=5$，$☆=6$
【知识点】
等量代换、整体思想
【点评】
本题通过简单的代数等式，考查学生对等式性质的理解和运用，以及整体思想的掌握。解题关键在于观察式子间的联系，找到简便的计算路径，提升学生的逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
1. 对于第一组等式，观察发现第二个等式比第一个等式多了一个$△$，利用等式的性质，用第二个等式减去第一个等式，可直接求出$△$的值，再将$△$的值代入第一个等式，就能计算出$□$的值。
2. 对于第二组等式，把三个等式左右两边分别相加，得到2倍的$□$、$△$、$☆$的和，先求出三个数的总和，再用总和依次减去每两个数的和，即可分别求出第三个数的值。
【解析】
第1小题
已知：
$□ + □ + △ = 56$ ①
$△ + △ + □ + □ = 72$ ②
1. 用②式减去①式：
$(△ + △ + □ + □) - (□ + □ + △) = 72 - 56$
化简得：$△ = 16$
2. 将$△ = 16$代入①式：
$□ + □ + 16 = 56$
$2□ = 56 - 16 = 40$
$□ = 40 ÷ 2 = 20$
第2小题
已知：
$□ + ☆ = 13$ ③
$□ + △ = 12$ ④
$△ + ☆ = 11$ ⑤
1. 将③、④、⑤式左右两边分别相加：
$(□ + ☆) + (□ + △) + (△ + ☆) = 13 + 12 + 11$
化简得：$2(□ + △ + ☆) = 36$
两边同时除以2：$□ + △ + ☆ = 18$
2. 求$△$：
$△ = 18 - (□ + ☆) = 18 - 13 = 5$
3. 求$□$：
$□ = 12 - △ = 12 - 5 = 7$
4. 求$☆$：
$☆ = 11 - △ = 11 - 5 = 6$
【答案】
1. $△=16$，$□=20$；
2. $□=7$，$△=5$，$☆=6$
【知识点】
等量代换、整体思想
【点评】
本题通过简单的代数等式，考查学生对等式性质的理解和运用，以及整体思想的掌握。解题关键在于观察式子间的联系，找到简便的计算路径，提升学生的逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
三、如果$☆ + ☆ + ☆ + ☆ + △ + △ + △ + △ = 28$，那么$☆ + △$是多少？
答案
4×(☆+△)=28
☆+△-28÷4=7
答:☆+△=7。
☆+△-28÷4=7
答:☆+△=7。
解析
【分析】
这道题可以运用整体思想来思考。观察等式左边，是4个☆与4个△相加，我们可以把☆+△看成一个整体，那么4个☆加4个△就等价于4乘（☆+△），这样原等式就转化为乘法形式的等式，之后利用除法运算就能求出☆+△的值。
【解析】
已知$☆ + ☆ + ☆ + ☆ + △ + △ + △ + △ = 28$，
根据乘法分配律的逆运算，将等式变形为：
$4×(☆ + △) = 28$，
根据除法的意义，计算得：
$☆ + △ = 28÷4 = 7$
答：$☆ + △$是7。
【答案】
$☆ + △=7$
【知识点】
乘法分配律逆用、整体思想
【点评】
本题重点考查整体代换思维的运用，通过把☆+△当作一个整体，将复杂的连加等式转化为简单的乘除运算，简化了解题过程，能帮助学生提升转化思维和观察归纳能力。
【难度系数】
0.8
这道题可以运用整体思想来思考。观察等式左边，是4个☆与4个△相加，我们可以把☆+△看成一个整体，那么4个☆加4个△就等价于4乘（☆+△），这样原等式就转化为乘法形式的等式，之后利用除法运算就能求出☆+△的值。
【解析】
已知$☆ + ☆ + ☆ + ☆ + △ + △ + △ + △ = 28$，
根据乘法分配律的逆运算，将等式变形为：
$4×(☆ + △) = 28$，
根据除法的意义，计算得：
$☆ + △ = 28÷4 = 7$
答：$☆ + △$是7。
【答案】
$☆ + △=7$
【知识点】
乘法分配律逆用、整体思想
【点评】
本题重点考查整体代换思维的运用，通过把☆+△当作一个整体，将复杂的连加等式转化为简单的乘除运算，简化了解题过程，能帮助学生提升转化思维和观察归纳能力。
【难度系数】
0.8
四、$a + b = 58$，$c + b = 60$，$a$和$c$比较，哪个大？
巩固提升
巩固提升
答案
a+b= 58，a=58-b
c+b= 60， c=60-b
60-b> 58-b
答: c比a大。
解析
【分析】
要比较a和c的大小，我们可以利用已知的两个等式，将a和c分别用含b的式子表示出来。因为两个等式中都含有相同的字母b，用减法变形得到a和c的表达式后，由于两个表达式都减去了相同的b，只需比较被减数的大小，就能得出a和c的大小关系。
【解析】
已知$a + b = 58$，根据等式的性质，等式两边同时减去b，可得：
$a = 58 - b$
已知$c + b = 60$，同理可得：
$c = 60 - b$
因为$60 ＞ 58$，当减数b相同时，被减数越大，差越大，所以：
$60 - b ＞ 58 - b$
即$c ＞ a$
【答案】
c比a大。
【知识点】
等式的变形、数的大小比较
【点评】
本题通过将两个未知数用同一个字母表示，转化为比较两个含相同减数的差的大小，考查了等式的基本性质和数的大小比较的逻辑，题型基础，有助于巩固用字母表示数及等式变形的相关知识。
【难度系数】
0.8
要比较a和c的大小，我们可以利用已知的两个等式，将a和c分别用含b的式子表示出来。因为两个等式中都含有相同的字母b，用减法变形得到a和c的表达式后，由于两个表达式都减去了相同的b，只需比较被减数的大小，就能得出a和c的大小关系。
【解析】
已知$a + b = 58$，根据等式的性质，等式两边同时减去b，可得：
$a = 58 - b$
已知$c + b = 60$，同理可得：
$c = 60 - b$
因为$60 ＞ 58$，当减数b相同时，被减数越大，差越大，所以：
$60 - b ＞ 58 - b$
即$c ＞ a$
【答案】
c比a大。
【知识点】
等式的变形、数的大小比较
【点评】
本题通过将两个未知数用同一个字母表示，转化为比较两个含相同减数的差的大小，考查了等式的基本性质和数的大小比较的逻辑，题型基础，有助于巩固用字母表示数及等式变形的相关知识。
【难度系数】
0.8
五、下图中，$∠1$和$∠3$组成的角是()°，是()角。已知$∠1 = ∠2$，你能推出$∠3 = ∠4$吗？
答案
90
直
因为∠1+∠3=90%，∠2+∠4=90°
所以∠l+∠3=∠2+∠4
又因为∠1=∠2
所以∠3=∠4
直
因为∠1+∠3=90%，∠2+∠4=90°
所以∠l+∠3=∠2+∠4
又因为∠1=∠2
所以∠3=∠4
解析
【分析】
首先观察图形，图中有互相垂直的直线，由此可知∠1和∠3组成的角是直角，度数为90°。要判断能否推出∠3=∠4，先分析角的数量关系：垂直意味着∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，这两个和相等；已知∠1=∠2，利用等式的性质，在等式两边同时减去相等的角，就能得出∠3=∠4。
【解析】
1. 确定∠1和∠3组成的角：
由图中两条直线互相垂直可知，∠1与∠3组成的角为90°，90°的角是直角。
2. 推导∠3=∠4：
因为两条直线垂直，所以∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，因此∠1+∠3=∠2+∠4。
又因为已知∠1=∠2，根据等式的基本性质，等式两边同时减去∠1（或∠2），可得∠3=∠4，所以能推出∠3=∠4。
【答案】
90；直；能推出∠3=∠4，推导过程：因为∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，所以∠1+∠3=∠2+∠4，又因为∠1=∠2，所以∠3=∠4
【知识点】
直角的定义；等式的基本性质；同角的余角相等
【点评】
本题结合图形考查了直角的概念和余角的性质，需要通过观察图形确定角的关系，再利用等式逻辑推导结论，有助于提升几何推理能力。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，图中有互相垂直的直线，由此可知∠1和∠3组成的角是直角，度数为90°。要判断能否推出∠3=∠4，先分析角的数量关系：垂直意味着∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，这两个和相等；已知∠1=∠2，利用等式的性质，在等式两边同时减去相等的角，就能得出∠3=∠4。
【解析】
1. 确定∠1和∠3组成的角：
由图中两条直线互相垂直可知，∠1与∠3组成的角为90°，90°的角是直角。
2. 推导∠3=∠4：
因为两条直线垂直，所以∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，因此∠1+∠3=∠2+∠4。
又因为已知∠1=∠2，根据等式的基本性质，等式两边同时减去∠1（或∠2），可得∠3=∠4，所以能推出∠3=∠4。
【答案】
90；直；能推出∠3=∠4，推导过程：因为∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，所以∠1+∠3=∠2+∠4，又因为∠1=∠2，所以∠3=∠4
【知识点】
直角的定义；等式的基本性质；同角的余角相等
【点评】
本题结合图形考查了直角的概念和余角的性质，需要通过观察图形确定角的关系，再利用等式逻辑推导结论，有助于提升几何推理能力。
【难度系数】
0.8
六、李老师去买水果，用买$3\ \mathrm{kg}$梨的钱可以买$2\ \mathrm{kg}$苹果，用买$8\ \mathrm{kg}$苹果的钱可以买$4\ \mathrm{kg}$葡萄。买$2\ \mathrm{kg}$葡萄的钱可以买几千克梨？
答案
由题可知买6千克梨的钱可以买4千克苹果
买4千克苹果的钱可以买2千克葡萄
答:买2千克葡萄的钱可以买6千克梨。
买4千克苹果的钱可以买2千克葡萄
答:买2千克葡萄的钱可以买6千克梨。
解析
【分析】
我们需要通过苹果这个中间量，建立梨和葡萄的价格兑换关系。首先观察已知条件：3kg梨的钱=2kg苹果的钱，8kg苹果的钱=4kg葡萄的钱。先把苹果的数量统一，将梨和苹果的兑换关系进行扩倍，让苹果的数量和苹果与葡萄兑换关系中的部分数量一致，再通过等量代换就能得出葡萄和梨的兑换关系。
【解析】
1. 根据“买3kg梨的钱可以买2kg苹果”，将等式两边同时乘2，可得：
买 $3×2=6\ \mathrm{kg}$ 梨的钱可以买 $2×2=4\ \mathrm{kg}$ 苹果；
2. 根据“买8kg苹果的钱可以买4kg葡萄”，将等式两边同时除以2，可得：
买 $8÷2=4\ \mathrm{kg}$ 苹果的钱可以买 $4÷2=2\ \mathrm{kg}$ 葡萄；
3. 由上述两步可知，买4kg苹果的钱既可以买6kg梨，又可以买2kg葡萄，因此买2kg葡萄的钱可以买6kg梨。
【答案】
6千克
【知识点】
等量代换，乘除运算
【点评】
本题核心考查等量代换的应用，解题关键是借助苹果这个中间量，统一数量后建立梨与葡萄的兑换联系，锻炼学生的逻辑推理和简单运算能力。
【难度系数】
0.6
我们需要通过苹果这个中间量，建立梨和葡萄的价格兑换关系。首先观察已知条件：3kg梨的钱=2kg苹果的钱，8kg苹果的钱=4kg葡萄的钱。先把苹果的数量统一，将梨和苹果的兑换关系进行扩倍，让苹果的数量和苹果与葡萄兑换关系中的部分数量一致，再通过等量代换就能得出葡萄和梨的兑换关系。
【解析】
1. 根据“买3kg梨的钱可以买2kg苹果”，将等式两边同时乘2，可得：
买 $3×2=6\ \mathrm{kg}$ 梨的钱可以买 $2×2=4\ \mathrm{kg}$ 苹果；
2. 根据“买8kg苹果的钱可以买4kg葡萄”，将等式两边同时除以2，可得：
买 $8÷2=4\ \mathrm{kg}$ 苹果的钱可以买 $4÷2=2\ \mathrm{kg}$ 葡萄；
3. 由上述两步可知，买4kg苹果的钱既可以买6kg梨，又可以买2kg葡萄，因此买2kg葡萄的钱可以买6kg梨。
【答案】
6千克
【知识点】
等量代换，乘除运算
【点评】
本题核心考查等量代换的应用，解题关键是借助苹果这个中间量，统一数量后建立梨与葡萄的兑换联系，锻炼学生的逻辑推理和简单运算能力。
【难度系数】
0.6
七、为了测量$1$颗玻璃球的体积，贤贤先将$400\ \mathrm{mL}$的水倒进一个容积为$1000\ \mathrm{mL}$的杯子中；再将$4$颗完全相同的玻璃球放入水中，结果水没满；最后再将$1$颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出。根据以上过程推测，$1$颗玻璃球的体积范围是多少立方厘米？请写出你的思考过程。
答案
1颗玻璃球的体积范围是大于120立方厘米且小于150立方厘米。思考过程：杯子容积1000mL，原有水400mL，剩余容积为1000-400=600mL。放入4颗球水未满，说明4颗球体积小于600mL，即4V＜600，得V＜150cm³；放入5颗球水溢出，说明5颗球体积大于600mL，即5V＞600，得V＞120cm³。
答：1颗玻璃球体积范围是120cm³＜V＜150cm³。
答：1颗玻璃球体积范围是120cm³＜V＜150cm³。
解析
【分析】
首先需要明确杯子剩余的可容纳体积，用杯子总容积减去已有水的体积即可得到。再根据两次放入玻璃球的不同现象推导单颗玻璃球的体积范围：放入4颗球水没满，说明4颗球的总体积小于剩余容积；放入5颗球水溢出，说明5颗球的总体积大于剩余容积。通过这两个关系列出不等式，就能求出1颗玻璃球的体积范围。
【解析】
1. 计算杯子剩余容积：
杯子总容积为$1000\ \mathrm{mL}$，已有水$400\ \mathrm{mL}$，剩余容积为 $1000 - 400 = 600\ \mathrm{mL}$，又因为$1\ \mathrm{mL}=1\ \mathrm{cm}^3$，所以$600\ \mathrm{mL}=600\ \mathrm{cm}^3$。
2. 根据放入4颗球水未满的条件列不等式：
设1颗玻璃球的体积为$V\ \mathrm{cm}^3$，4颗球的体积小于剩余容积，即 $4V ＜ 600$，解得 $V ＜ 150$。
3. 根据放入5颗球水溢出的条件列不等式：
5颗球的体积大于剩余容积，即 $5V ＞ 600$，解得 $V ＞ 120$。
综上，1颗玻璃球的体积范围是$120\ \mathrm{cm}^3 ＜ V ＜ 150\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
1颗玻璃球的体积范围是$\boldsymbol{120\ \mathrm{cm}^3 ＜ V ＜ 150\ \mathrm{cm}^3}$
【知识点】
排水法测体积、不等式应用、容积体积换算
【点评】
本题结合生活实际，利用排水法的原理，通过“水未满”“水溢出”两个关键条件构建不等式，既考察了对不规则物体体积测量方法的理解，也锻炼了逻辑分析和简单不等式计算的能力，是数学知识在实际生活中的典型应用。
【难度系数】
0.6
首先需要明确杯子剩余的可容纳体积，用杯子总容积减去已有水的体积即可得到。再根据两次放入玻璃球的不同现象推导单颗玻璃球的体积范围：放入4颗球水没满，说明4颗球的总体积小于剩余容积；放入5颗球水溢出，说明5颗球的总体积大于剩余容积。通过这两个关系列出不等式，就能求出1颗玻璃球的体积范围。
【解析】
1. 计算杯子剩余容积：
杯子总容积为$1000\ \mathrm{mL}$，已有水$400\ \mathrm{mL}$，剩余容积为 $1000 - 400 = 600\ \mathrm{mL}$，又因为$1\ \mathrm{mL}=1\ \mathrm{cm}^3$，所以$600\ \mathrm{mL}=600\ \mathrm{cm}^3$。
2. 根据放入4颗球水未满的条件列不等式：
设1颗玻璃球的体积为$V\ \mathrm{cm}^3$，4颗球的体积小于剩余容积，即 $4V ＜ 600$，解得 $V ＜ 150$。
3. 根据放入5颗球水溢出的条件列不等式：
5颗球的体积大于剩余容积，即 $5V ＞ 600$，解得 $V ＞ 120$。
综上，1颗玻璃球的体积范围是$120\ \mathrm{cm}^3 ＜ V ＜ 150\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
1颗玻璃球的体积范围是$\boldsymbol{120\ \mathrm{cm}^3 ＜ V ＜ 150\ \mathrm{cm}^3}$
【知识点】
排水法测体积、不等式应用、容积体积换算
【点评】
本题结合生活实际，利用排水法的原理，通过“水未满”“水溢出”两个关键条件构建不等式，既考察了对不规则物体体积测量方法的理解，也锻炼了逻辑分析和简单不等式计算的能力，是数学知识在实际生活中的典型应用。
【难度系数】
0.6
