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1.在平面直角坐标系中，点A(3，-2)关于原点对称的点的坐标为。
答案
$\boldsymbol{(-3,2)}$
解析
解：平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数。
已知点A的坐标为$(3,-2)$，将其横、纵坐标分别取相反数，可得其关于原点对称的点的坐标为$(-3,2)$。
已知点A的坐标为$(3,-2)$，将其横、纵坐标分别取相反数，可得其关于原点对称的点的坐标为$(-3,2)$。
2.若点$A(a,3)$与点$B(-2,b)$关于原点对称，则$(a+b)^{2026}=$.
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
解：
∵ 点$A(a,3)$与点$B(-2,b)$关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标性质：两点的横、纵坐标均互为相反数，
∴ $a=2$，$b=-3$，
∴ $a+b=2+(-3)=-1$，
∴ $(a+b)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
最终
∵ 点$A(a,3)$与点$B(-2,b)$关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标性质：两点的横、纵坐标均互为相反数，
∴ $a=2$，$b=-3$，
∴ $a+b=2+(-3)=-1$，
∴ $(a+b)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
最终
3.在平面直角坐标系中,与点$P(-m^2 -1,1)$关于原点对称的点在第象限.
答案
四
解析
解：
∵ $m^2 \ge 0$，
∴ $m^2 +1 \ge 1 ＞ 0$，
点$P(-m^2 -1,1)$关于原点对称的点的坐标为$(m^2 +1, -1)$，
该点横坐标为正，纵坐标为负，因此该点在第四象限。
∵ $m^2 \ge 0$，
∴ $m^2 +1 \ge 1 ＞ 0$，
点$P(-m^2 -1,1)$关于原点对称的点的坐标为$(m^2 +1, -1)$，
该点横坐标为正，纵坐标为负，因此该点在第四象限。
4.已知点$P(a+1,2a-3)$关于原点的对称点在第二象限，则$a$的取值范围是
答案
解：点$P(a+1,2a-3)$关于原点的对称点的坐标为$(-a-1,-2a+3)$。
∵该对称点在第二象限，
∴列不等式组：
$\begin{cases}-a-1 ＜ 0 \\-2a+3 ＞ 0\end{cases}$
解不等式$-a-1 ＜ 0$，得$a ＞ -1$，
解不等式$-2a+3 ＞ 0$，得$a ＜ \frac{3}{2}$。
∴$a$的取值范围是$\boldsymbol{-1 ＜ a ＜ \frac{3}{2}}$。
∵该对称点在第二象限，
∴列不等式组：
$\begin{cases}-a-1 ＜ 0 \\-2a+3 ＞ 0\end{cases}$
解不等式$-a-1 ＜ 0$，得$a ＞ -1$，
解不等式$-2a+3 ＞ 0$，得$a ＜ \frac{3}{2}$。
∴$a$的取值范围是$\boldsymbol{-1 ＜ a ＜ \frac{3}{2}}$。
5. 提升题 抛物线 $y=-(x-1)^2+1$ 关于原点对称的图象的解析式为
答案
$\boldsymbol{y=(x+1)^2 - 1}$（或$y=x^2+2x$）
解析
解：
设点$P(x,y)$是所求对称图象上的任意一点，则点$P$关于原点对称的点$P'(-x,-y)$在抛物线$y=-(x-1)^2+1$上。
将$P'(-x,-y)$代入原抛物线解析式，得：
$-y = -(-x - 1)^2 + 1$
整理等式：
$-y = -(x+1)^2 + 1$
两边同乘$-1$，得：
$y=(x+1)^2 -1$
展开后也可写为$y=x^2+2x$。
最终
设点$P(x,y)$是所求对称图象上的任意一点，则点$P$关于原点对称的点$P'(-x,-y)$在抛物线$y=-(x-1)^2+1$上。
将$P'(-x,-y)$代入原抛物线解析式，得：
$-y = -(-x - 1)^2 + 1$
整理等式：
$-y = -(x+1)^2 + 1$
两边同乘$-1$，得：
$y=(x+1)^2 -1$
展开后也可写为$y=x^2+2x$。
最终
6.如图,线段CD是线段AB经过某种变换得到的图形.
(1)若A与C,B与D是对应点,第一象限内的点M的坐标为$(m,n)$,在这种变换下,点M的对应点N的坐标为(用含$m,n$的式子表示);
(2)若A与D、B与C是对应点,第一象限内的点M的坐标为$(m,n)$,在这种变换下,点M的对应点N的坐标为(用含$m,n$的式子表示);
(3)连接BD,AC,求出四边形ABDC的面积.
(1)若A与C,B与D是对应点,第一象限内的点M的坐标为$(m,n)$,在这种变换下,点M的对应点N的坐标为(用含$m,n$的式子表示);
(2)若A与D、B与C是对应点,第一象限内的点M的坐标为$(m,n)$,在这种变换下,点M的对应点N的坐标为(用含$m,n$的式子表示);
(3)连接BD,AC,求出四边形ABDC的面积.
答案
解：
(1) 由图可得对应点坐标：$A(4,3)$与$C(-1,-2)$，$B(1,2)$与$D(-4,-3)$，变换规律为横坐标减5，纵坐标减5，因此点$M(m,n)$的对应点$N$的坐标为$\boldsymbol{(m-5,n-5)}$。
(2) 对应点坐标：$A(4,3)$与$D(-4,-3)$，$B(1,2)$与$C(-1,-2)$，变换规律为横、纵坐标均取相反数，因此点$M(m,n)$的对应点$N$的坐标为$\boldsymbol{(-m,-n)}$。
(3) 由$AB// CD$，$BD// AC$可知，四边形$ABDC$是平行四边形。
直线$AB$的解析式为$y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$，整理为$x-3y+5=0$；
直线$CD$的解析式为$y=\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}$，整理为$x-3y-5=0$。
两平行线$AB$与$CD$的距离$d=\frac{|5-(-5)|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}=\sqrt{10}$，
$AB=\sqrt{(4-1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{10}$，
因此四边形$ABDC$的面积$S=AB· d=\sqrt{10}×\sqrt{10}=10$。
(1) 由图可得对应点坐标：$A(4,3)$与$C(-1,-2)$，$B(1,2)$与$D(-4,-3)$，变换规律为横坐标减5，纵坐标减5，因此点$M(m,n)$的对应点$N$的坐标为$\boldsymbol{(m-5,n-5)}$。
(2) 对应点坐标：$A(4,3)$与$D(-4,-3)$，$B(1,2)$与$C(-1,-2)$，变换规律为横、纵坐标均取相反数，因此点$M(m,n)$的对应点$N$的坐标为$\boldsymbol{(-m,-n)}$。
(3) 由$AB// CD$，$BD// AC$可知，四边形$ABDC$是平行四边形。
直线$AB$的解析式为$y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$，整理为$x-3y+5=0$；
直线$CD$的解析式为$y=\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}$，整理为$x-3y-5=0$。
两平行线$AB$与$CD$的距离$d=\frac{|5-(-5)|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}=\sqrt{10}$，
$AB=\sqrt{(4-1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{10}$，
因此四边形$ABDC$的面积$S=AB· d=\sqrt{10}×\sqrt{10}=10$。
7. 提升题▶如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,3),B(-4,4),C(-2,1)。
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁；
（2）四边形CBC₁B₁是四边形；
（3）D为平面内一点，若以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点D的坐标。
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁；
（2）四边形CBC₁B₁是四边形；
（3）D为平面内一点，若以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点D的坐标。
答案
解：
（1）根据关于原点对称的点的坐标特征，横、纵坐标均互为相反数，可得点A、B、C关于原点对称的点的坐标分别为$A_1(1,-3)$，$B_1(4,-4)$，$C_1(2,-1)$，在坐标系中描出这三个点，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
（2）平行
（3）满足条件的点$D$的坐标为$(-3,6)$、$(1,0)$、$(-5,2)$。
（1）根据关于原点对称的点的坐标特征，横、纵坐标均互为相反数，可得点A、B、C关于原点对称的点的坐标分别为$A_1(1,-3)$，$B_1(4,-4)$，$C_1(2,-1)$，在坐标系中描出这三个点，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
（2）平行
（3）满足条件的点$D$的坐标为$(-3,6)$、$(1,0)$、$(-5,2)$。
