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概念建构
与三角形各边都
与三角形各边都
相切
的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心
，这个三角形叫作圆的外切三角形。答案
相切；内心
解析
【分析】
本题考查三角形内切圆相关的基础概念，属于识记类题型，解题时直接对应概念内容填空即可。首先回忆三角形内切圆的定义：内切圆位于三角形内部，需要和三角形的三条边都仅有一个公共点，即与各边都相切；再回忆内切圆圆心的专属名称：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等，这个点叫做三角形的内心，注意和三角形外心（三边垂直平分线交点，外接圆圆心）区分即可。
【解析】
根据三角形内切圆的相关定义：
1. 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆；
2. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。
因此两个空依次填入对应概念内容即可。
【答案】
相切；内心
【知识点】
三角形内切圆定义；三角形内心的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，主要考察对三角形内切圆相关核心概念的记忆掌握情况，只要牢记相关定义就能快速作答，是几何基础部分的常规考题。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形内切圆相关的基础概念，属于识记类题型，解题时直接对应概念内容填空即可。首先回忆三角形内切圆的定义：内切圆位于三角形内部，需要和三角形的三条边都仅有一个公共点，即与各边都相切；再回忆内切圆圆心的专属名称：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等，这个点叫做三角形的内心，注意和三角形外心（三边垂直平分线交点，外接圆圆心）区分即可。
【解析】
根据三角形内切圆的相关定义：
1. 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆；
2. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。
因此两个空依次填入对应概念内容即可。
【答案】
相切；内心
【知识点】
三角形内切圆定义；三角形内心的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，主要考察对三角形内切圆相关核心概念的记忆掌握情况，只要牢记相关定义就能快速作答，是几何基础部分的常规考题。
【难度系数】
0.9
1.如图,在$△ ABC$中,内切圆$\odot O$与边$BC$相切于点$D$,连接$OB$,$OD$.若$∠ BOD＝60°$,则$∠ ABC$的度数为（
A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
B
）A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路推导：第一步，根据切线的性质，内切圆与BC相切于D，可得OD⊥BC，得到直角△BOD；第二步，在Rt△BOD中利用直角三角形两锐角互余，求出∠OBD的度数；第三步，根据三角形内切圆的圆心（内心）是角平分线的交点，可知OB平分∠ABC，由此可求出∠ABC的度数。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，且与BC相切于点D，
∴OD⊥BC（圆的切线垂直于过切点的半径），即∠ODB=90°。
在Rt△BOD中，∠BOD=60°，
∴∠OBD=90°-∠BOD=30°。
又
∵点O是△ABC的内心，内心是三角形三个内角平分线的交点，
∴OB平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠OBD=2×30°=60°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1.三角形内切圆的性质 2.切线的性质 3.角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，将三角形内心的性质、切线的性质结合考查，解题的关键是明确内心为三角形内角平分线的交点，再结合直角三角形的角度运算即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以按照以下思路推导：第一步，根据切线的性质，内切圆与BC相切于D，可得OD⊥BC，得到直角△BOD；第二步，在Rt△BOD中利用直角三角形两锐角互余，求出∠OBD的度数；第三步，根据三角形内切圆的圆心（内心）是角平分线的交点，可知OB平分∠ABC，由此可求出∠ABC的度数。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，且与BC相切于点D，
∴OD⊥BC（圆的切线垂直于过切点的半径），即∠ODB=90°。
在Rt△BOD中，∠BOD=60°，
∴∠OBD=90°-∠BOD=30°。
又
∵点O是△ABC的内心，内心是三角形三个内角平分线的交点，
∴OB平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠OBD=2×30°=60°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1.三角形内切圆的性质 2.切线的性质 3.角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，将三角形内心的性质、切线的性质结合考查，解题的关键是明确内心为三角形内角平分线的交点，再结合直角三角形的角度运算即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
2.如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，且$∠ A=50°$，则$∠ BOC$的度数为（
A.$125°$
B.$120°$
C.$115°$
D.$110°$
C
）A.$125°$
B.$120°$
C.$115°$
D.$110°$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先明确$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，可得圆心$O$是$△ ABC$的内心，即三角形三条内角角平分线的交点，因此$OB$、$OC$分别平分$∠ ABC$、$∠ ACB$。接下来要计算$∠ BOC$，可在$△ BOC$中利用三角形内角和定理求解，需要先求得$∠ OBC$与$∠ OCB$的和：先根据$△ ABC$的内角和算出$∠ ABC+∠ ACB$的度数，再结合角平分线的性质得到$∠ OBC+∠ OCB$的度数，最后代入计算即可得到$∠ BOC$的度数。
【解析】
$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆，
$\therefore$点$O$是$△ ABC$的内心，即$OB$平分$∠ ABC$，$OC$平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在$△ ABC$中，$∠ A=50°$，根据三角形内角和定理：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-50°=130°$，
$\therefore ∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×130°=65°$。
在$△ BOC$中，再根据三角形内角和定理：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-65°=115°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，再结合三角形内角和公式即可快速求出角度。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，可得圆心$O$是$△ ABC$的内心，即三角形三条内角角平分线的交点，因此$OB$、$OC$分别平分$∠ ABC$、$∠ ACB$。接下来要计算$∠ BOC$，可在$△ BOC$中利用三角形内角和定理求解，需要先求得$∠ OBC$与$∠ OCB$的和：先根据$△ ABC$的内角和算出$∠ ABC+∠ ACB$的度数，再结合角平分线的性质得到$∠ OBC+∠ OCB$的度数，最后代入计算即可得到$∠ BOC$的度数。
【解析】
$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆，
$\therefore$点$O$是$△ ABC$的内心，即$OB$平分$∠ ABC$，$OC$平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在$△ ABC$中，$∠ A=50°$，根据三角形内角和定理：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-50°=130°$，
$\therefore ∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×130°=65°$。
在$△ BOC$中，再根据三角形内角和定理：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-65°=115°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，再结合三角形内角和公式即可快速求出角度。
【难度系数】
0.8
3.如图,在$△ ABC$中,内切圆$I$与边$BC$,$CA$,$AB$分别相切于点$D$,$E$,$F$.若$∠ A=70°$,则$∠ EDF=$
55
°.答案
3.55
解析
【分析】
要求∠EDF的度数，可先构造该角所对弧对应的圆心角，结合切线性质求解。首先连接圆心I与切点F、E，根据切线的性质可知半径与过切点的切线垂直，可得IF⊥AB、IE⊥AC，即∠AFI和∠AEI均为90°；再利用四边形内角和为360°，结合已知∠A=70°，即可求出圆心角∠FIE的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠EDF的度数。
【解析】
解：连接IF、IE，
∵⊙I是△ABC的内切圆，F、E分别是AB、AC边上的切点，
∴IF⊥AB，IE⊥AC，
∴∠AFI=∠AEI=90°，
在四边形AFIE中，内角和为360°，
∴∠A + ∠AFI + ∠FIE + ∠AEI = 360°，
将∠A=70°，∠AFI=∠AEI=90°代入得：
70° + 90° + ∠FIE + 90° = 360°，
解得∠FIE=110°，
∵∠EDF是弧EF所对的圆周角，∠FIE是弧EF所对的圆心角，
∴∠EDF = $\frac{1}{2}$∠FIE = $\frac{1}{2}$×110° = 55°。
【答案】
55
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是三角形内切圆性质的基础应用题，解题关键是通过连接圆心与切点构造直角，结合四边形内角和与圆周角定理求解，掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
要求∠EDF的度数，可先构造该角所对弧对应的圆心角，结合切线性质求解。首先连接圆心I与切点F、E，根据切线的性质可知半径与过切点的切线垂直，可得IF⊥AB、IE⊥AC，即∠AFI和∠AEI均为90°；再利用四边形内角和为360°，结合已知∠A=70°，即可求出圆心角∠FIE的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠EDF的度数。
【解析】
解：连接IF、IE，
∵⊙I是△ABC的内切圆，F、E分别是AB、AC边上的切点，
∴IF⊥AB，IE⊥AC，
∴∠AFI=∠AEI=90°，
在四边形AFIE中，内角和为360°，
∴∠A + ∠AFI + ∠FIE + ∠AEI = 360°，
将∠A=70°，∠AFI=∠AEI=90°代入得：
70° + 90° + ∠FIE + 90° = 360°，
解得∠FIE=110°，
∵∠EDF是弧EF所对的圆周角，∠FIE是弧EF所对的圆心角，
∴∠EDF = $\frac{1}{2}$∠FIE = $\frac{1}{2}$×110° = 55°。
【答案】
55
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是三角形内切圆性质的基础应用题，解题关键是通过连接圆心与切点构造直角，结合四边形内角和与圆周角定理求解，掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
4.如图,点I为$△ ABC$的内心,$AB=6,AC=4,BC=3$,将$∠ ACB$平移使其顶点与I重合,则图中阴影部分的周长为
6
.答案
4.6
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内心的性质：内心是三角形三个内角的角平分线的交点，因此AI平分∠CAB、BI平分∠CBA；再结合平移的性质，平移前后对应边互相平行，可推出两组等角，进而得到等腰三角形，将阴影部分的边长转化到AB边上，即可求出阴影部分的周长。
【解析】
连接AI、BI，设平移后∠ACB的两边分别与AB交于点D、E。
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，BI平分∠CBA，即$∠ CAI=∠ BAI$，$∠ CBI=∠ ABI$。
由平移的性质可得：$AC// DI$，$BC// EI$，
∴$∠ CAI=∠ AID$，$∠ CBI=∠ BIE$，
∴$∠ BAI=∠ AID$，$∠ ABI=∠ BIE$，
∴$AD=DI$，$BE=EI$。
∴阴影部分的周长为$DI+EI+DE=AD+BE+DE=AB$，
已知$AB=6$，因此阴影部分的周长为6。
【答案】
6
【知识点】
三角形内心的性质，平移的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是利用角平分线和平行线的性质推导等腰三角形，将未知的阴影部分周长转化为已知的AB边长，有效考查了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆三角形内心的性质：内心是三角形三个内角的角平分线的交点，因此AI平分∠CAB、BI平分∠CBA；再结合平移的性质，平移前后对应边互相平行，可推出两组等角，进而得到等腰三角形，将阴影部分的边长转化到AB边上，即可求出阴影部分的周长。
【解析】
连接AI、BI，设平移后∠ACB的两边分别与AB交于点D、E。
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，BI平分∠CBA，即$∠ CAI=∠ BAI$，$∠ CBI=∠ ABI$。
由平移的性质可得：$AC// DI$，$BC// EI$，
∴$∠ CAI=∠ AID$，$∠ CBI=∠ BIE$，
∴$∠ BAI=∠ AID$，$∠ ABI=∠ BIE$，
∴$AD=DI$，$BE=EI$。
∴阴影部分的周长为$DI+EI+DE=AD+BE+DE=AB$，
已知$AB=6$，因此阴影部分的周长为6。
【答案】
6
【知识点】
三角形内心的性质，平移的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是利用角平分线和平行线的性质推导等腰三角形，将未知的阴影部分周长转化为已知的AB边长，有效考查了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
5.如图,已知点O为勾股形ABC(我国古代称直角三角形为勾股形)的内心,其中$∠ A$为直角,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,$∠ ADO=∠ AFO=∠ BEO=90°$.若BD=4,CF=6,求四边形ADOF的面积. 
答案
5.解：4.
解析
【分析】
解题时首先结合三角形内心的性质，明确内心到三角形三边的距离相等，可得OD=OE=OF，再结合已知的三个直角，可判断四边形ADOF是正方形，设其边长即内切圆半径为r，那么四边形面积即为$r^2$。接下来利用切线长定理，可得BD=BE、CF=CE，进而求出BC的长度，同时用r表示出AB、AC的长度，最后结合直角三角形的勾股定理列方程求解r，即可求出四边形的面积。
【解析】
设三角形ABC的内切圆半径为r，即$OD=OE=OF=r$。
1. 因为$∠ A=∠ ADO=∠ AFO=90°$，且$OD=OF$，所以四边形ADOF是正方形，因此$AD=AF=r$，四边形ADOF的面积$S=r^2$。
2. 根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等，可得$BD=BE=4$，$CF=CE=6$，因此$BC=BE+CE=4+6=10$；同时$AB=BD+AD=4+r$，$AC=CF+AF=6+r$。
3. 因为$△ ABC$是直角三角形，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$AB^2+AC^2=BC^2$
代入边长表达式得：$(4+r)^2+(6+r)^2=10^2$
展开整理：$16+8r+r^2+36+12r+r^2=100$
化简得：$r^2+10r-24=0$
因式分解得：$(r+12)(r-2)=0$
解得$r=2$（$r=-12$不符合长度为正的要求，舍去）
因此四边形ADOF的面积$S=r^2=2^2=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形内心的性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题将三角形内心性质、切线长定理与勾股定理结合考查，解题的核心是判断出四边形ADOF为正方形，再通过切线长定理用半径表示出直角三角形各边的长度，最后利用勾股定理建立方程求解，属于中等难度的综合应用题。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合三角形内心的性质，明确内心到三角形三边的距离相等，可得OD=OE=OF，再结合已知的三个直角，可判断四边形ADOF是正方形，设其边长即内切圆半径为r，那么四边形面积即为$r^2$。接下来利用切线长定理，可得BD=BE、CF=CE，进而求出BC的长度，同时用r表示出AB、AC的长度，最后结合直角三角形的勾股定理列方程求解r，即可求出四边形的面积。
【解析】
设三角形ABC的内切圆半径为r，即$OD=OE=OF=r$。
1. 因为$∠ A=∠ ADO=∠ AFO=90°$，且$OD=OF$，所以四边形ADOF是正方形，因此$AD=AF=r$，四边形ADOF的面积$S=r^2$。
2. 根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等，可得$BD=BE=4$，$CF=CE=6$，因此$BC=BE+CE=4+6=10$；同时$AB=BD+AD=4+r$，$AC=CF+AF=6+r$。
3. 因为$△ ABC$是直角三角形，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$AB^2+AC^2=BC^2$
代入边长表达式得：$(4+r)^2+(6+r)^2=10^2$
展开整理：$16+8r+r^2+36+12r+r^2=100$
化简得：$r^2+10r-24=0$
因式分解得：$(r+12)(r-2)=0$
解得$r=2$（$r=-12$不符合长度为正的要求，舍去）
因此四边形ADOF的面积$S=r^2=2^2=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形内心的性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题将三角形内心性质、切线长定理与勾股定理结合考查，解题的核心是判断出四边形ADOF为正方形，再通过切线长定理用半径表示出直角三角形各边的长度，最后利用勾股定理建立方程求解，属于中等难度的综合应用题。
【难度系数】
0.6
6. 新题型 如图，把$△ ABC$剪成三部分，将$AB$，$BC$，$AC$放在同一条直线$l$上，点$O$落在直线$MN$上，直线$MN// l$. 在$△ ABC$中，若$∠ BOC=130°$，则$∠ BAC$的度数为 (
A.$70°$
B.$75°$
C.$80°$
D.$85°$
C
)A.$70°$
B.$75°$
C.$80°$
D.$85°$
答案
6.C
解析
【分析】
首先结合题目中的操作和平行线的性质：直线$MN// l$，点O落在MN上，且AB、BC、AC都在直线l上，可知点O到$△ ABC$三边的距离相等，由此可判定O是$△ ABC$的内心，即三个内角角平分线的交点。接下来利用三角形内角和定理，先在$△ BOC$中求出两个底角的和，再推导到$△ ABC$中两个底角的和，最终求出$∠ BAC$的度数，也可直接利用内心相关的角度公式求解。
【解析】
解：由题意可知，点O到$△ ABC$三边AB、BC、AC的距离相等，因此O是$△ ABC$的内心，即BO平分$∠ ABC$，CO平分$∠ ACB$。
方法1：利用内心角度性质
根据三角形内心的角度规律：$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ BAC$
已知$∠ BOC=130°$，代入得：
$130°=90°+\frac{1}{2}∠ BAC$
解得$\frac{1}{2}∠ BAC=40°$，即$∠ BAC=80°$。
方法2：分步利用内角和推导
在$△ BOC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ OBC+∠ OCB=180°-∠ BOC=180°-130°=50°$
$\because BO、CO$是角平分线，$\therefore ∠ ABC=2∠ OBC$，$∠ ACB=2∠ OCB$
因此$∠ ABC+∠ ACB=2(∠ OBC+∠ OCB)=2×50°=100°$
在$△ ABC$中，$∠ BAC=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-100°=80°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质，三角形内角和定理，平行线的性质
【点评】
本题结合图形操作考查三角形内心的判定与角度计算，解题的关键是根据操作特征判断出点O为三角形的内心，再结合内角和相关性质计算角度，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
首先结合题目中的操作和平行线的性质：直线$MN// l$，点O落在MN上，且AB、BC、AC都在直线l上，可知点O到$△ ABC$三边的距离相等，由此可判定O是$△ ABC$的内心，即三个内角角平分线的交点。接下来利用三角形内角和定理，先在$△ BOC$中求出两个底角的和，再推导到$△ ABC$中两个底角的和，最终求出$∠ BAC$的度数，也可直接利用内心相关的角度公式求解。
【解析】
解：由题意可知，点O到$△ ABC$三边AB、BC、AC的距离相等，因此O是$△ ABC$的内心，即BO平分$∠ ABC$，CO平分$∠ ACB$。
方法1：利用内心角度性质
根据三角形内心的角度规律：$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ BAC$
已知$∠ BOC=130°$，代入得：
$130°=90°+\frac{1}{2}∠ BAC$
解得$\frac{1}{2}∠ BAC=40°$，即$∠ BAC=80°$。
方法2：分步利用内角和推导
在$△ BOC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ OBC+∠ OCB=180°-∠ BOC=180°-130°=50°$
$\because BO、CO$是角平分线，$\therefore ∠ ABC=2∠ OBC$，$∠ ACB=2∠ OCB$
因此$∠ ABC+∠ ACB=2(∠ OBC+∠ OCB)=2×50°=100°$
在$△ ABC$中，$∠ BAC=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-100°=80°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质，三角形内角和定理，平行线的性质
【点评】
本题结合图形操作考查三角形内心的判定与角度计算，解题的关键是根据操作特征判断出点O为三角形的内心，再结合内角和相关性质计算角度，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
7. [2026 芜湖期末]如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$O$为$△ ABC$的外心,$BC=6$,$AC=8$,$\odot P$是$△ ABC$的内切圆,则$OP$的长为 (
A.2
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.$\dfrac{12}{5}$
C
)A.2
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.$\dfrac{12}{5}$
答案
7.C
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆直角三角形外心和内心的相关性质：①直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆半径为斜边长的一半；②直角三角形的内切圆半径可通过公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边）计算。要求OP的长度，我们可以通过建立平面直角坐标系，分别求出外心O和内心P的坐标，再利用两点间的距离公式计算即可。
【解析】
1. 计算斜边$AB$的长度
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$
2. 确定外心$O$的坐标
直角三角形的外心为斜边中点，建立平面直角坐标系，令$C(0,0)$，$A(8,0)$，$B(0,6)$，则$AB$中点$O$的坐标为$(\frac{8+0}{2},\frac{0+6}{2})=(4,3)$。
3. 计算内切圆半径，确定内心$P$的坐标
直角三角形内切圆半径$r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{8+6-10}{2}=2$。
内切圆与$AC$（x轴）、$BC$（y轴）均相切，因此内心$P$的横、纵坐标均等于内切圆半径，即$P(2,2)$。
4. 计算$OP$的长度
由两点间距离公式：
$OP=\sqrt{(4-2)^2+(3-2)^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
【答案】
C
【知识点】
三角形外心性质，三角形内心性质，勾股定理
【点评】
本题是三角形外接圆、内切圆相关的常规计算题，核心考查直角三角形特殊的外心、内心规律，熟练掌握相关半径计算方法是解题的关键，通过坐标法可以直观简化距离计算过程。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先回忆直角三角形外心和内心的相关性质：①直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆半径为斜边长的一半；②直角三角形的内切圆半径可通过公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边）计算。要求OP的长度，我们可以通过建立平面直角坐标系，分别求出外心O和内心P的坐标，再利用两点间的距离公式计算即可。
【解析】
1. 计算斜边$AB$的长度
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$
2. 确定外心$O$的坐标
直角三角形的外心为斜边中点，建立平面直角坐标系，令$C(0,0)$，$A(8,0)$，$B(0,6)$，则$AB$中点$O$的坐标为$(\frac{8+0}{2},\frac{0+6}{2})=(4,3)$。
3. 计算内切圆半径，确定内心$P$的坐标
直角三角形内切圆半径$r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{8+6-10}{2}=2$。
内切圆与$AC$（x轴）、$BC$（y轴）均相切，因此内心$P$的横、纵坐标均等于内切圆半径，即$P(2,2)$。
4. 计算$OP$的长度
由两点间距离公式：
$OP=\sqrt{(4-2)^2+(3-2)^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
【答案】
C
【知识点】
三角形外心性质，三角形内心性质，勾股定理
【点评】
本题是三角形外接圆、内切圆相关的常规计算题，核心考查直角三角形特殊的外心、内心规律，熟练掌握相关半径计算方法是解题的关键，通过坐标法可以直观简化距离计算过程。
【难度系数】
0.6
8.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C = 90°$,$\odot O$是$△ ABC$的内切圆,半径为$r$,切点为$D$,$E$,$F$,连接$OD$,$OE$,$OF$.
(1)若$BC=6$,$AC=8$,求$r$;
(2)若$Rt△ ABC$的周长为$L$,面积为$S$,则$S$,$L$,$r$之间有什么数量关系?
(1)若$BC=6$,$AC=8$,求$r$;
(2)若$Rt△ ABC$的周长为$L$,面积为$S$,则$S$,$L$,$r$之间有什么数量关系?
答案
8.解：(1)$r=2$.(2)$2S=Lr$.
解析
【分析】
本题可通过面积拆分法求解内切圆半径及推导三者关系：
(1) 首先利用勾股定理求出$Rt△ ABC$的斜边长度，再根据内切圆的性质，圆心到三边的距离都等于半径$r$，可将大三角形拆分为分别以三角形三边为底、$r$为高的3个小三角形，根据大三角形面积等于3个小三角形面积之和列等式，即可求出$r$的值。
(2) 沿用(1)的面积拆分思路，将三角形周长$L$代入面积等式，整理即可得到$S、L、r$的数量关系。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=6$，$AC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点为$D、E、F$
$\therefore OD⊥ BC$，$OE⊥ AC$，$OF⊥ AB$，且$OD=OE=OF=r$
$△ ABC$的面积可表示为三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
其中$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×8×6=24$
右边$=\frac{1}{2}× AB× r+\frac{1}{2}× BC× r+\frac{1}{2}× AC× r=\frac{1}{2}r(AB+BC+AC)=\frac{1}{2}r×(10+6+8)=12r$
$\therefore 24=12r$，解得$r=2$
(2) 设$△ ABC$的三边长分别为$a、b、c$，则周长$L=a+b+c$
同理根据面积拆分可得：
$S=\frac{1}{2}× a× r+\frac{1}{2}× b× r+\frac{1}{2}× c× r=\frac{1}{2}r(a+b+c)=\frac{1}{2}Lr$
等式两边同乘2得：$2S=Lr$
【答案】
(1)$r=2$；(2)$2S=Lr$
【知识点】
1. 三角形内切圆性质
2. 勾股定理
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是三角形内切圆的基础典型题，解题核心是利用内切圆半径相等的性质，通过面积拆分法建立各量之间的关系，该方法是解决内切圆相关计算问题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题可通过面积拆分法求解内切圆半径及推导三者关系：
(1) 首先利用勾股定理求出$Rt△ ABC$的斜边长度，再根据内切圆的性质，圆心到三边的距离都等于半径$r$，可将大三角形拆分为分别以三角形三边为底、$r$为高的3个小三角形，根据大三角形面积等于3个小三角形面积之和列等式，即可求出$r$的值。
(2) 沿用(1)的面积拆分思路，将三角形周长$L$代入面积等式，整理即可得到$S、L、r$的数量关系。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=6$，$AC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点为$D、E、F$
$\therefore OD⊥ BC$，$OE⊥ AC$，$OF⊥ AB$，且$OD=OE=OF=r$
$△ ABC$的面积可表示为三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
其中$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×8×6=24$
右边$=\frac{1}{2}× AB× r+\frac{1}{2}× BC× r+\frac{1}{2}× AC× r=\frac{1}{2}r(AB+BC+AC)=\frac{1}{2}r×(10+6+8)=12r$
$\therefore 24=12r$，解得$r=2$
(2) 设$△ ABC$的三边长分别为$a、b、c$，则周长$L=a+b+c$
同理根据面积拆分可得：
$S=\frac{1}{2}× a× r+\frac{1}{2}× b× r+\frac{1}{2}× c× r=\frac{1}{2}r(a+b+c)=\frac{1}{2}Lr$
等式两边同乘2得：$2S=Lr$
【答案】
(1)$r=2$；(2)$2S=Lr$
【知识点】
1. 三角形内切圆性质
2. 勾股定理
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是三角形内切圆的基础典型题，解题核心是利用内切圆半径相等的性质，通过面积拆分法建立各量之间的关系，该方法是解决内切圆相关计算问题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
