1.下列方程中,是一元二次方程的有________(填序号).
①$x^2 + 3x - y = 2$; ②$x^2 = 3x + 2$;
③$(\frac{1}{x})^2 + \frac{1}{x} = 0$; ④$a^2 = 0$; ⑤$2x + 1 = 0$;
⑥$\frac{x^2 + 1}{3} = \frac{x}{2}$.

②④⑥

解：
一元二次方程需同时满足：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数为2这三个条件。
①含有x、y两个未知数，不满足条件，不是一元二次方程；
②满足所有条件，是一元二次方程；
③是分式方程，不属于整式方程，不是一元二次方程；
④满足所有条件，是一元二次方程；
⑤未知数的最高次数为1，属于一元一次方程，不是一元二次方程；
⑥整理得$2x^2 - 3x + 2 = 0$，满足所有条件，是一元二次方程。

2.一元二次方程$2x^2 - 3x = 2$的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。

解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 - 3x - 2 = 0$
因此二次项系数是$\boldsymbol{2}$，一次项系数是$\boldsymbol{-3}$，常数项是$\boldsymbol{-2}$。

3.《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其大意：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步.设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为.

解：
设这个矩形的宽为$x$步，则长为$(60 - x)$步。
根据矩形面积等于长乘宽，可列方程为：
$x(60 - x) = 864$

4.若$4x^2 - ax +1=0$可配方为$(2x - b)^2=0$的形式，则$b=$

$\boldsymbol{\pm1}$

解：
将$(2x - b)^2 = 0$展开，得：
$4x^2 - 4bx + b^2 = 0$
由题意，方程$4x^2 - ax + 1 = 0$与$4x^2 - 4bx + b^2 = 0$对应项系数相等，因此：
$b^2 = 1$
解得$b = 1$或$b = -1$。
最终

5. 提升题 已知关于$x$的一元二次方程为$(a+c)x^2 + 2bx + a - c = 0$，其中$a$，$b$，$c$分别为$△ ABC$三边的长。
(1)如果$x=-1$是方程的根，那么$△ ABC$是三角形；
(2)如果方程有两个相等的实数根，那么$△ ABC$是三角形；
(3)如果$△ ABC$是等边三角形，试求这个一元二次方程的根。

解：
(1) 把$x=-1$代入方程$(a+c)x^2 + 2bx + a - c = 0$，得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + a - c = 0$
化简得$2a - 2b = 0$，即$a = b$，因此$△ ABC$是等腰三角形。
(2) 因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(2b)^2 - 4(a+c)(a-c)=0$
展开整理得$4b^2 -4a^2 +4c^2=0$，即$b^2 + c^2 = a^2$，因此$△ ABC$是直角三角形。
(3) 因为$△ ABC$是等边三角形，所以$a = b = c ＞ 0$，代入原方程得：
$2a x^2 + 2a x = 0$
因为$a≠0$，方程两边同时除以$2a$，得：
$x^2 + x = 0$
因式分解得$x(x+1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$。
综上，(1) 答案为等腰；(2) 答案为直角；(3) 方程的根为$x_1=0$，$x_2=-1$。

6. 提升题 定义:如果关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a+b+c=0$,那么我们称这个方程为“黄金方程”.
(1)一元二次方程$4x^2-11x+7=0$ (填“是”或“不是”)“黄金方程”.
(2)已知$ax^2-3x+c=0$是关于x的“黄金方程”,请构造一个以2为一个根的“黄金方程”,且新的“黄金方程”与原“黄金方程”的二次项系数与常数项分别相同.
(3)已知$3x^2-mx+n=0$是关于x的“黄金方程”,若m是此方程的一个根,则m的值为多少?

解：
(1) 对于一元二次方程$4x^2-11x+7=0$，$a=4$，$b=-11$，$c=7$，
计算得$a+b+c=4-11+7=0$，满足“黄金方程”的定义，
故填：是。
(2) $\because ax^2-3x+c=0$是“黄金方程”，
$\therefore a + (-3) + c = 0$，即$a + c = 3$。
由“黄金方程”定义可知，“黄金方程”必有一个根为$x=1$，
结合题意，新的“黄金方程”的两个根为$1$和$2$，且二次项系数、常数项与原方程相同，
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积$\frac{c}{a}=1×2=2$，即$c=2a$。
将$c=2a$代入$a+c=3$，得$3a=3$，解得$a=1$，
$\therefore c=2$，
新方程的一次项系数为$-(1+2)=-3$，
$\therefore$ 所求“黄金方程”为$x^2-3x+2=0$。
(3) $\because 3x^2-mx+n=0$是“黄金方程”，
$\therefore 3 - m + n = 0$，即$n = m - 3$。
$\because m$是此方程的一个根，
$\therefore$ 将$x=m$代入方程得：$3m^2 - m· m + n = 0$，
整理得$2m^2 + n = 0$，
把$n=m-3$代入$2m^2 + n = 0$，得：
$2m^2 + m - 3 = 0$，
因式分解得$(2m+3)(m-1)=0$，
解得$m_1=1$，$m_2=-\frac{3}{2}$。
答：$m$的值为$1$或$-\frac{3}{2}$。