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7.[教材P104练习第2题改编]如图,小明为了测量学校操场上小树的高CD,他站在教室里的A点处,从教室的窗口望出去,恰好能看见小树的整个树冠HD.经测量,窗口高EF=1.2 m,树干高CH=0.9 m,A点距墙根G 1.5 m,C点距墙根G 4.5 m,且A,G,C三点在同一条水平线上.根据上面的信息,可计算出小树的高CD为
5.7
m.答案
7.5.7
解析
【分析】本题是相似三角形在实际测高问题中的应用，首先观察图形可知所有竖直线段均垂直于水平线AC，因此FG和DC平行，可推出△BEF与△BHD相似；接下来根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，先利用水平距离的比值得到相似比，计算出树冠HD的高度，最后加上树干CH的高度即可得到小树的总高度CD。
【解析】
解：由题意得$BA⊥ AC$，$FG⊥ AC$，$DC⊥ AC$，
$\therefore FG// DC$，
$\therefore ∠ BEF=∠ BHD$，$∠ BFE=∠ BDH$，
$\therefore △ BEF ∽ △ BHD$，
两个三角形对应的水平高分别为$AG=1.5\ \mathrm{m}$，$AC=AG+GC=1.5+4.5=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore \frac{EF}{HD}=\frac{AG}{AC}$，
将$EF=1.2\ \mathrm{m}$代入得：$\frac{1.2}{HD}=\frac{1.5}{6}$，
解得$HD=\frac{1.2×6}{1.5}=4.8\ \mathrm{m}$，
$\because CD=CH+HD$，$CH=0.9\ \mathrm{m}$，
$\therefore CD=0.9+4.8=5.7\ \mathrm{m}$。
【答案】
5.7
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题属于相似三角形应用的基础题型，解题核心是通过竖直直线平行得到相似三角形，找准相似比与对应水平距离的关系，代入数值计算即可。
【难度系数】
0.7
【解析】
解：由题意得$BA⊥ AC$，$FG⊥ AC$，$DC⊥ AC$，
$\therefore FG// DC$，
$\therefore ∠ BEF=∠ BHD$，$∠ BFE=∠ BDH$，
$\therefore △ BEF ∽ △ BHD$，
两个三角形对应的水平高分别为$AG=1.5\ \mathrm{m}$，$AC=AG+GC=1.5+4.5=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore \frac{EF}{HD}=\frac{AG}{AC}$，
将$EF=1.2\ \mathrm{m}$代入得：$\frac{1.2}{HD}=\frac{1.5}{6}$，
解得$HD=\frac{1.2×6}{1.5}=4.8\ \mathrm{m}$，
$\because CD=CH+HD$，$CH=0.9\ \mathrm{m}$，
$\therefore CD=0.9+4.8=5.7\ \mathrm{m}$。
【答案】
5.7
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题属于相似三角形应用的基础题型，解题核心是通过竖直直线平行得到相似三角形，找准相似比与对应水平距离的关系，代入数值计算即可。
【难度系数】
0.7
8. 图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图2所示，此时液面宽AB=（
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
C
）A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
答案
8.C
解析
【分析】
首先观察到高脚杯的液体截面为两个相似的三角形，两个三角形的公共顶点为高脚杯的杯尖位置。解题时先分别算出两个三角形的对应高，得到相似比，再利用相似三角形对应边成比例的性质，即可求出液面AB的宽度。
【解析】
解：由题意可知，前后两次液面形成的三角形为相似三角形。
先计算两次液面到杯尖的高度：
图1中液面到杯尖的高度：$ h_1 = 15 - 7 = 8\ \mathrm{cm} $
图2中液面AB到杯尖的高度：$ h_2 = 11 - 7 = 4\ \mathrm{cm} $
设AB的长度为$ x\ \mathrm{cm} $，根据相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$ \frac{x}{6} = \frac{h_2}{h_1} = \frac{4}{8} $
解得：$ x = 3 $
即$ AB = 3\ \mathrm{cm} $
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例计算
【点评】
本题结合生活中的高脚杯场景考查相似三角形的实际应用，解题核心是找准相似三角形的对应高，得到相似比后代入比例式计算即可，属于对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.7
首先观察到高脚杯的液体截面为两个相似的三角形，两个三角形的公共顶点为高脚杯的杯尖位置。解题时先分别算出两个三角形的对应高，得到相似比，再利用相似三角形对应边成比例的性质，即可求出液面AB的宽度。
【解析】
解：由题意可知，前后两次液面形成的三角形为相似三角形。
先计算两次液面到杯尖的高度：
图1中液面到杯尖的高度：$ h_1 = 15 - 7 = 8\ \mathrm{cm} $
图2中液面AB到杯尖的高度：$ h_2 = 11 - 7 = 4\ \mathrm{cm} $
设AB的长度为$ x\ \mathrm{cm} $，根据相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$ \frac{x}{6} = \frac{h_2}{h_1} = \frac{4}{8} $
解得：$ x = 3 $
即$ AB = 3\ \mathrm{cm} $
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例计算
【点评】
本题结合生活中的高脚杯场景考查相似三角形的实际应用，解题核心是找准相似三角形的对应高，得到相似比后代入比例式计算即可，属于对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.7
9.如图,在△ABC中,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,且DE//BC,CF,EG分别是△ABC,△ADE的中线.若AD:DB=4:3,EG=4,则CF的长为
7
.答案
9.7
解析
【分析】
解题时首先由DE//BC可判定△ADE∽△ABC，接下来根据已知AD:DB的比例求出两个三角形的相似比AD:AB；再结合CF、EG分别是两个相似三角形的中线，利用相似三角形对应中线的比等于相似比的性质，列比例式即可求出CF的长度。
【解析】
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC。
∵AD:DB=4:3，
∴相似比$k=\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{4}{4+3}=\frac{4}{7}$。
∵CF是△ABC的中线，EG是△ADE的中线，相似三角形对应中线的比等于相似比，
∴$\frac{EG}{CF}=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{7}$。
将EG=4代入得：$\frac{4}{CF}=\frac{4}{7}$，
解得CF=7。
【答案】
7
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是准确找到相似三角形的相似比，再结合对应线段与相似比的关系列式求解，熟练掌握相似三角形的判定方法和对应线段的性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先由DE//BC可判定△ADE∽△ABC，接下来根据已知AD:DB的比例求出两个三角形的相似比AD:AB；再结合CF、EG分别是两个相似三角形的中线，利用相似三角形对应中线的比等于相似比的性质，列比例式即可求出CF的长度。
【解析】
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC。
∵AD:DB=4:3，
∴相似比$k=\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{4}{4+3}=\frac{4}{7}$。
∵CF是△ABC的中线，EG是△ADE的中线，相似三角形对应中线的比等于相似比，
∴$\frac{EG}{CF}=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{7}$。
将EG=4代入得：$\frac{4}{CF}=\frac{4}{7}$，
解得CF=7。
【答案】
7
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是准确找到相似三角形的相似比，再结合对应线段与相似比的关系列式求解，熟练掌握相似三角形的判定方法和对应线段的性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
10. [与T4互为孪生题]如图,在$△ ABC$中,点D,E分别在边AB,AC上,AF平分$∠ BAC$,交DE于点G.若$AE=3$,$EC=1$,$AD=2$,$BD=4$,则$\frac{AF}{AG}=$
2
.答案
10.2
解析
【分析】
解题时首先计算△ABC的边AB、AC的长度，再验证△ADE与△ACB的对应边比例关系，结合公共角可证明两个三角形相似；再根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比，即可求出$\frac{AF}{AG}$的比值。
【解析】
解：由题意得：
$AB = AD + BD = 2 + 4 = 6$，$AC = AE + EC = 3 + 1 = 4$
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，$\frac{AE}{AB} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$
又
∵ $∠ DAE = ∠ CAB$（公共角相等）
∴ $△ ADE ∽ △ ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∵AF平分$∠ BAC$，是$△ ACB$的角平分线；AG平分$∠ BAC$，是$△ ADE$的角平分线
根据相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比
∴ $\frac{AG}{AF} = \frac{AD}{AC} = \frac{1}{2}$
∴ $\frac{AF}{AG} = 2$
【答案】
2
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的核心是先通过边长比例和公共角证明三角形相似，再利用相似三角形对应线段的比例关系求解，熟练掌握相似三角形的判定和性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先计算△ABC的边AB、AC的长度，再验证△ADE与△ACB的对应边比例关系，结合公共角可证明两个三角形相似；再根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比，即可求出$\frac{AF}{AG}$的比值。
【解析】
解：由题意得：
$AB = AD + BD = 2 + 4 = 6$，$AC = AE + EC = 3 + 1 = 4$
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，$\frac{AE}{AB} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$
又
∵ $∠ DAE = ∠ CAB$（公共角相等）
∴ $△ ADE ∽ △ ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∵AF平分$∠ BAC$，是$△ ACB$的角平分线；AG平分$∠ BAC$，是$△ ADE$的角平分线
根据相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比
∴ $\frac{AG}{AF} = \frac{AD}{AC} = \frac{1}{2}$
∴ $\frac{AF}{AG} = 2$
【答案】
2
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的核心是先通过边长比例和公共角证明三角形相似，再利用相似三角形对应线段的比例关系求解，熟练掌握相似三角形的判定和性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
11. [教材P103例1改编]如图,有一块三角形余料ABC,要把它加工成正方形零件PQMN,使正方形的一边QM在BC上,其余两个顶点P,N分别在边AB,AC上,AD交PN于点E.已知边BC=120 mm,高AD=80 mm,则加工成的正方形零件的边长为多少?
答案
11.48 mm
解析
【分析】
本题可通过相似三角形的性质求解：首先由正方形的对边平行可得PN//BC，进而判定△APN与△ABC相似；再利用相似三角形对应高的比等于相似比的性质，设正方形边长为未知数，结合已知的BC长度和高AD的长度建立方程，解方程即可得到正方形的边长。
【解析】
设加工成的正方形零件的边长为$x$ mm。
∵四边形PQMN是正方形，
∴$PN// BC$，$PN=x$，$ED=PQ=x$，
∴$∠ APN=∠ B$，$∠ ANP=∠ C$，
∴$△ APN ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵AD是$△ ABC$的BC边上的高，AE是$△ APN$的PN边上的高，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$
其中$AE=AD-ED=80-x$，将$BC=120$，$AD=80$，$PN=x$代入得：
$\frac{x}{120}=\frac{80-x}{80}$
交叉相乘得：$80x=120×(80-x)$
整理得：$80x=9600-120x$
$200x=9600$
解得$x=48$
【答案】
48 mm
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，列方程解应用题
【点评】
本题是相似三角形解决实际问题的基础题型，解题核心是利用平行线构造相似三角形，结合相似三角形的性质找到等量关系建立方程，既考查了相似三角形的相关知识，也考查了方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
本题可通过相似三角形的性质求解：首先由正方形的对边平行可得PN//BC，进而判定△APN与△ABC相似；再利用相似三角形对应高的比等于相似比的性质，设正方形边长为未知数，结合已知的BC长度和高AD的长度建立方程，解方程即可得到正方形的边长。
【解析】
设加工成的正方形零件的边长为$x$ mm。
∵四边形PQMN是正方形，
∴$PN// BC$，$PN=x$，$ED=PQ=x$，
∴$∠ APN=∠ B$，$∠ ANP=∠ C$，
∴$△ APN ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵AD是$△ ABC$的BC边上的高，AE是$△ APN$的PN边上的高，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$
其中$AE=AD-ED=80-x$，将$BC=120$，$AD=80$，$PN=x$代入得：
$\frac{x}{120}=\frac{80-x}{80}$
交叉相乘得：$80x=120×(80-x)$
整理得：$80x=9600-120x$
$200x=9600$
解得$x=48$
【答案】
48 mm
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，列方程解应用题
【点评】
本题是相似三角形解决实际问题的基础题型，解题核心是利用平行线构造相似三角形，结合相似三角形的性质找到等量关系建立方程，既考查了相似三角形的相关知识，也考查了方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
12.[一题多解题]某校为九年级学生设计的学生板凳的正面截图如图所示，其中$BA=CD$，$BC=20\ \mathrm{cm}$，$BC$，$EF$平行于地面$AD$且到地面$AD$的距离分别为$40\ \mathrm{cm}$，$8\ \mathrm{cm}$，为使板凳两腿点$A$，$D$之间的距离为$50\ \mathrm{cm}$，横梁$EF$应为多长？（材质及其厚度等忽略不计）
答案
12.解法1:如题图,过点C作CM//AB交EF于点N,交AD于点M.
∵BC//EF//AD,
∴BC=EN=AM=20 cm.
∵FN//DM,
∴△CFN∽△CDM.
根据相似三角形的性质定理1,可得$\frac{FN}{DM}=\frac{40-8}{40}$,即
$\frac{FN}{50-20}=\frac{40-8}{40}$,解得$FN=24$,
∴$EF=EN+FN=20+24=44(\mathrm{cm})$.
答:横梁EF应为44 cm.
解法2:如题图,过点B作BH⊥AD于点H,交EF于点M,过点C作CG⊥AD于点G,交EF于点N.
由题意,得$MH=8\ \mathrm{cm},BH=40\ \mathrm{cm}$,则$BM=32\ \mathrm{cm}$.
∵四边形ABCD是等腰梯形,$AD=50\ \mathrm{cm},BC=20\ \mathrm{cm}$,
∴$AH=\frac{1}{2}(AD-BC)=15\ \mathrm{cm}$.
∵EF//AD,
∴△BEM∽△BAH,
∴$\frac{EM}{AH}=\frac{BM}{BH}$,即$\frac{EM}{15}=\frac{32}{40}$,解得$EM=12$,
∴$EF=EM+NF+MN=2EM+BC=44(\mathrm{cm})$.
答:横梁EF应为44 cm.
∵BC//EF//AD,
∴BC=EN=AM=20 cm.
∵FN//DM,
∴△CFN∽△CDM.
根据相似三角形的性质定理1,可得$\frac{FN}{DM}=\frac{40-8}{40}$,即
$\frac{FN}{50-20}=\frac{40-8}{40}$,解得$FN=24$,
∴$EF=EN+FN=20+24=44(\mathrm{cm})$.
答:横梁EF应为44 cm.
解法2:如题图,过点B作BH⊥AD于点H,交EF于点M,过点C作CG⊥AD于点G,交EF于点N.
由题意,得$MH=8\ \mathrm{cm},BH=40\ \mathrm{cm}$,则$BM=32\ \mathrm{cm}$.
∵四边形ABCD是等腰梯形,$AD=50\ \mathrm{cm},BC=20\ \mathrm{cm}$,
∴$AH=\frac{1}{2}(AD-BC)=15\ \mathrm{cm}$.
∵EF//AD,
∴△BEM∽△BAH,
∴$\frac{EM}{AH}=\frac{BM}{BH}$,即$\frac{EM}{15}=\frac{32}{40}$,解得$EM=12$,
∴$EF=EM+NF+MN=2EM+BC=44(\mathrm{cm})$.
答:横梁EF应为44 cm.
解析
【分析】
本题是等腰梯形背景下的实际应用问题，核心是利用相似三角形的性质求解平行线段长度。解题时首先观察图形特征：BC//EF//AD，且已知各平行线间的高度、BC和AD的长度，要求EF的长度，可通过作辅助线构造相似三角形：①平移腰，将梯形转化为平行四边形和三角形，利用平行于三角形一边的直线截两边所得的三角形与原三角形相似，结合对应高的比等于相似比求解；②作梯形的高，利用等腰梯形的对称性得到左右两侧直角三角形全等，再通过相似三角形对应边的比等于对应高的比求解。
【解析】
解法1：如题图，过点C作CM//AB交EF于点N，交AD于点M。
∵BC//EF//AD，
∴四边形ABCM、四边形AENM都是平行四边形，
∴BC=EN=AM=20 cm，
∴MD=AD-AM=50-20=30 cm。
∵FN//DM，
∴△CFN∽△CDM。
根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得$\frac{FN}{DM}=\frac{40-8}{40}$，
即$\frac{FN}{30}=\frac{32}{40}$，解得$FN=24$，
∴$EF=EN+FN=20+24=44(\mathrm{cm})$。
解法2：如题图，过点B作BH⊥AD于点H，交EF于点M，过点C作CG⊥AD于点G，交EF于点N。
由题意，得$MH=8\ \mathrm{cm},BH=40\ \mathrm{cm}$，则$BM=BH-MH=32\ \mathrm{cm}$。
∵BA=CD，BC//AD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴$AH=\frac{1}{2}(AD-BC)=\frac{1}{2}×(50-20)=15\ \mathrm{cm}$。
∵EF//AD，
∴△BEM∽△BAH，
∴$\frac{EM}{AH}=\frac{BM}{BH}$，即$\frac{EM}{15}=\frac{32}{40}$，解得$EM=12$，
同理可得NF=12 cm，又MN=BC=20 cm，
∴$EF=EM+NF+MN=12+12+20=44(\mathrm{cm})$。
答：横梁EF应为44 cm。
【答案】
44 cm
【知识点】
相似三角形的性质；等腰梯形的性质；平行线的性质
【点评】
本题考查相似三角形在实际生活中的应用，解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，结合已知的高度信息确定相似比，两种解题思路均体现了转化的数学思想，能帮助学生灵活掌握相似三角形性质的应用方法。
【难度系数】
0.7
本题是等腰梯形背景下的实际应用问题，核心是利用相似三角形的性质求解平行线段长度。解题时首先观察图形特征：BC//EF//AD，且已知各平行线间的高度、BC和AD的长度，要求EF的长度，可通过作辅助线构造相似三角形：①平移腰，将梯形转化为平行四边形和三角形，利用平行于三角形一边的直线截两边所得的三角形与原三角形相似，结合对应高的比等于相似比求解；②作梯形的高，利用等腰梯形的对称性得到左右两侧直角三角形全等，再通过相似三角形对应边的比等于对应高的比求解。
【解析】
解法1：如题图，过点C作CM//AB交EF于点N，交AD于点M。
∵BC//EF//AD，
∴四边形ABCM、四边形AENM都是平行四边形，
∴BC=EN=AM=20 cm，
∴MD=AD-AM=50-20=30 cm。
∵FN//DM，
∴△CFN∽△CDM。
根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得$\frac{FN}{DM}=\frac{40-8}{40}$，
即$\frac{FN}{30}=\frac{32}{40}$，解得$FN=24$，
∴$EF=EN+FN=20+24=44(\mathrm{cm})$。
解法2：如题图，过点B作BH⊥AD于点H，交EF于点M，过点C作CG⊥AD于点G，交EF于点N。
由题意，得$MH=8\ \mathrm{cm},BH=40\ \mathrm{cm}$，则$BM=BH-MH=32\ \mathrm{cm}$。
∵BA=CD，BC//AD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴$AH=\frac{1}{2}(AD-BC)=\frac{1}{2}×(50-20)=15\ \mathrm{cm}$。
∵EF//AD，
∴△BEM∽△BAH，
∴$\frac{EM}{AH}=\frac{BM}{BH}$，即$\frac{EM}{15}=\frac{32}{40}$，解得$EM=12$，
同理可得NF=12 cm，又MN=BC=20 cm，
∴$EF=EM+NF+MN=12+12+20=44(\mathrm{cm})$。
答：横梁EF应为44 cm。
【答案】
44 cm
【知识点】
相似三角形的性质；等腰梯形的性质；平行线的性质
【点评】
本题考查相似三角形在实际生活中的应用，解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，结合已知的高度信息确定相似比，两种解题思路均体现了转化的数学思想，能帮助学生灵活掌握相似三角形性质的应用方法。
【难度系数】
0.7
