1.已知函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2 + x + \dfrac{1}{2}(0≤ x≤ 3)$，
当$x=$时，$y$取最大值是；当
$x=$时，$y$取最小值是.

解：
先对函数配方变形：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2}\\&=-\frac{1}{2}(x^2 - 2x) + \frac{1}{2}\\&=-\frac{1}{2}(x-1)^2 + 1\end{aligned}$
二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，且$0≤1≤3$，
因此当$x=1$时，$y$取最大值，最大值为$1$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=\frac{1}{2}$；
当$x=3$时，$y=-\frac{1}{2}×3^2 + 3 + \frac{1}{2}=-1$。
比较得$-1＜\frac{1}{2}$，因此当$x=3$时，$y$取最小值，最小值为$-1$。
答案依次为：$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{-1}$。

2.如图，抛物线$y=ax^2+bx-3(a≠0)$交$x$轴于$A(-1,0),B(3,0)$两点.$P$是$y$轴上一点，过点$P$作一条平行于$x$轴的直线，交该抛物线于$C,D$两点（点$C$在左边，点$D$在右边）.若$DP=4PC$，则点$C$的横坐标是.

$\boldsymbol{-\dfrac{2}{3}}$

解：
把$A(-1,0)$，$B(3,0)$代入$y=ax^2+bx-3$，得：
$\begin{cases}a - b - 3 = 0 \\9a + 3b - 3 = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=1 \\ b=-2\end{cases}$，
所以抛物线的解析式为$y=x^2-2x-3$，其对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$。
设点$C$的横坐标为$t$，因为$CD// x$轴，$C$、$D$在抛物线上且关于对称轴$x=1$对称，所以点$D$的横坐标为$2-t$。
因为$P$在$y$轴上，所以$P$的横坐标为$0$，结合点$C$在左、点$D$在右，且$P$在线段$CD$上，可得$PC=0-t$，$DP=(2-t)-0$。
由$DP=4PC$，得：
$2-t=4(-t)$
解得$t=-\frac{2}{3}$。
验证另一种$P$在线段$CD$外的情况：若$C$、$D$都在$y$轴右侧，可得$t=\frac{2}{5}$，结合题意图形默认$P$在$C$、$D$之间，符合题意的点$C$横坐标为$-\frac{2}{3}$。
最终

3.如图,二次函数 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$ 的图象的对称轴是直线 $x=1$,且经过点$(0,2)$.有下列结论:①$abc＞0$;②$b^2-4ac＞0$;③$a+b≥m(am+b)$($m$为常数);④$a＜-\dfrac{1}{4}$;⑤当 $x=-5$ 和 $x=7$时,函数的值相等;⑥若 $(2,y_1)$,$(\dfrac{1}{2},y_2),(-2,y_3)$在该函数图象上,则 $y_3＜y_2＜y_1$;⑦$15a+c＜0$.其中错误的是 (填序号).

$\boldsymbol{①⑥}$

解：由二次函数图象可知：开口向下，故$a＜0$，
对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=1$，得$b=-2a＞0$，
函数过点$(0,2)$，故$c=2＞0$。
1. 判断①：$a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，则$abc＜0$，故①错误；
2. 判断②：函数图象与$x$轴有两个交点，故判别式$b^2-4ac＞0$，②正确；
3. 判断③：$x=1$时二次函数取得最大值，最大值为$a+b+c$，对任意常数$m$，都有$am^2+bm+c ≤ a+b+c$，化简得$a+b≥ m(am+b)$，③正确；
4. 判断④：由图象可知左交点横坐标$-2＜x_1＜-1$，由对称性得右交点横坐标$3＜x_2＜4$，当$x=4$时，$y=16a+4b+c＜0$，代入$b=-2a$，$c=2$，得$8a+2＜0$，解得$a＜-\dfrac{1}{4}$，④正确；
5. 判断⑤：点$x=-5$和$x=7$的中点为$\dfrac{-5+7}{2}=1$，两点关于对称轴$x=1$对称，故函数值相等，⑤正确；
6. 判断⑥：三个点到对称轴$x=1$的距离分别为：$|2-1|=1$，$\left|\dfrac{1}{2}-1\right|=\dfrac{1}{2}$，$|-2-1|=3$，开口向下时离对称轴越远函数值越小，故$y_3＜y_1＜y_2$，$y_3＜y_2＜y_1$不成立，⑥错误；
7. 判断⑦：$x=-3$时，$y=9a-3b+c=15a+c$，$x=-3$关于对称轴$x=1$的对称点为$x=5$，$x=5$在右交点右侧，$y＜0$，故$15a+c＜0$，⑦正确。
综上，错误的是①⑥。

4. 提升题 如图，抛物线 $y=x^2+bx+c$ 过点$A(-1,0)$，点$B(5,0)$，交$y$轴于点$C.$
(1)填空：$b=$ ，$c=$ .
(2)$P(x_0,y_0)(0＜x_0＜5)$是抛物线上的动点.当$x_0$取何值时，$△ PBC$的面积最大？并求出$△ PBC$面积的最大值.

解：
(1) 将点$A(-1,0)$、$B(5,0)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1 - b + c = 0 \\25 + 5b + c = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}b=-4 \\c=-5\end{cases}$
故$b=\boldsymbol{-4}$，$c=\boldsymbol{-5}$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=x^2-4x-5$，
令$x=0$，得$y=-5$，即点$C$的坐标为$(0,-5)$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+m$，将$B(5,0)$、$C(0,-5)$代入得：
$\begin{cases}5k + m = 0 \\m = -5\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=1 \\m=-5\end{cases}$
因此直线$BC$的解析式为$y=x-5$。
过点$P(x_0,y_0)$作$PD⊥ x$轴，交直线$BC$于点$D$，
由$0＜x_0＜5$，得$y_0=x_0^2-4x_0-5$，点$D$的坐标为$(x_0,x_0-5)$，
则$PD=(x_0-5)-(x_0^2-4x_0-5)=-x_0^2+5x_0$。
$△ PBC$的面积可表示为：
$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}· PD· (5-0)=\frac{5}{2}(-x_0^2+5x_0)$
整理得：
$S_{△ PBC}=-\frac{5}{2}(x_0-\frac{5}{2})^2+\frac{125}{8}$
因为$-\frac{5}{2}＜0$，且$0＜x_0＜5$，
所以当$x_0=\frac{5}{2}$时，$△ PBC$的面积最大，最大值为$\frac{125}{8}$。
答：当$x_0=\frac{5}{2}$时，$△ PBC$的面积最大，最大值为$\frac{125}{8}$。