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1. 想一想，填一填。
(1)密铺图案①由相同的四边形拼成，拼接点处正好是它的四个角，四边形的内角和是(
(2)密铺图案②由相同的三角形拼成，拼接点处三角形的每个角正好用了(
(3)密铺图案③由相同的正六边形拼成，正六边形的内角和是720°，每个内角是(
我发现:能密铺的图形，拼接点处各个角的度数之和都是(
(1)密铺图案①由相同的四边形拼成，拼接点处正好是它的四个角，四边形的内角和是(
360
)°。(2)密铺图案②由相同的三角形拼成，拼接点处三角形的每个角正好用了(
2
)次，一个三角形的内角和是(180
)°，两个三角形的内角和是(360
)°。(3)密铺图案③由相同的正六边形拼成，正六边形的内角和是720°，每个内角是(
120
)°。拼接点处用了(3
)个内角，是(360
)°。我发现:能密铺的图形，拼接点处各个角的度数之和都是(
360
)°。答案
(1) 360
(2) 2；180；360
(3) 120；3；360
我发现：能密铺的图形，拼接点处各个角的度数之和都是360°。
(2) 2；180；360
(3) 120；3；360
我发现：能密铺的图形，拼接点处各个角的度数之和都是360°。
解析
【分析】
解题时结合多边形内角和的计算方法、密铺的特点，观察三个密铺图案逐步推导即可：
1. 第(1)题：四边形内角和可直接用多边形内角和公式计算，也可结合密铺时拼接点处四个角恰好拼成周角（360°）得到结果。
2. 第(2)题：先观察图案②的拼接点，数出三角形每个角出现的次数，再结合三角形内角和固定为180°，计算2个三角形的内角和。
3. 第(3)题：正六边形每个内角大小相等，用内角和除以边数得到单个内角度数，再观察拼接点处内角的个数计算总度数，最后总结密铺的共同规律。
【解析】
(1) 多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数），四边形$n=4$，代入得$(4-2)×180°=360°$。
(2) 观察图案②的拼接点，可知三角形的每个角正好用了2次；任意三角形的内角和为$180°$，则两个三角形的内角和为$180°×2=360°$。
(3) 正六边形6个内角大小相等，已知内角和为$720°$，每个内角的度数为$720°÷6=120°$；观察图案③的拼接点，可知拼接点处用了3个内角，总度数为$120°×3=360°$。
观察三个密铺图案拼接点的角度总和，可总结出密铺的规律：能密铺的图形，拼接点处各个角的度数之和都是$360°$。
【答案】
(1) 360
(2) 2；180；360
(3) 120；3；360
我发现：能密铺的图形，拼接点处各个角的度数之和都是360°。
【知识点】
多边形内角和计算；密铺的特征；周角的认识
【点评】
本题结合直观的密铺图案，将多边形内角和计算与密铺规律结合考查，既需要掌握基础的公式计算，也需要具备一定的观察能力，可帮助学生理解密铺的核心原理。
【难度系数】
0.8
解题时结合多边形内角和的计算方法、密铺的特点，观察三个密铺图案逐步推导即可：
1. 第(1)题：四边形内角和可直接用多边形内角和公式计算，也可结合密铺时拼接点处四个角恰好拼成周角（360°）得到结果。
2. 第(2)题：先观察图案②的拼接点，数出三角形每个角出现的次数，再结合三角形内角和固定为180°，计算2个三角形的内角和。
3. 第(3)题：正六边形每个内角大小相等，用内角和除以边数得到单个内角度数，再观察拼接点处内角的个数计算总度数，最后总结密铺的共同规律。
【解析】
(1) 多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数），四边形$n=4$，代入得$(4-2)×180°=360°$。
(2) 观察图案②的拼接点，可知三角形的每个角正好用了2次；任意三角形的内角和为$180°$，则两个三角形的内角和为$180°×2=360°$。
(3) 正六边形6个内角大小相等，已知内角和为$720°$，每个内角的度数为$720°÷6=120°$；观察图案③的拼接点，可知拼接点处用了3个内角，总度数为$120°×3=360°$。
观察三个密铺图案拼接点的角度总和，可总结出密铺的规律：能密铺的图形，拼接点处各个角的度数之和都是$360°$。
【答案】
(1) 360
(2) 2；180；360
(3) 120；3；360
我发现：能密铺的图形，拼接点处各个角的度数之和都是360°。
【知识点】
多边形内角和计算；密铺的特征；周角的认识
【点评】
本题结合直观的密铺图案，将多边形内角和计算与密铺规律结合考查，既需要掌握基础的公式计算，也需要具备一定的观察能力，可帮助学生理解密铺的核心原理。
【难度系数】
0.8
(1)关于密铺，下面说法正确的是(
A.不是正多边形就不能密铺
B.正五边形可以单独密铺
C.凡是完全相同的正多边形都能密铺
D.等边三角形和平行四边形都可以单独密铺
D
)。A.不是正多边形就不能密铺
B.正五边形可以单独密铺
C.凡是完全相同的正多边形都能密铺
D.等边三角形和平行四边形都可以单独密铺
答案
D
解析
【分析】
要判断关于密铺的说法是否正确，首先要明确密铺的核心判断标准：图形拼接时，同一个公共顶点处的所有内角加起来恰好等于360°，就可以单独密铺。我们可以用这个标准逐个分析每个选项：
1. 分析A选项：只要满足顶点处内角和为360°就可以密铺，和是不是正多边形没有必然关系，比如普通的长方形、任意完全相同的三角形都不是正多边形，但都可以密铺，因此A错误。
2. 分析B选项：先计算正五边形的每个内角是108°，找不到正整数让108°乘它等于360°，所以正五边形不能单独密铺，因此B错误。
3. 分析C选项：正五边形属于正多边形，但它无法密铺，因此“所有完全相同的正多边形都能密铺”的说法错误，C错误。
4. 分析D选项：等边三角形内角是60°，6个60°加起来刚好360°；平行四边形的邻角相加是180°，4个角凑起来刚好360°，二者都可以单独密铺，因此D正确。
【解析】
密铺的核心要求：拼接时公共顶点处所有内角的和为360°。
选项A：不是正多边形也可以密铺，例如完全相同的长方形、三角形都能密铺，故A错误。
选项B：正五边形每个内角为$(5-2)× 180° ÷ 5 = 108°$，不存在正整数$n$满足$108° × n=360°$，因此正五边形不能单独密铺，故B错误。
选项C：正五边形属于正多边形，但无法单独密铺，因此“凡是完全相同的正多边形都能密铺”的表述错误，故C错误。
选项D：等边三角形每个内角为$60°$，$60° × 6=360°$，可单独密铺；平行四边形邻角和为$180°$，4个内角拼接恰好凑成$360°$，可单独密铺，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
密铺的判定；正多边形内角计算；平面图形特征
【点评】
本题考查密铺相关概念的理解与应用，解题关键是牢记密铺的核心判断标准，熟悉常见平面图形的内角特点，做题时可结合排除法快速锁定正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断关于密铺的说法是否正确，首先要明确密铺的核心判断标准：图形拼接时，同一个公共顶点处的所有内角加起来恰好等于360°，就可以单独密铺。我们可以用这个标准逐个分析每个选项：
1. 分析A选项：只要满足顶点处内角和为360°就可以密铺，和是不是正多边形没有必然关系，比如普通的长方形、任意完全相同的三角形都不是正多边形，但都可以密铺，因此A错误。
2. 分析B选项：先计算正五边形的每个内角是108°，找不到正整数让108°乘它等于360°，所以正五边形不能单独密铺，因此B错误。
3. 分析C选项：正五边形属于正多边形，但它无法密铺，因此“所有完全相同的正多边形都能密铺”的说法错误，C错误。
4. 分析D选项：等边三角形内角是60°，6个60°加起来刚好360°；平行四边形的邻角相加是180°，4个角凑起来刚好360°，二者都可以单独密铺，因此D正确。
【解析】
密铺的核心要求：拼接时公共顶点处所有内角的和为360°。
选项A：不是正多边形也可以密铺，例如完全相同的长方形、三角形都能密铺，故A错误。
选项B：正五边形每个内角为$(5-2)× 180° ÷ 5 = 108°$，不存在正整数$n$满足$108° × n=360°$，因此正五边形不能单独密铺，故B错误。
选项C：正五边形属于正多边形，但无法单独密铺，因此“凡是完全相同的正多边形都能密铺”的表述错误，故C错误。
选项D：等边三角形每个内角为$60°$，$60° × 6=360°$，可单独密铺；平行四边形邻角和为$180°$，4个内角拼接恰好凑成$360°$，可单独密铺，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
密铺的判定；正多边形内角计算；平面图形特征
【点评】
本题考查密铺相关概念的理解与应用，解题关键是牢记密铺的核心判断标准，熟悉常见平面图形的内角特点，做题时可结合排除法快速锁定正确答案。
【难度系数】
0.8
(2)若铺满地面的瓷砖每个顶点处都由4块相同的正多边形瓷砖组成，则这种形状的瓷砖只能是(
A.正方形
B.正六边形
C.正五边形
D.正三角形
A
)。A.正方形
B.正六边形
C.正五边形
D.正三角形
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确瓷砖铺满地面（密铺）的核心要求：拼接在同一个顶点处的几个角不能有空隙也不能重叠，加起来必须等于一圈的角度也就是周角360°。题目说每个顶点有4块相同的正多边形，说明4个完全相等的内角加起来是360°，我们可以先算出单个内角的度数，再对应选项找到符合的正多边形即可。
【解析】
解：密铺的基本条件是：同一顶点处拼接的多个内角之和为周角360°。
第一步：计算单块正多边形的内角度数
因为每个顶点处有4块相同的正多边形，所以单个内角的度数为：
$360° ÷ 4 = 90°$
第二步：逐一判断选项
A. 正方形的每个内角是90°，符合要求；
B. 正六边形每个内角是120°，4个的和为$4×120°=480°≠360°$，不符合；
C. 正五边形每个内角是108°，4个的和为$4×108°=432°≠360°$，不符合；
D. 正三角形每个内角是60°，4个的和为$4×60°=240°≠360°$，不符合。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平面密铺，正多边形内角，周角认识
【点评】
本题主要考查平面密铺的判定条件，牢记“同一顶点处各拼接角之和为360°”是解题的关键，属于密铺类基础常考题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确瓷砖铺满地面（密铺）的核心要求：拼接在同一个顶点处的几个角不能有空隙也不能重叠，加起来必须等于一圈的角度也就是周角360°。题目说每个顶点有4块相同的正多边形，说明4个完全相等的内角加起来是360°，我们可以先算出单个内角的度数，再对应选项找到符合的正多边形即可。
【解析】
解：密铺的基本条件是：同一顶点处拼接的多个内角之和为周角360°。
第一步：计算单块正多边形的内角度数
因为每个顶点处有4块相同的正多边形，所以单个内角的度数为：
$360° ÷ 4 = 90°$
第二步：逐一判断选项
A. 正方形的每个内角是90°，符合要求；
B. 正六边形每个内角是120°，4个的和为$4×120°=480°≠360°$，不符合；
C. 正五边形每个内角是108°，4个的和为$4×108°=432°≠360°$，不符合；
D. 正三角形每个内角是60°，4个的和为$4×60°=240°≠360°$，不符合。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平面密铺，正多边形内角，周角认识
【点评】
本题主要考查平面密铺的判定条件，牢记“同一顶点处各拼接角之和为360°”是解题的关键，属于密铺类基础常考题。
【难度系数】
0.8
(3)能单独密铺的正多边形有(
A.1种
B.2种
C.3种
D.无数种
C
)。A.1种
B.2种
C.3种
D.无数种
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确正多边形密铺的核心条件：多个相同的正多边形拼接在同一个公共顶点时，所有内角的和刚好等于360°。由于正多边形的每个内角大小相等，因此只需要计算不同正多边形的单个内角度数，判断该度数能否整除360°，就能确定它能不能单独密铺。
【解析】
我们逐个验证常见正多边形：
1. 正三角形：每个内角是60°，$360° ÷ 60° =6$，6个正三角形可以在公共顶点处无缝拼接，能密铺；
2. 正方形：每个内角是90°，$360° ÷ 90° =4$，4个正方形可以在公共顶点处无缝拼接，能密铺；
3. 正五边形：每个内角是108°，$360° ÷ 108° $的结果不是整数，无法刚好凑成360°，不能密铺；
4. 正六边形：每个内角是120°，$360° ÷ 120° =3$，3个正六边形可以在公共顶点处无缝拼接，能密铺；
边数大于6的正多边形，单个内角都会大于120°，360°除以该内角的结果小于3，最多只能放2个，2个相同内角要凑360°需要单个内角为180°，正多边形的内角不可能达到180°，因此没有更多能单独密铺的正多边形。
综上能单独密铺的正多边形一共有3种。
【答案】
C
【知识点】
图形的密铺；正多边形的特征
【点评】
本题考查密铺条件的实际应用，解题的关键是抓住密铺时公共顶点处内角和为360°的核心特点，结合正多边形内角相等的性质逐一判断即可，掌握常见图形的密铺规律能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确正多边形密铺的核心条件：多个相同的正多边形拼接在同一个公共顶点时，所有内角的和刚好等于360°。由于正多边形的每个内角大小相等，因此只需要计算不同正多边形的单个内角度数，判断该度数能否整除360°，就能确定它能不能单独密铺。
【解析】
我们逐个验证常见正多边形：
1. 正三角形：每个内角是60°，$360° ÷ 60° =6$，6个正三角形可以在公共顶点处无缝拼接，能密铺；
2. 正方形：每个内角是90°，$360° ÷ 90° =4$，4个正方形可以在公共顶点处无缝拼接，能密铺；
3. 正五边形：每个内角是108°，$360° ÷ 108° $的结果不是整数，无法刚好凑成360°，不能密铺；
4. 正六边形：每个内角是120°，$360° ÷ 120° =3$，3个正六边形可以在公共顶点处无缝拼接，能密铺；
边数大于6的正多边形，单个内角都会大于120°，360°除以该内角的结果小于3，最多只能放2个，2个相同内角要凑360°需要单个内角为180°，正多边形的内角不可能达到180°，因此没有更多能单独密铺的正多边形。
综上能单独密铺的正多边形一共有3种。
【答案】
C
【知识点】
图形的密铺；正多边形的特征
【点评】
本题考查密铺条件的实际应用，解题的关键是抓住密铺时公共顶点处内角和为360°的核心特点，结合正多边形内角相等的性质逐一判断即可，掌握常见图形的密铺规律能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
(4)下面的组合图形中,可以密铺的是(
A.正三角形+正方形
B.圆+正五边形
C.圆+正八边形
D.正五边形+正十边形
A
)。A.正三角形+正方形
B.圆+正五边形
C.圆+正八边形
D.正五边形+正十边形
答案
A
解析
【分析】
要判断哪组组合图形可以密铺，首先要明确密铺的核心条件：图形拼接时，围绕同一个拼接点的几个内角和刚好等于360°，且整个平面拼接无空隙、不重叠。首先我们知道圆是曲线图形，拼接时必然会产生空隙，所以包含圆的选项B、C可以直接排除。接下来只需要验证A、D两个选项的内角能否满足密铺要求即可：我们先回忆常用正多边形的内角度数：正三角形每个内角是60°，正方形每个内角是90°，正五边形每个内角是108°，正十边形每个内角是144°，分别代入计算能否凑出360°，同时还要判断是否能铺满整个平面。
【解析】
1. 先排除错误选项：圆是曲线图形，拼接时存在空隙，无法密铺，因此B（圆+正五边形）、C（圆+正八边形）选项排除。
2. 验证A选项：正三角形内角为60°，正方形内角为90°。假设拼接点处有x个正三角形、y个正方形，可列等式：60°x + 90°y = 360°，取正整数解x=3，y=2时，3×60°+2×90°=360°，满足拼接点内角和要求，且该组合可以扩展铺满整个平面，符合密铺条件。
3. 验证D选项：正五边形内角为108°，正十边形内角为144°，虽然2个正五边形加1个正十边形的内角和为2×108°+1×144°=360°，但该组合无法扩展到整个平面，拼接时会出现重叠或空隙，不符合密铺要求。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
密铺的条件；正多边形内角
【点评】
本题考查密铺相关知识的应用，解题时可以先排除包含圆的明显错误选项，再通过计算内角和验证剩余选项，需要注意密铺不仅要满足单个拼接点的内角和为360°，还要能无空隙、不重叠地铺满整个平面。
【难度系数】
0.7
要判断哪组组合图形可以密铺，首先要明确密铺的核心条件：图形拼接时，围绕同一个拼接点的几个内角和刚好等于360°，且整个平面拼接无空隙、不重叠。首先我们知道圆是曲线图形，拼接时必然会产生空隙，所以包含圆的选项B、C可以直接排除。接下来只需要验证A、D两个选项的内角能否满足密铺要求即可：我们先回忆常用正多边形的内角度数：正三角形每个内角是60°，正方形每个内角是90°，正五边形每个内角是108°，正十边形每个内角是144°，分别代入计算能否凑出360°，同时还要判断是否能铺满整个平面。
【解析】
1. 先排除错误选项：圆是曲线图形，拼接时存在空隙，无法密铺，因此B（圆+正五边形）、C（圆+正八边形）选项排除。
2. 验证A选项：正三角形内角为60°，正方形内角为90°。假设拼接点处有x个正三角形、y个正方形，可列等式：60°x + 90°y = 360°，取正整数解x=3，y=2时，3×60°+2×90°=360°，满足拼接点内角和要求，且该组合可以扩展铺满整个平面，符合密铺条件。
3. 验证D选项：正五边形内角为108°，正十边形内角为144°，虽然2个正五边形加1个正十边形的内角和为2×108°+1×144°=360°，但该组合无法扩展到整个平面，拼接时会出现重叠或空隙，不符合密铺要求。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
密铺的条件；正多边形内角
【点评】
本题考查密铺相关知识的应用，解题时可以先排除包含圆的明显错误选项，再通过计算内角和验证剩余选项，需要注意密铺不仅要满足单个拼接点的内角和为360°，还要能无空隙、不重叠地铺满整个平面。
【难度系数】
0.7
3. 提升题单独用正八边形是无法进行密铺的。观察下图，正八边形与哪种图形可以密铺？在图上画一画。
答案
正方形(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决正八边形和哪种图形可以密铺的问题，首先要明确密铺的特点：图形拼接时既没有空隙也不重叠，且拼接在同一个公共顶点的几个角的度数和恰好是360°。我们可以先观察两个正八边形相邻的位置，先确定正八边形每个内角的度数，再计算公共顶点处两个正八边形的角度和，看剩余的角度、空缺位置的边长符合哪种常见图形的特征，就能找到对应的密铺图形。
【解析】
1. 密铺的核心要求：公共顶点处所有角的度数和为360°，且拼接的图形相邻边长相等。
2. 计算正八边形的内角度数：正八边形的内角和为$(8-2)×180°=1080°$，所以每个内角的度数是$1080°÷8=135°$。
3. 观察两个正八边形拼合的公共顶点：两个正八边形的内角加起来是$135°×2=270°$，还剩下的角度是$360°-270°=90°$；同时空缺位置的四条边长度都和正八边形的边长相等，四个角都是90°，符合正方形的特征。
4. 因此正八边形和正方形可以密铺，将两个正八边形之间的空缺位置画上正方形即可。
【答案】
正方形(答案不唯一)
【知识点】
图形密铺、正多边形特征、正方形特征
【点评】
本题结合密铺的性质考查对常见平面图形特征的掌握，需要通过观察和简单的角度计算判断空缺图形，有助于提升空间想象能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决正八边形和哪种图形可以密铺的问题，首先要明确密铺的特点：图形拼接时既没有空隙也不重叠，且拼接在同一个公共顶点的几个角的度数和恰好是360°。我们可以先观察两个正八边形相邻的位置，先确定正八边形每个内角的度数，再计算公共顶点处两个正八边形的角度和，看剩余的角度、空缺位置的边长符合哪种常见图形的特征，就能找到对应的密铺图形。
【解析】
1. 密铺的核心要求：公共顶点处所有角的度数和为360°，且拼接的图形相邻边长相等。
2. 计算正八边形的内角度数：正八边形的内角和为$(8-2)×180°=1080°$，所以每个内角的度数是$1080°÷8=135°$。
3. 观察两个正八边形拼合的公共顶点：两个正八边形的内角加起来是$135°×2=270°$，还剩下的角度是$360°-270°=90°$；同时空缺位置的四条边长度都和正八边形的边长相等，四个角都是90°，符合正方形的特征。
4. 因此正八边形和正方形可以密铺，将两个正八边形之间的空缺位置画上正方形即可。
【答案】
正方形(答案不唯一)
【知识点】
图形密铺、正多边形特征、正方形特征
【点评】
本题结合密铺的性质考查对常见平面图形特征的掌握，需要通过观察和简单的角度计算判断空缺图形，有助于提升空间想象能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
