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7.如图，AB是$\odot O$的直径，BD是$\odot O$的弦，延长BD到点C，使$DC=BD$，连接AC，作$DE⊥ AC$于点E.
(1)求证:$AB=AC$；
(2)求证:$DE$为$\odot O$的切线.
(1)求证:$AB=AC$；
(2)求证:$DE$为$\odot O$的切线.
答案
证明：(1) 连接AD。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB = 90°，即AD⊥BC。
又∵ DC = BD，
∴ AD垂直平分BC，
∴ AB = AC。
证明：(2) 连接OD。
∵ O、D分别是AB、BC的中点，
∴ OD是△ABC的中位线，
∴ OD // AC。
∵ DE⊥AC，
∴ DE⊥OD。
又∵ OD是⊙O的半径，
∴ DE为⊙O的切线。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB = 90°，即AD⊥BC。
又∵ DC = BD，
∴ AD垂直平分BC，
∴ AB = AC。
证明：(2) 连接OD。
∵ O、D分别是AB、BC的中点，
∴ OD是△ABC的中位线，
∴ OD // AC。
∵ DE⊥AC，
∴ DE⊥OD。
又∵ OD是⊙O的半径，
∴ DE为⊙O的切线。
解析
【分析】
(1) 要证明AB=AC，可借助垂直平分线的性质推导：已知AB是⊙O的直径，联想到直径所对的圆周角为直角，因此连接AD可得AD⊥BC，结合题目给出的DC=BD，可知AD是BC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，即可得到AB=AC。
(2) 要证明DE为⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明DE垂直于⊙O的半径且经过半径外端：因此先连接半径OD，O是AB中点，D是BC中点，可知OD是△ABC的中位线，可得OD//AC，结合DE⊥AC的条件即可推出DE⊥OD，进而证得DE是⊙O的切线。
【解析】
(1) 证明：连接AD。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB = 90°，即AD⊥BC。
又
∵ DC = BD，
∴ AD垂直平分BC，
∴ AB = AC。
(2) 证明：连接OD。
∵ O、D分别是AB、BC的中点，
∴ OD是△ABC的中位线，
∴ OD // AC。
∵ DE⊥AC，
∴ DE⊥OD。
又
∵ OD是⊙O的半径，
∴ DE为⊙O的切线。
【答案】
(1) 连接AD，由直径所对圆周角为直角得AD⊥BC，结合DC=BD可知AD垂直平分BC，故AB=AC；
(2) 连接OD，由中位线性质得OD//AC，结合DE⊥AC得DE⊥OD，OD为半径，故DE为⊙O的切线。（证明过程详见解析）
【知识点】
圆周角定理，三角形中位线定理，切线的判定
【点评】
本题是圆的基础证明题，核心考查圆中常用辅助线的作法，掌握“遇直径构造直角、证切线连半径证垂直”的辅助线思路，结合三角形基础性质即可顺利解答，能有效检验对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明AB=AC，可借助垂直平分线的性质推导：已知AB是⊙O的直径，联想到直径所对的圆周角为直角，因此连接AD可得AD⊥BC，结合题目给出的DC=BD，可知AD是BC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，即可得到AB=AC。
(2) 要证明DE为⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明DE垂直于⊙O的半径且经过半径外端：因此先连接半径OD，O是AB中点，D是BC中点，可知OD是△ABC的中位线，可得OD//AC，结合DE⊥AC的条件即可推出DE⊥OD，进而证得DE是⊙O的切线。
【解析】
(1) 证明：连接AD。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB = 90°，即AD⊥BC。
又
∵ DC = BD，
∴ AD垂直平分BC，
∴ AB = AC。
(2) 证明：连接OD。
∵ O、D分别是AB、BC的中点，
∴ OD是△ABC的中位线，
∴ OD // AC。
∵ DE⊥AC，
∴ DE⊥OD。
又
∵ OD是⊙O的半径，
∴ DE为⊙O的切线。
【答案】
(1) 连接AD，由直径所对圆周角为直角得AD⊥BC，结合DC=BD可知AD垂直平分BC，故AB=AC；
(2) 连接OD，由中位线性质得OD//AC，结合DE⊥AC得DE⊥OD，OD为半径，故DE为⊙O的切线。（证明过程详见解析）
【知识点】
圆周角定理，三角形中位线定理，切线的判定
【点评】
本题是圆的基础证明题，核心考查圆中常用辅助线的作法，掌握“遇直径构造直角、证切线连半径证垂直”的辅助线思路，结合三角形基础性质即可顺利解答，能有效检验对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
8. [2026马鞍山三模]如图，AB为$\odot O$的直径，AC为$\odot O$的弦，$OD⊥ AB$交AC于点D，延长AB至点F，连接FC并延长与OD的延长线交于点E，$∠ ECD=∠ EDC$.
(1)求证:EF为$\odot O$的切线;
(2)若$AB=8$，$AD=2\sqrt{5}$，求OE的长.
(1)求证:EF为$\odot O$的切线;
(2)若$AB=8$，$AD=2\sqrt{5}$，求OE的长.
答案
8.(1)略.(2)5.
解析
【分析】
(1)要证明EF为$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需连接半径OC，证明$OC⊥ EF$即可。利用直角三角形两锐角互余、对顶角相等、等腰三角形等边对等角的性质，进行角度代换，推导出$∠ OCE=90°$即可得证。
(2)先在$Rt△ OAD$中利用勾股定理求出OD的长度，再结合$∠ ECD=∠ EDC$得到$EC=ED$，设OE为未知数，在$Rt△ OCE$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)证明：连接OC，
$\because OA=OC$，$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$，
$\because OD⊥ AB$，$\therefore ∠ OAC+∠ ODA=90°$，
$\because ∠ EDC=∠ ODA$（对顶角相等），且已知$∠ ECD=∠ EDC$，
$\therefore ∠ ECD=∠ ODA$，
$\therefore ∠ OCA+∠ ECD=∠ OAC+∠ ODA=90°$，即$∠ OCE=90°$，
$\therefore OC⊥ EF$，
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore EF$为$\odot O$的切线。
(2)解：$\because AB=8$，AB是$\odot O$的直径，$\therefore OA=OC=4$，
在$Rt△ OAD$中，$OA=4$，$AD=2\sqrt{5}$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{AD^2-OA^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{20-16}=2$，
$\because ∠ ECD=∠ EDC$，$\therefore EC=ED$，
设$OE=x$，则$ED=OE-OD=x-2$，$\therefore EC=x-2$，
在$Rt△ OCE$中，$∠ OCE=90°$，由勾股定理得：
$OC^2+EC^2=OE^2$，
即$4^2+(x-2)^2=x^2$，
展开得：$16+x^2-4x+4=x^2$，
化简得：$20-4x=0$，解得$x=5$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$5$
【知识点】
切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题考查切线的判定和相关线段长度的计算，掌握切线判定的常用辅助线作法（连半径证垂直）是解题的关键，第二问结合方程思想用勾股定理列方程求解是圆中计算线段长度的常用方法。
【难度系数】
0.65
(1)要证明EF为$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需连接半径OC，证明$OC⊥ EF$即可。利用直角三角形两锐角互余、对顶角相等、等腰三角形等边对等角的性质，进行角度代换，推导出$∠ OCE=90°$即可得证。
(2)先在$Rt△ OAD$中利用勾股定理求出OD的长度，再结合$∠ ECD=∠ EDC$得到$EC=ED$，设OE为未知数，在$Rt△ OCE$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)证明：连接OC，
$\because OA=OC$，$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$，
$\because OD⊥ AB$，$\therefore ∠ OAC+∠ ODA=90°$，
$\because ∠ EDC=∠ ODA$（对顶角相等），且已知$∠ ECD=∠ EDC$，
$\therefore ∠ ECD=∠ ODA$，
$\therefore ∠ OCA+∠ ECD=∠ OAC+∠ ODA=90°$，即$∠ OCE=90°$，
$\therefore OC⊥ EF$，
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore EF$为$\odot O$的切线。
(2)解：$\because AB=8$，AB是$\odot O$的直径，$\therefore OA=OC=4$，
在$Rt△ OAD$中，$OA=4$，$AD=2\sqrt{5}$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{AD^2-OA^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{20-16}=2$，
$\because ∠ ECD=∠ EDC$，$\therefore EC=ED$，
设$OE=x$，则$ED=OE-OD=x-2$，$\therefore EC=x-2$，
在$Rt△ OCE$中，$∠ OCE=90°$，由勾股定理得：
$OC^2+EC^2=OE^2$，
即$4^2+(x-2)^2=x^2$，
展开得：$16+x^2-4x+4=x^2$，
化简得：$20-4x=0$，解得$x=5$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$5$
【知识点】
切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题考查切线的判定和相关线段长度的计算，掌握切线判定的常用辅助线作法（连半径证垂直）是解题的关键，第二问结合方程思想用勾股定理列方程求解是圆中计算线段长度的常用方法。
【难度系数】
0.65
9.如图，$△ ABC$为等腰三角形，点O是底边BC的中点，腰AB与$\odot O$相切于点D，如何证明AC是$\odot O$的切线？
答案
证明：
过点O作$OE ⊥ AC$于点E，连接OD，OA。
∵ $△ ABC$为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴ AO平分$∠ BAC$。
∵ AB与$\odot O$相切于点D，
∴ $OD ⊥ AB$。
又∵ $OE ⊥ AC$，
∴ $OE = OD$。
∵ OD是$\odot O$的半径，
∴ OE也是$\odot O$的半径，且$OE ⊥ AC$，
∴ AC是$\odot O$的切线。
过点O作$OE ⊥ AC$于点E，连接OD，OA。
∵ $△ ABC$为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴ AO平分$∠ BAC$。
∵ AB与$\odot O$相切于点D，
∴ $OD ⊥ AB$。
又∵ $OE ⊥ AC$，
∴ $OE = OD$。
∵ OD是$\odot O$的半径，
∴ OE也是$\odot O$的半径，且$OE ⊥ AC$，
∴ AC是$\odot O$的切线。
解析
【分析】
要证明AC是$\odot O$的切线，由于题目未明确AC与$\odot O$的公共点，因此选用“作垂直，证半径”的判定思路。首先利用切线的性质，连接AB与圆的切点D和圆心O，可得OD⊥AB且OD是圆的半径；再结合等腰三角形三线合一的性质，O是等腰$△ ABC$底边BC的中点，可知AO平分$∠ BAC$；最后根据角平分线的性质，过O作AC的垂线OE，即可得到OE=OD，说明OE也是$\odot O$的半径，且OE⊥AC，即可判定AC是$\odot O$的切线。
【解析】
过点O作$OE ⊥ AC$于点E，连接$OD$，$OA$。
∵ $△ ABC$为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴ $AO$平分$∠ BAC$。
∵ AB与$\odot O$相切于点D，
∴ $OD ⊥ AB$，且$OD$是$\odot O$的半径。
又
∵ $OE ⊥ AC$，
∴ 由角平分线的性质可得$OE = OD$。
∴ $OE$是$\odot O$的半径，且$OE ⊥ AC$，
∴ AC是$\odot O$的切线。
【答案】
证明：
过点O作$OE ⊥ AC$于点E，连接OD，OA。
∵ $△ ABC$为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴ AO平分$∠ BAC$。
∵ AB与$\odot O$相切于点D，
∴ $OD ⊥ AB$。
又
∵ $OE ⊥ AC$，
∴ $OE = OD$。
∵ OD是$\odot O$的半径，
∴ OE也是$\odot O$的半径，且$OE ⊥ AC$，
∴ AC是$\odot O$的切线。
【知识点】
切线的判定与性质；等腰三角形的性质；角平分线的性质
【点评】
本题属于切线判定的基础题型，核心考查切线证明中“作垂直，证半径”的常用思路，同时融合了等腰三角形三线合一、角平分线的性质等知识点，能有效帮助学生掌握切线相关辅助线的作法，巩固基础定理的应用。
【难度系数】
0.7
要证明AC是$\odot O$的切线，由于题目未明确AC与$\odot O$的公共点，因此选用“作垂直，证半径”的判定思路。首先利用切线的性质，连接AB与圆的切点D和圆心O，可得OD⊥AB且OD是圆的半径；再结合等腰三角形三线合一的性质，O是等腰$△ ABC$底边BC的中点，可知AO平分$∠ BAC$；最后根据角平分线的性质，过O作AC的垂线OE，即可得到OE=OD，说明OE也是$\odot O$的半径，且OE⊥AC，即可判定AC是$\odot O$的切线。
【解析】
过点O作$OE ⊥ AC$于点E，连接$OD$，$OA$。
∵ $△ ABC$为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴ $AO$平分$∠ BAC$。
∵ AB与$\odot O$相切于点D，
∴ $OD ⊥ AB$，且$OD$是$\odot O$的半径。
又
∵ $OE ⊥ AC$，
∴ 由角平分线的性质可得$OE = OD$。
∴ $OE$是$\odot O$的半径，且$OE ⊥ AC$，
∴ AC是$\odot O$的切线。
【答案】
证明：
过点O作$OE ⊥ AC$于点E，连接OD，OA。
∵ $△ ABC$为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴ AO平分$∠ BAC$。
∵ AB与$\odot O$相切于点D，
∴ $OD ⊥ AB$。
又
∵ $OE ⊥ AC$，
∴ $OE = OD$。
∵ OD是$\odot O$的半径，
∴ OE也是$\odot O$的半径，且$OE ⊥ AC$，
∴ AC是$\odot O$的切线。
【知识点】
切线的判定与性质；等腰三角形的性质；角平分线的性质
【点评】
本题属于切线判定的基础题型，核心考查切线证明中“作垂直，证半径”的常用思路，同时融合了等腰三角形三线合一、角平分线的性质等知识点，能有效帮助学生掌握切线相关辅助线的作法，巩固基础定理的应用。
【难度系数】
0.7
针对练习 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,$∠ BAC$的平分线交$BC$于点$D$,$E$为$AB$上的一点,$DE=DC$,以点$D$为圆心、$DB$长为半径作$\odot D$,$AB=10$,$EB=6$.
(1)求证:$AC$是$\odot D$的切线;
(2)求线段$AC$的长.
(1)求证:$AC$是$\odot D$的切线;
(2)求线段$AC$的长.
答案
(1)证明: 过点 D 作 $DF⊥AC$ 于点 F，
$\because ∠ B=90°,∴AB⊥ BC.$
$\because AD$ 平分$∠ BAC,DF⊥ AC,∴BD= DF,∴AC$ 是$\odot D$的切线.
(2)16.
$\because ∠ B=90°,∴AB⊥ BC.$
$\because AD$ 平分$∠ BAC,DF⊥ AC,∴BD= DF,∴AC$ 是$\odot D$的切线.
(2)16.
解析
【分析】
（1）要证明$AC$是$\odot D$的切线，根据切线的判定定理，需要证明圆心$D$到$AC$的距离等于$\odot D$的半径。已知$\odot D$的半径为$DB$，因此考虑过$D$作$AC$的垂线$DF$，结合$AD$是$∠ BAC$的平分线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，即可证得$DF=DB$，从而得到结论。
（2）求$AC$的长度，可将$AC$拆分为$AF$和$FC$两段分别计算：首先利用HL证明$Rt△ ABD≌ Rt△ AFD$，可得$AF=AB=10$；再利用HL证明$Rt△ BDE≌ Rt△ FDC$，可得$FC=EB=6$，两段相加即可得到$AC$的长。
【解析】
(1) 证明：过点$D$作$DF⊥ AC$于点$F$。
$\because ∠ B=90°$，$\therefore AB⊥ BC$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DF⊥ AC$，$DB⊥ AB$，
$\therefore$ 根据角平分线的性质，$BD=DF$，即$DF$是$\odot D$的半径，
$\therefore AC$是$\odot D$的切线。
(2) 解：在$Rt△ ABD$和$Rt△ AFD$中，
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\BD=DF\end{array} $
$\therefore Rt△ ABD≌ Rt△ AFD(\mathrm{HL})$，
$\therefore AF=AB=10$。
在$Rt△ BDE$和$Rt△ FDC$中，
$\{\begin{array}{l}DE=DC\\BD=DF\end{array} $
$\therefore Rt△ BDE≌ Rt△ FDC(\mathrm{HL})$，
$\therefore FC=EB=6$。
$\therefore AC=AF+FC=10+6=16$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boxed{16}$
【知识点】
切线的判定；角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，考查了切线判定的常用辅助线作法，解题时若要证明某直线是圆的切线，未明确直线与圆的交点时，通常过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径即可。同时结合全等三角形的性质求线段长度，熟练掌握基础定理和辅助线作法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$AC$是$\odot D$的切线，根据切线的判定定理，需要证明圆心$D$到$AC$的距离等于$\odot D$的半径。已知$\odot D$的半径为$DB$，因此考虑过$D$作$AC$的垂线$DF$，结合$AD$是$∠ BAC$的平分线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，即可证得$DF=DB$，从而得到结论。
（2）求$AC$的长度，可将$AC$拆分为$AF$和$FC$两段分别计算：首先利用HL证明$Rt△ ABD≌ Rt△ AFD$，可得$AF=AB=10$；再利用HL证明$Rt△ BDE≌ Rt△ FDC$，可得$FC=EB=6$，两段相加即可得到$AC$的长。
【解析】
(1) 证明：过点$D$作$DF⊥ AC$于点$F$。
$\because ∠ B=90°$，$\therefore AB⊥ BC$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DF⊥ AC$，$DB⊥ AB$，
$\therefore$ 根据角平分线的性质，$BD=DF$，即$DF$是$\odot D$的半径，
$\therefore AC$是$\odot D$的切线。
(2) 解：在$Rt△ ABD$和$Rt△ AFD$中，
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\BD=DF\end{array} $
$\therefore Rt△ ABD≌ Rt△ AFD(\mathrm{HL})$，
$\therefore AF=AB=10$。
在$Rt△ BDE$和$Rt△ FDC$中，
$\{\begin{array}{l}DE=DC\\BD=DF\end{array} $
$\therefore Rt△ BDE≌ Rt△ FDC(\mathrm{HL})$，
$\therefore FC=EB=6$。
$\therefore AC=AF+FC=10+6=16$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boxed{16}$
【知识点】
切线的判定；角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，考查了切线判定的常用辅助线作法，解题时若要证明某直线是圆的切线，未明确直线与圆的交点时，通常过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径即可。同时结合全等三角形的性质求线段长度，熟练掌握基础定理和辅助线作法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
