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1.若两个相似三角形周长的比为$1:4$，则这两个三角形对应边的比是（
A.$1:2$
B.$1:4$
C.$1:8$
D.$1:16$
B
）A.$1:2$
B.$1:4$
C.$1:8$
D.$1:16$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的相关性质，相似三角形的周长比等于二者的相似比，而相似比的定义就是相似三角形对应边的比值。题目已经直接给出了周长的比，我们只需要结合性质对应推导即可得到对应边的比，无需复杂计算。
【解析】
根据相似三角形的性质可知：相似三角形的周长之比等于相似比，同时相似比就是相似三角形对应边的比值。
已知两个相似三角形的周长比为$1:4$，因此二者的相似比为$1:4$，即对应边的比为$1:4$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质；相似比的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，直接考查相似三角形周长比和相似比的对应关系，熟练掌握相关性质即可快速得出答案，是相似三角形性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相似三角形的相关性质，相似三角形的周长比等于二者的相似比，而相似比的定义就是相似三角形对应边的比值。题目已经直接给出了周长的比，我们只需要结合性质对应推导即可得到对应边的比，无需复杂计算。
【解析】
根据相似三角形的性质可知：相似三角形的周长之比等于相似比，同时相似比就是相似三角形对应边的比值。
已知两个相似三角形的周长比为$1:4$，因此二者的相似比为$1:4$，即对应边的比为$1:4$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质；相似比的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，直接考查相似三角形周长比和相似比的对应关系，熟练掌握相关性质即可快速得出答案，是相似三角形性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.9
2.如图,在等边$△ ABC$中,点$D,E$分别在边$AB,AC$上.如果$△ ADE ∽ △ ABC$,$AD:AB=1:4$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,那么$△ ADE$的周长为 (
A.$2\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$12\ \mathrm{cm}$
C
)A.$2\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$12\ \mathrm{cm}$
答案
2.C
解析
【分析】
首先，题目已知△ADE与△ABC相似，要求△ADE的周长，我们可以利用相似三角形的性质解题：相似三角形的周长比等于相似比。第一步先确定两个三角形的相似比，题目给出AD:AB=1:4，这就是两三角形的相似比；第二步计算等边△ABC的周长，等边三角形三边相等，已知BC的长度，即可算出大三角形的周长；第三步根据周长比等于相似比，就能求出△ADE的周长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，BC=8cm
∴△ABC的周长$=3×BC=3×8=24\ \mathrm{cm}$
∵△ADE∽△ABC，且$AD:AB=1:4$，即两三角形的相似比为$1:4$
根据相似三角形的周长比等于相似比，可得：
$\frac{C_{△ADE}}{C_{△ABC}}=\frac{1}{4}$
∴$C_{△ADE}=\frac{1}{4}×24=6\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
1. 相似三角形周长比性质
2. 等边三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题关键是熟记相似三角形的周长比等于相似比，结合等边三角形周长的计算方法即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
首先，题目已知△ADE与△ABC相似，要求△ADE的周长，我们可以利用相似三角形的性质解题：相似三角形的周长比等于相似比。第一步先确定两个三角形的相似比，题目给出AD:AB=1:4，这就是两三角形的相似比；第二步计算等边△ABC的周长，等边三角形三边相等，已知BC的长度，即可算出大三角形的周长；第三步根据周长比等于相似比，就能求出△ADE的周长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，BC=8cm
∴△ABC的周长$=3×BC=3×8=24\ \mathrm{cm}$
∵△ADE∽△ABC，且$AD:AB=1:4$，即两三角形的相似比为$1:4$
根据相似三角形的周长比等于相似比，可得：
$\frac{C_{△ADE}}{C_{△ABC}}=\frac{1}{4}$
∴$C_{△ADE}=\frac{1}{4}×24=6\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
1. 相似三角形周长比性质
2. 等边三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题关键是熟记相似三角形的周长比等于相似比，结合等边三角形周长的计算方法即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3. [2025·合肥瑶海区校级月考]两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是
18 cm
。答案
3.18 cm
解析
【分析】
拿到题目首先明确已知条件：两个相似三角形的最长对应边分别为10cm和6cm，周长和为48cm，要求较小三角形的周长。解题思路分为三步：第一步，相似三角形的最长边是对应边，可直接用最长边的比值求出两个三角形的相似比；第二步，回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的周长比等于相似比，由此得到两个三角形的周长之比；第三步，结合周长和的已知条件，设未知数列方程求解即可得到结果。
【解析】
解：
∵两个相似三角形的最长边分别为10 cm和6 cm，
∴两个三角形的相似比为$10:6=5:3$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，可得两个三角形的周长比为$5:3$。
设较大三角形的周长为$5x$ cm，较小三角形的周长为$3x$ cm，
由周长之和为48 cm列方程得：
$5x+3x=48$
解得$x=6$
∴较小三角形的周长为$3x=3×6=18$ cm。
【答案】
18 cm
【知识点】
相似三角形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的关键是准确找到相似比，再结合相似三角形周长与相似比的关系建立等量关系计算，熟练掌握相似三角形的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
拿到题目首先明确已知条件：两个相似三角形的最长对应边分别为10cm和6cm，周长和为48cm，要求较小三角形的周长。解题思路分为三步：第一步，相似三角形的最长边是对应边，可直接用最长边的比值求出两个三角形的相似比；第二步，回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的周长比等于相似比，由此得到两个三角形的周长之比；第三步，结合周长和的已知条件，设未知数列方程求解即可得到结果。
【解析】
解：
∵两个相似三角形的最长边分别为10 cm和6 cm，
∴两个三角形的相似比为$10:6=5:3$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，可得两个三角形的周长比为$5:3$。
设较大三角形的周长为$5x$ cm，较小三角形的周长为$3x$ cm，
由周长之和为48 cm列方程得：
$5x+3x=48$
解得$x=6$
∴较小三角形的周长为$3x=3×6=18$ cm。
【答案】
18 cm
【知识点】
相似三角形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的关键是准确找到相似比，再结合相似三角形周长与相似比的关系建立等量关系计算，熟练掌握相似三角形的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
4.如图,已知网格图中每个小方格的边长均为1,AB//DE,则△ABC与△CDE的周长之比为
2:1
。答案
4.2:1
解析
【分析】
解题时首先观察到AB平行于DE，结合对顶角相等的性质，可推出△ABC与△CDE相似；再根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，因此只需算出两个三角形对应边的相似比即可得到周长比。我们可以借助网格用勾股定理计算AB、DE的长度，进而得到二者的比值即相似比。
【解析】
解：
∵AB//DE，
∴∠A=∠E，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠ACB=∠ECD（对顶角相等），
∴△ABC∽△EDC（两角分别相等的两个三角形相似）。
设每个小方格的边长为1，由勾股定理可得：
AB=√(3²+4²)=5，DE=√(1.5²+2²)=2.5，
∴△ABC与△CDE的相似比为AB:DE=5:2.5=2:1。
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴△ABC与△CDE的周长之比为2:1。
【答案】
2:1
【知识点】
平行线的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题结合网格图形考查相似三角形的相关知识，解题核心是先利用平行线的性质判定三角形相似，再运用相似三角形周长比等于相似比的性质求解，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到AB平行于DE，结合对顶角相等的性质，可推出△ABC与△CDE相似；再根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，因此只需算出两个三角形对应边的相似比即可得到周长比。我们可以借助网格用勾股定理计算AB、DE的长度，进而得到二者的比值即相似比。
【解析】
解：
∵AB//DE，
∴∠A=∠E，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠ACB=∠ECD（对顶角相等），
∴△ABC∽△EDC（两角分别相等的两个三角形相似）。
设每个小方格的边长为1，由勾股定理可得：
AB=√(3²+4²)=5，DE=√(1.5²+2²)=2.5，
∴△ABC与△CDE的相似比为AB:DE=5:2.5=2:1。
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴△ABC与△CDE的周长之比为2:1。
【答案】
2:1
【知识点】
平行线的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题结合网格图形考查相似三角形的相关知识，解题核心是先利用平行线的性质判定三角形相似，再运用相似三角形周长比等于相似比的性质求解，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
5.如图，$□ ABCD$ 的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，$△ BEO$ 的周长是8，则$△ BCD$ 的周长为
16
。答案
5.16
解析
【分析】
解题时首先从平行四边形的性质入手，明确对角线互相平分可得O为BD中点，结合E是AB中点，可推出△BEO和△BCD的对应边成比例，相似比为1:2，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质，即可由已知△BEO的周长求出△BCD的周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，对角线AC、BD互相平分，即O是BD的中点，$BO=\frac{1}{2}BD$，
∵E是AB的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$，且OE是△ABC的中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}BC$，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{BO}{BD}=\frac{OE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴△BEO∽△CDB，相似比为$\frac{1}{2}$，
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴$\frac{C_{△BEO}}{C_{△BCD}}=\frac{1}{2}$，
又
∵△BEO的周长为8，
∴$C_{△BCD}=8×2=16$。
【答案】
16
【知识点】
平行四边形的性质；三角形中位线定理；相似三角形周长性质
【点评】
本题属于基础类几何题，将平行四边形性质和相似三角形的性质结合考查，解题的关键是找到两个三角形的相似比，掌握相似三角形周长比等于相似比的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先从平行四边形的性质入手，明确对角线互相平分可得O为BD中点，结合E是AB中点，可推出△BEO和△BCD的对应边成比例，相似比为1:2，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质，即可由已知△BEO的周长求出△BCD的周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，对角线AC、BD互相平分，即O是BD的中点，$BO=\frac{1}{2}BD$，
∵E是AB的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$，且OE是△ABC的中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}BC$，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{BO}{BD}=\frac{OE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴△BEO∽△CDB，相似比为$\frac{1}{2}$，
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴$\frac{C_{△BEO}}{C_{△BCD}}=\frac{1}{2}$，
又
∵△BEO的周长为8，
∴$C_{△BCD}=8×2=16$。
【答案】
16
【知识点】
平行四边形的性质；三角形中位线定理；相似三角形周长性质
【点评】
本题属于基础类几何题，将平行四边形性质和相似三角形的性质结合考查，解题的关键是找到两个三角形的相似比，掌握相似三角形周长比等于相似比的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6.已知$△ ABC ∽ △ DEF$，AG和DH分别是它们的对应边上的高.若$AG=4$，$DH=6$，则
$△ ABC$与$△ DEF$的面积比是 （
A.$2:3$
B.$4:9$
C.$3:2$
D.$9:4$
$△ ABC$与$△ DEF$的面积比是 （
B
）A.$2:3$
B.$4:9$
C.$3:2$
D.$9:4$
答案
6.B
解析
【分析】
拿到这道题，首先观察已知条件：两个三角形相似，且给出了对应边上的高。解题时首先回忆相似三角形的相关性质：第一，相似三角形对应高的比等于相似比；第二，相似三角形的面积比等于相似比的平方。因此我们可以先通过已知的对应高的长度求出两个三角形的相似比，再对相似比平方即可得到两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵△ABC ∽ △DEF，AG和DH分别是两个三角形对应边上的高
∴相似比$k = AG:DH = 4:6 = 2:3$
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴$S_{△ABC}:S_{△DEF} = k^2 = (2:3)^2 = 4:9$
故选B
【答案】
B
【知识点】
1.相似三角形对应高性质
2.相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是明确对应高的比与相似比、面积比与相似比的数量关系，熟记性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
拿到这道题，首先观察已知条件：两个三角形相似，且给出了对应边上的高。解题时首先回忆相似三角形的相关性质：第一，相似三角形对应高的比等于相似比；第二，相似三角形的面积比等于相似比的平方。因此我们可以先通过已知的对应高的长度求出两个三角形的相似比，再对相似比平方即可得到两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵△ABC ∽ △DEF，AG和DH分别是两个三角形对应边上的高
∴相似比$k = AG:DH = 4:6 = 2:3$
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴$S_{△ABC}:S_{△DEF} = k^2 = (2:3)^2 = 4:9$
故选B
【答案】
B
【知识点】
1.相似三角形对应高性质
2.相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是明确对应高的比与相似比、面积比与相似比的数量关系，熟记性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
7. 如图，在$□ ABCD$中，点E在边DC上，若$DE:EC=3:1$，连接AE交BD于点F，则$△ DEF$与$△ BAF$的面积比为（
A.$3:4$
B.$9:1$
C.$9:16$
D.$3:1$
C
）A.$3:4$
B.$9:1$
C.$9:16$
D.$3:1$
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先结合平行四边形的性质得到对边平行且相等，由此可推出△DEF与△BAF相似；再根据已知的DE:EC的比例关系求出DE与AB的比值，即两个相似三角形的相似比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求出面积比。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，DC=AB。
∵DE:EC=3:1，
∴DE:DC=3:(3+1)=3:4，
∴DE:AB=3:4。
∵DC//AB，
∴∠EDF=∠ABF，∠DEF=∠BAF，
∴△DEF∽△BAF，相似比k=DE:AB=3:4。
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$S_{△DEF}:S_{△BAF}=k^2=3^2:4^2=9:16$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形性质、相似三角形判定、相似三角形面积性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形的综合应用题，解题核心是准确找到两个相似三角形的相似比，需注意区分相似三角形的边长比和面积比的关系，避免直接将边长比当作面积比。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合平行四边形的性质得到对边平行且相等，由此可推出△DEF与△BAF相似；再根据已知的DE:EC的比例关系求出DE与AB的比值，即两个相似三角形的相似比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求出面积比。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，DC=AB。
∵DE:EC=3:1，
∴DE:DC=3:(3+1)=3:4，
∴DE:AB=3:4。
∵DC//AB，
∴∠EDF=∠ABF，∠DEF=∠BAF，
∴△DEF∽△BAF，相似比k=DE:AB=3:4。
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$S_{△DEF}:S_{△BAF}=k^2=3^2:4^2=9:16$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形性质、相似三角形判定、相似三角形面积性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形的综合应用题，解题核心是准确找到两个相似三角形的相似比，需注意区分相似三角形的边长比和面积比的关系，避免直接将边长比当作面积比。
【难度系数】
0.7
8.[与T11互为孪生题]如图,已知$DE// BC$,且$AD:DB=2:1$,$DE$将$△ ABC$分成Ⅰ,Ⅱ两部分,则$S_{Ⅰ}:S_{Ⅱ}=$
4:5
.答案
8.4:5
解析
【分析】
解题时首先由DE//BC可判定△ADE与△ABC相似，再结合已知AD:DB的比值求出两个三角形的相似比，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得到△ADE与△ABC的面积比，最后用△ABC的面积减去△ADE的面积得到第Ⅱ部分的面积，即可求出两部分的面积比值。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵AD:DB=2:1，
∴相似比$\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$。
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$。
设$S_{△ADE}=4k$（$k＞0$），则$S_{△ABC}=9k$，
∴$S_{Ⅱ}=S_{△ABC}-S_{△ADE}=9k-4k=5k$，
∴$S_{Ⅰ}:S_{Ⅱ}=4k:5k=4:5$。
【答案】
4:5
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形面积性质，比例计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是先求出相似三角形的相似比，再利用面积比与相似比的关系求解，是相似三角形章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先由DE//BC可判定△ADE与△ABC相似，再结合已知AD:DB的比值求出两个三角形的相似比，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得到△ADE与△ABC的面积比，最后用△ABC的面积减去△ADE的面积得到第Ⅱ部分的面积，即可求出两部分的面积比值。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵AD:DB=2:1，
∴相似比$\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$。
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$。
设$S_{△ADE}=4k$（$k＞0$），则$S_{△ABC}=9k$，
∴$S_{Ⅱ}=S_{△ABC}-S_{△ADE}=9k-4k=5k$，
∴$S_{Ⅰ}:S_{Ⅱ}=4k:5k=4:5$。
【答案】
4:5
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形面积性质，比例计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是先求出相似三角形的相似比，再利用面积比与相似比的关系求解，是相似三角形章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
变式训练
已知边长比求面积比→已知面积比求边长比
如第8题图，已知DE//BC，DE将△ABC分成Ⅰ，Ⅱ两部分。若S₁=SⅡ，则AD:AB=
已知边长比求面积比→已知面积比求边长比
如第8题图，已知DE//BC，DE将△ABC分成Ⅰ，Ⅱ两部分。若S₁=SⅡ，则AD:AB=
$\sqrt{2}:2$(或$1:\sqrt{2}$)
。答案
【变式训练】$\sqrt{2}:2$(或$1:\sqrt{2}$)
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，由DE//BC的条件，根据相似三角形的判定定理可证△ADE与△ABC相似；第二步，结合S₁=SⅡ的条件，推导得出△ADE与△ABC的面积比为1:2；第三步，利用相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质，反推计算得到相似比AD:AB的数值。思考时要注意区分相似比和面积比的关系，避免将平方关系记反。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
由题意可知S₁为△ADE的面积，SⅡ为梯形DECB的面积，
∵S₁=SⅡ，
∴$S_{△ ABC} = S_1 + S_Ⅱ = 2S_1 = 2S_{△ ADE}$，
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{2}$。
根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得：
$(\frac{AD}{AB})^2=\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$AD:AB=\sqrt{2}:2$（或化简为$1:\sqrt{2}$）。
【答案】
$\sqrt{2}:2$(或$1:\sqrt{2}$)
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形面积性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，核心考查由面积比反推相似比的计算，解题时需先明确两个相似三角形的面积占比关系，再代入相似三角形面积与相似比的对应公式计算，注意不要混淆相似比和面积比的平方对应关系。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，由DE//BC的条件，根据相似三角形的判定定理可证△ADE与△ABC相似；第二步，结合S₁=SⅡ的条件，推导得出△ADE与△ABC的面积比为1:2；第三步，利用相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质，反推计算得到相似比AD:AB的数值。思考时要注意区分相似比和面积比的关系，避免将平方关系记反。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
由题意可知S₁为△ADE的面积，SⅡ为梯形DECB的面积，
∵S₁=SⅡ，
∴$S_{△ ABC} = S_1 + S_Ⅱ = 2S_1 = 2S_{△ ADE}$，
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{2}$。
根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得：
$(\frac{AD}{AB})^2=\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$AD:AB=\sqrt{2}:2$（或化简为$1:\sqrt{2}$）。
【答案】
$\sqrt{2}:2$(或$1:\sqrt{2}$)
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形面积性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，核心考查由面积比反推相似比的计算，解题时需先明确两个相似三角形的面积占比关系，再代入相似三角形面积与相似比的对应公式计算，注意不要混淆相似比和面积比的平方对应关系。
【难度系数】
0.7
9.如图，在$□ ABCD$中，$E$，$F$为边$CD$的两个三等分点，连接$AF$，$BE$交于点$G$。
(1)求$△ GEF$与$△ GBA$的周长比；
(2)若$S_{△ GEF}=6\ \mathrm{cm}^2$，求$S_{△ GBA}$。
(1)求$△ GEF$与$△ GBA$的周长比；
(2)若$S_{△ GEF}=6\ \mathrm{cm}^2$，求$S_{△ GBA}$。
答案
9.(1)$1:3$ (2)$54\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题时首先结合平行四边形的性质推导三角形相似：①平行四边形对边平行且相等，可得CD//AB、CD=AB，由此可证△GEF和△GBA的对应角相等，判定两三角形相似；②E、F是CD的三等分点，可推出EF与AB的长度比，即两三角形的相似比；③最后利用相似三角形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，分别求解两问即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD//AB，
∴∠GEF=∠GBA，∠GFE=∠GAB，
∴△GEF∽△GBA。
∵E，F为边CD的两个三等分点，
∴EF = $\frac{1}{3}$CD，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{\frac{1}{3}CD}{CD}=\frac{1}{3}$，即△GEF与△GBA的相似比为1:3。
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴△GEF与△GBA的周长比为1:3。
(2)
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ GEF}}{S_{△ GBA}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
已知$S_{△ GEF}=6\ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$S_{△ GBA}=9× S_{△ GEF}=9×6=54\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $1:3$；(2) $54\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题的核心是结合平行四边形的性质求出两个三角形的相似比，需熟练掌握相似三角形周长比、面积比与相似比的对应关系，这类题型是几何部分的常见考点。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合平行四边形的性质推导三角形相似：①平行四边形对边平行且相等，可得CD//AB、CD=AB，由此可证△GEF和△GBA的对应角相等，判定两三角形相似；②E、F是CD的三等分点，可推出EF与AB的长度比，即两三角形的相似比；③最后利用相似三角形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，分别求解两问即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD//AB，
∴∠GEF=∠GBA，∠GFE=∠GAB，
∴△GEF∽△GBA。
∵E，F为边CD的两个三等分点，
∴EF = $\frac{1}{3}$CD，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{\frac{1}{3}CD}{CD}=\frac{1}{3}$，即△GEF与△GBA的相似比为1:3。
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴△GEF与△GBA的周长比为1:3。
(2)
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ GEF}}{S_{△ GBA}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
已知$S_{△ GEF}=6\ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$S_{△ GBA}=9× S_{△ GEF}=9×6=54\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $1:3$；(2) $54\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题的核心是结合平行四边形的性质求出两个三角形的相似比，需熟练掌握相似三角形周长比、面积比与相似比的对应关系，这类题型是几何部分的常见考点。
【难度系数】
0.7
