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4. 某电商销售一款成本价为 60 元/件的商品，如果按每件 100 元销售，每天可卖出 20 件. 通过市场调查，该商品单价每降低 5 元，日销售量就增加 10 件. 设每件商品降价 $ x $ 元.
（1）每件商品降价 $ x $ 元时，日销售量为
（2）求 $ x $ 为何值时，日销售利润为 1200 元，同时又能尽快销售完该商品.
（1）每件商品降价 $ x $ 元时，日销售量为
(20+2x)
件；（2）求 $ x $ 为何值时，日销售利润为 1200 元，同时又能尽快销售完该商品.
答案
4. 解：(1) (20+2x)
(2) 由题意，得(100-x-60)(20+2x)=1 200.
解方程，得x₁=10，x₂=20.
当x=20时，20+2x=60；
当x=10时，20+2x=40.
∵要尽快销售完该商品，
∴x=20符合题意.
故当x=20时，日销售利润为1 200元，且能尽快销售完该商品.
(2) 由题意，得(100-x-60)(20+2x)=1 200.
解方程，得x₁=10，x₂=20.
当x=20时，20+2x=60；
当x=10时，20+2x=40.
∵要尽快销售完该商品，
∴x=20符合题意.
故当x=20时，日销售利润为1 200元，且能尽快销售完该商品.
解析
【分析】
（1）先推导日销售量的变化规律：已知单价每降低5元，日销售量增加10件，可算出每降价1元日销量增加10÷5=2件；降价x元时，日销量在原有20件的基础上增加2x件，即可得到总日销量。
（2）日销售利润=单件商品利润×日销售量，先表示出降价后单件商品的利润，再结合第一问的日销量表达式，根据总利润为1200元列一元二次方程求解；最后根据“尽快销售完商品”的要求，选择对应日销量更大的x值即可。
【解析】
（1）由题意可知，单价每降1元，日销售量增加$10÷5=2$件，因此降价$x$元后，日销售量增加$2x$件，原有日销量为20件，故此时日销售量为$(20+2x)$件。
（2）根据销售利润的等量关系列方程：
降价后单件商品利润为$(100-x-60)$元，日销售量为$(20+2x)$件，总利润为1200元，因此：
$(100-x-60)(20+2x)=1200$
整理化简得：$x^2-30x+200=0$
因式分解得：$(x-10)(x-20)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=20$
当$x=10$时，日销售量为$20+2×10=40$件；当$x=20$时，日销售量为$20+2×20=60$件。
∵要尽快销售完该商品，日销量越大销售速度越快，
∴$x=20$符合题意。
【答案】
（1）$\boxed{20+2x}$
（2）$\boxed{x=20}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的实际应用；销售利润问题
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题关键是理清销售问题中单价、销量、利润之间的数量关系，正确列出代数式和方程，同时要注意结合题目的实际限制条件对求解出的根进行合理取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.75
（1）先推导日销售量的变化规律：已知单价每降低5元，日销售量增加10件，可算出每降价1元日销量增加10÷5=2件；降价x元时，日销量在原有20件的基础上增加2x件，即可得到总日销量。
（2）日销售利润=单件商品利润×日销售量，先表示出降价后单件商品的利润，再结合第一问的日销量表达式，根据总利润为1200元列一元二次方程求解；最后根据“尽快销售完商品”的要求，选择对应日销量更大的x值即可。
【解析】
（1）由题意可知，单价每降1元，日销售量增加$10÷5=2$件，因此降价$x$元后，日销售量增加$2x$件，原有日销量为20件，故此时日销售量为$(20+2x)$件。
（2）根据销售利润的等量关系列方程：
降价后单件商品利润为$(100-x-60)$元，日销售量为$(20+2x)$件，总利润为1200元，因此：
$(100-x-60)(20+2x)=1200$
整理化简得：$x^2-30x+200=0$
因式分解得：$(x-10)(x-20)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=20$
当$x=10$时，日销售量为$20+2×10=40$件；当$x=20$时，日销售量为$20+2×20=60$件。
∵要尽快销售完该商品，日销量越大销售速度越快，
∴$x=20$符合题意。
【答案】
（1）$\boxed{20+2x}$
（2）$\boxed{x=20}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的实际应用；销售利润问题
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题关键是理清销售问题中单价、销量、利润之间的数量关系，正确列出代数式和方程，同时要注意结合题目的实际限制条件对求解出的根进行合理取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.75
5. 在一次会议上，每两人都只握一次手，一共握手55次，若设有x人参加会议，则可列方程为（
A.$x(x+1)=55$
B.$x(x-1)=55$
C.$\dfrac{x(x-1)}{2}=55$
D.$\dfrac{x(x+1)}{2}=55$
C
）。A.$x(x+1)=55$
B.$x(x-1)=55$
C.$\dfrac{x(x-1)}{2}=55$
D.$\dfrac{x(x+1)}{2}=55$
答案
5. C
解析
【分析】
这是一道一元二次方程实际应用中的握手问题，解题思路分三步：首先思考每个人的握手次数，再计算不考虑重复时的总握手次数，最后修正重复计数的部分得到实际握手次数，进而列方程。第一步，参加会议的有x人，每个人不能和自己握手，所以每个人要和剩下的(x-1)人各握1次手；第二步，如果直接用人数乘每人握手次数，会得到x(x-1)次，这里存在重复计算：比如甲和乙握手，在计算甲的握手次数时算1次，计算乙的握手次数时又算1次，实际这是同一次握手；第三步，所以实际握手次数是不重复计数的一半，结合总握手次数55次即可列出方程。
【解析】
设有x人参加会议：
1. 每人需和除自己外的$(x-1)$人握手，若不考虑重复，总握手次数为$x(x-1)$次；
2. 每两人之间的握手被重复计算了2次，因此实际握手次数为$\dfrac{x(x-1)}{2}$次；
3. 已知总握手次数为55次，因此可列方程：$\dfrac{x(x-1)}{2}=55$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环计数
【点评】
本题是单循环类应用题的典型考法，解题核心是明确计数时重复计算的情况，掌握去重的方法，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
这是一道一元二次方程实际应用中的握手问题，解题思路分三步：首先思考每个人的握手次数，再计算不考虑重复时的总握手次数，最后修正重复计数的部分得到实际握手次数，进而列方程。第一步，参加会议的有x人，每个人不能和自己握手，所以每个人要和剩下的(x-1)人各握1次手；第二步，如果直接用人数乘每人握手次数，会得到x(x-1)次，这里存在重复计算：比如甲和乙握手，在计算甲的握手次数时算1次，计算乙的握手次数时又算1次，实际这是同一次握手；第三步，所以实际握手次数是不重复计数的一半，结合总握手次数55次即可列出方程。
【解析】
设有x人参加会议：
1. 每人需和除自己外的$(x-1)$人握手，若不考虑重复，总握手次数为$x(x-1)$次；
2. 每两人之间的握手被重复计算了2次，因此实际握手次数为$\dfrac{x(x-1)}{2}$次；
3. 已知总握手次数为55次，因此可列方程：$\dfrac{x(x-1)}{2}=55$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环计数
【点评】
本题是单循环类应用题的典型考法，解题核心是明确计数时重复计算的情况，掌握去重的方法，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
6. 小明在数学活动小组中给同学们出了一道题，活动结束后他给同小组的$ n $名同学分享了一种做法.第二次活动时，这$ n $名同学每人又给同小组的其余$ n $名同学分享了这种做法，这样全组21名同学都了解了这种做法.求$ n $的值.
答案
6. 解：由题意，得 $1+n+n^2=21$.
解方程，得 $n_1=4$，$n_2=-5$(不符合题意，舍去).
答：$n$ 的值为 4.
解方程，得 $n_1=4$，$n_2=-5$(不符合题意，舍去).
答：$n$ 的值为 4.
解析
【分析】
解题时需先梳理清楚知道做法的人数增长逻辑：①最初只有小明1人知晓该做法；②小明第一次分享后，新增n名同学知晓，此时知晓总人数为$1+n$；③第二次分享时，之前知晓的n名同学每人再分享给n人，因此第二次新增$n× n=n^2$名知晓者。最终全组21人都知晓做法，因此三部分人数之和等于总人数21，据此列一元二次方程求解即可，注意人数为正整数，不符合实际意义的根要舍去。
【解析】
解：根据题意列方程得：
$1 + n + n^2 = 21$
整理为标准一元二次方程形式：$n^2 + n - 20 = 0$
因式分解得：$(n+5)(n-4)=0$
解得：$n_1=4$，$n_2=-5$
由于人数不能为负数，因此$n_2=-5$不符合题意，舍去。
答：n的值为4。
【答案】
n的值为4
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的解法；实际问题根的取舍
【点评】
本题是典型的传播类一元二次方程应用题，解题核心是理清每轮传播的新增人数，不要遗漏初始传播者，同时要结合实际情境对方程的根进行检验，排除不符合现实意义的解。
【难度系数】
0.7
解题时需先梳理清楚知道做法的人数增长逻辑：①最初只有小明1人知晓该做法；②小明第一次分享后，新增n名同学知晓，此时知晓总人数为$1+n$；③第二次分享时，之前知晓的n名同学每人再分享给n人，因此第二次新增$n× n=n^2$名知晓者。最终全组21人都知晓做法，因此三部分人数之和等于总人数21，据此列一元二次方程求解即可，注意人数为正整数，不符合实际意义的根要舍去。
【解析】
解：根据题意列方程得：
$1 + n + n^2 = 21$
整理为标准一元二次方程形式：$n^2 + n - 20 = 0$
因式分解得：$(n+5)(n-4)=0$
解得：$n_1=4$，$n_2=-5$
由于人数不能为负数，因此$n_2=-5$不符合题意，舍去。
答：n的值为4。
【答案】
n的值为4
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的解法；实际问题根的取舍
【点评】
本题是典型的传播类一元二次方程应用题，解题核心是理清每轮传播的新增人数，不要遗漏初始传播者，同时要结合实际情境对方程的根进行检验，排除不符合现实意义的解。
【难度系数】
0.7
