1. 如图，在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆半径r=。

（第1题）（第2题）（第3题）

$\boldsymbol{1}$

解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
设△ABC的内切圆与AB、BC、AC分别相切于点F、E、D，连接OD、OE，
则$OD⊥ AC$，$OE⊥ BC$，$OD=OE=r$。
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
又∵$OD=OE$，
∴矩形ODCE是正方形，
∴$CE=CD=r$。
由切线长定理可知：$AD=AF$，$BE=BF$，
∴$AD=AC-CD=3-r$，$BE=BC-CE=4-r$，
又∵$AB=AF+BF=AD+BE$，
∴$5=(3-r)+(4-r)$，
解得$r=1$。
最终

2.如图，O为$△ ABC$外接圆的圆心，I为$△ ABC$的内心，连接$BO$，$CI$.若$∠ BCI=38°$，则$∠ OBA=$.

$\boldsymbol{14°}$

解：
∵ I为△ABC的内心，
∴ CI平分∠ACB，
∴ ∠ACB = 2∠BCI = 2×38° = 76°。
∵ O为△ABC外接圆的圆心，
由圆周角定理得：∠AOB = 2∠ACB = 152°，
又∵ OA、OB都是外接圆半径，OA=OB，
∴ ∠OBA = ∠OAB = $\frac{180° - ∠AOB}{2}$ = $\frac{180° - 152°}{2}$ = 14°。

3.如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D,E,F$，连接$DE,FE$.若$∠ B=60°,∠ C=70°$，则$∠ DEF=$.

$\boldsymbol{65°}$

解：
连接OD，OF。
在$△ ABC$中，
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 60° - 70° = 50°$。
$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D,F$，
$\therefore OD⊥ AB$，$OF⊥ AC$，
$\therefore ∠ ADO = ∠ AFO = 90°$。
在四边形$ADOF$中，
$∠ DOF = 360° - ∠ A - ∠ ADO - ∠ AFO = 360° - 50° - 90° - 90° = 130°$。
由圆周角定理，$∠ DEF$是弧$DF$所对的圆周角，$∠ DOF$是弧$DF$所对的圆心角，
$\therefore ∠ DEF = \frac{1}{2}∠ DOF = \frac{1}{2} × 130° = 65°$。

4.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=12$,$AB=15$,$\odot O$是$△ ABC$的内切圆,连接$OA$,$OC$,则$△ AOC$的面积为.

$\boldsymbol{18}$

解：
在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，
由勾股定理得：$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$。
设$△ ABC$的内切圆半径为$r$，
由三角形面积与内切圆半径的关系：$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}(AB+BC+AC)· r$，
又$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}· AC· BC = \frac{1}{2}×12×9 = 54$，
代入得：$\frac{1}{2}×(15+9+12)· r = 54$，
解得$r=3$。
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，
∴点$O$到$AC$边的距离等于内切圆半径$r=3$，
∴$S_{△ AOC} = \frac{1}{2}· AC· r = \frac{1}{2}×12×3 = 18$。

5.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=18，BC=28，CA=26，则AF=.

$\boldsymbol{8}$

解：
根据切线长定理，可得：
$AF = AE$，$BF = BD$，$CD = CE$。
设$AF = x$，则$AE = x$，
$BF = AB - AF = 18 - x$，
$CE = AC - AE = 26 - x$，
因此$BD = 18 - x$，$CD = 26 - x$。
又$\because BD + CD = BC$，$BC=28$，
$\therefore (18 - x) + (26 - x) = 28$，
解得$x=8$，即$AF=8$。

6.如图，$\odot O$为$△ ABC$的内切圆，切点分别为$F,G,H$.$D,E$分别为$BC,AC$上的点，且$DE$为$\odot O$的切线.
(1)若$∠ C=40°$,则$∠ AOB=$；
(2)若$AC=8,AB=6,BC=9$,求$△ CDE$的周长.

(1) $\boldsymbol{110°}$

解：
(1)
∵ $\odot O$为$△ ABC$的内切圆，
∴ $AO$平分$∠ BAC$，$BO$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ OAB=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ ABC$，
∴ $∠ AOB=180°-(∠ OAB+∠ OBA)$
$=180°-\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)$
$=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ C)$
$=90°+\frac{1}{2}∠ C$。
∵ $∠ C=40°$，
∴ $∠ AOB=90°+20°=110°$。
(2)
根据切线长定理，得：$AF=AH$，$BF=BG$，$CG=CH$。
设$AF=AH=x$，$BF=BG=y$，$CG=CH=z$，则：
$\begin{cases}x+y=AB=6\\y+z=BC=9\\x+z=AC=8\end{cases}$
三式相加得$2(x+y+z)=23$，即$x+y+z=11.5$，
∴ $z=(x+y+z)-(x+y)=11.5-6=5.5$，即$CG=CH=5.5$。
设$DE$与$\odot O$的切点为$M$，
∵ $DE$是$\odot O$的切线，
∴ $DM=DG$，$EM=EH$，
∴ $△ CDE$的周长$=CD+CE+DE$
$=CD+CE+DM+EM$
$=CD+DG+CE+EH$
$=CG+CH$
$=5.5+5.5=11$。
答：$△ CDE$的周长为$11$。

7. 提升题 如图，$\odot O$是四边形$ABCD$的外接圆，$AC$是$\odot O$的直径，$BD$平分$∠ ABC$.
（1）若$∠ ACB = 25°$，则$∠ BDC =$；
（2）$E$是弦$BD$上一点，且$E$是$△ ABC$的内心，连接$AE$，求证：$DA = DE$.

(1) $\boldsymbol{65°}$

解：
(1) ∵ AC是⊙O的直径，
∴ ∠ABC=90°，
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD=45°，
在Rt△ABC中，∠ACB=25°，
∴ ∠BAC=90°-∠ACB=65°，
∵ ∠BDC与∠BAC都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BDC=∠BAC=65°。
(2) 证明：
∵ E是△ABC的内心，
∴ AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴ ∠BAE=∠CAE，∠ABE=∠CBE。
∵ ∠DAE=∠DAC + ∠CAE，
∠DEA是△ABE的外角，
∴ ∠DEA=∠ABE + ∠BAE。
∵ ∠DAC与∠DBC都是弧DC所对的圆周角，
∴ ∠DAC=∠DBC，
又∵ ∠DBC=∠ABE，
∴ ∠DAC=∠ABE，
∴ ∠DAC + ∠CAE = ∠ABE + ∠BAE，
即∠DAE=∠DEA，
∴ DA=DE。