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2. 以O为中心点的量角器与直角三角尺ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在的直线DE上，且量角器与三角尺只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是 (
A.55°
B.45°
C.35°
D.25°
第2题图 第3题图
C
)A.55°
B.45°
C.35°
D.25°
第2题图 第3题图
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先从题干“量角器与三角尺只有一个公共点P”的条件入手，可判断AB是量角器所在半圆的切线，结合切线性质得到OP⊥AB；再根据直角三角尺的特征得到BC⊥AB，由此推出OP与BC平行；最后利用平行线的性质，结合量角器的读数即可求出∠CBD的度数。
【解析】
∵ 量角器与三角尺ABC只有唯一公共点P，
∴ AB是量角器所在半圆的切线，P为切点，根据切线的性质可得：OP⊥AB。
又
∵ 三角尺ABC为直角三角尺，直角顶点为B，
∴ ∠ABC=90°，即BC⊥AB。
∵ OP⊥AB，BC⊥AB，
∴ OP//BC（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠CBD=∠POB。
∵ 点P的读数为35°，即∠POB=35°，
∴ ∠CBD=35°。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；平行线的判定与性质；量角器的读数
【点评】
本题结合量角器、三角尺的实际场景考查基础几何知识，解题的关键是将实物的特征转化为几何条件，一步步推导角度关系，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
解题时先从题干“量角器与三角尺只有一个公共点P”的条件入手，可判断AB是量角器所在半圆的切线，结合切线性质得到OP⊥AB；再根据直角三角尺的特征得到BC⊥AB，由此推出OP与BC平行；最后利用平行线的性质，结合量角器的读数即可求出∠CBD的度数。
【解析】
∵ 量角器与三角尺ABC只有唯一公共点P，
∴ AB是量角器所在半圆的切线，P为切点，根据切线的性质可得：OP⊥AB。
又
∵ 三角尺ABC为直角三角尺，直角顶点为B，
∴ ∠ABC=90°，即BC⊥AB。
∵ OP⊥AB，BC⊥AB，
∴ OP//BC（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠CBD=∠POB。
∵ 点P的读数为35°，即∠POB=35°，
∴ ∠CBD=35°。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；平行线的判定与性质；量角器的读数
【点评】
本题结合量角器、三角尺的实际场景考查基础几何知识，解题的关键是将实物的特征转化为几何条件，一步步推导角度关系，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
3.如图,正六边形ABCDEF内接于$\odot O$,若直线PA与$\odot O$相切于点A,则$∠ PAB$的度数为（
A.$30°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$60°$
A
）A.$30°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
3.A
解析
【分析】
要计算∠PAB的度数，可按以下思路推导：首先连接OA、OB，利用正六边形内接于圆的性质，先求出中心角∠AOB的度数，判断△OAB的形状得到∠OAB的度数；再结合切线的性质得到OA与PA垂直，即∠OAP=90°，最后用∠OAP减去∠OAB即可求出所求角的度数。
【解析】
连接OA、OB。
1. 求∠OAB的度数：
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的中心角和为360°且每个中心角相等，
∴∠AOB = 360°÷6 = 60°，
又
∵OA、OB都是⊙O的半径，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB = 60°。
2. 利用切线性质求∠OAP：
∵直线PA与⊙O相切于点A，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴OA⊥PA，即∠OAP = 90°。
3. 计算∠PAB：
∠PAB = ∠OAP - ∠OAB = 90° - 60° = 30°。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
正多边形和圆，切线的性质，等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，将正多边形的性质和圆的切线性质结合考查，解题的关键是正确作出辅助线，找到已知角度和所求角度的关系，是圆章节的常见考题。
【难度系数】
0.8
要计算∠PAB的度数，可按以下思路推导：首先连接OA、OB，利用正六边形内接于圆的性质，先求出中心角∠AOB的度数，判断△OAB的形状得到∠OAB的度数；再结合切线的性质得到OA与PA垂直，即∠OAP=90°，最后用∠OAP减去∠OAB即可求出所求角的度数。
【解析】
连接OA、OB。
1. 求∠OAB的度数：
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的中心角和为360°且每个中心角相等，
∴∠AOB = 360°÷6 = 60°，
又
∵OA、OB都是⊙O的半径，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB = 60°。
2. 利用切线性质求∠OAP：
∵直线PA与⊙O相切于点A，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴OA⊥PA，即∠OAP = 90°。
3. 计算∠PAB：
∠PAB = ∠OAP - ∠OAB = 90° - 60° = 30°。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
正多边形和圆，切线的性质，等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，将正多边形的性质和圆的切线性质结合考查，解题的关键是正确作出辅助线，找到已知角度和所求角度的关系，是圆章节的常见考题。
【难度系数】
0.8
4. 边长相等的正五边形和正六边形如图所示拼接在一起,则∠ABC的度数为 (
A.$22°$
B.$23°$
C.$24°$
D.$25°$
C
)A.$22°$
B.$23°$
C.$24°$
D.$25°$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先回忆正多边形内角的计算方法，先分别算出正五边形和正六边形的每个内角度数；再根据公共顶点A处的三个角之和为周角360°，算出△ABC的顶角∠BAC的度数；最后结合正五边形和正六边形边长相等，可得AB=AC，△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形底角相等的性质就能求出∠ABC的度数。
【解析】
第一步：计算正多边形的内角度数
正n边形的内角和公式为$(n-2)×180°$，因此：
正六边形的每个内角度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，
正五边形的每个内角度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$。
第二步：计算∠BAC的度数
在公共顶点A处，两个正多边形的内角与∠BAC之和为周角$360°$，因此：
$∠ BAC=360°-120°-108°=132°$。
第三步：计算∠ABC的度数
因为正五边形和正六边形边长相等，所以$AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形，两个底角相等。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ABC=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-132°}{2}=24°$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算，等腰三角形的性质，周角的性质
【点评】
本题是多边形与三角形性质结合的基础题，解题的核心是先利用正多边形内角公式求出公共顶点处的夹角，再结合等腰三角形的性质计算角度，难度不大，需要熟练掌握正多边形内角的计算方法。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正多边形内角的计算方法，先分别算出正五边形和正六边形的每个内角度数；再根据公共顶点A处的三个角之和为周角360°，算出△ABC的顶角∠BAC的度数；最后结合正五边形和正六边形边长相等，可得AB=AC，△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形底角相等的性质就能求出∠ABC的度数。
【解析】
第一步：计算正多边形的内角度数
正n边形的内角和公式为$(n-2)×180°$，因此：
正六边形的每个内角度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，
正五边形的每个内角度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$。
第二步：计算∠BAC的度数
在公共顶点A处，两个正多边形的内角与∠BAC之和为周角$360°$，因此：
$∠ BAC=360°-120°-108°=132°$。
第三步：计算∠ABC的度数
因为正五边形和正六边形边长相等，所以$AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形，两个底角相等。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ABC=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-132°}{2}=24°$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算，等腰三角形的性质，周角的性质
【点评】
本题是多边形与三角形性质结合的基础题，解题的核心是先利用正多边形内角公式求出公共顶点处的夹角，再结合等腰三角形的性质计算角度，难度不大，需要熟练掌握正多边形内角的计算方法。
【难度系数】
0.7
5. 如图，AC 是平行四边形 ABCD 的对角线，O是BC的垂直平分线与AC的交点，以点O为圆心，OC长为半径作$\odot O$，若AB是$\odot O$的切线，则$∠ BAD+∠ ACB$的度数为
90°
。答案
5. 90°
解析
【分析】
解题时先从已知条件逐步推导：①首先连接辅助线OB，利用垂直平分线的性质可得OB=OC，进而推出∠OBC=∠ACB；②根据切线的性质，AB是⊙O的切线可得OB⊥AB，得到Rt△ABO中两锐角互余，即∠BAC + ∠AOB=90°；③结合三角形外角性质，可知∠AOB=2∠ACB，代入得到∠BAC + 2∠ACB=90°；④再利用平行四边形对边平行的性质，得∠CAD=∠ACB，将∠BAD拆分为∠BAC+∠CAD，代入所求的∠BAD+∠ACB中，即可和前面的式子对应得到结果。
【解析】
解：连接OB。
1.
∵O在BC的垂直平分线上，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB。
2.
∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，即∠ABO=90°，在Rt△ABO中，∠BAC + ∠AOB=90°。
3.
∵∠AOB是△OBC的外角，
∴∠AOB=∠OBC + ∠ACB=2∠ACB，代入上式得：∠BAC + 2∠ACB=90°。
4.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠CAD=∠ACB（两直线平行，内错角相等）。
5.
∵∠BAD=∠BAC + ∠CAD=∠BAC + ∠ACB，
∴∠BAD + ∠ACB=∠BAC + ∠ACB + ∠ACB=∠BAC + 2∠ACB=90°。
【答案】
90°
【知识点】
切线的性质；平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是合理添加辅助线OB，将圆的性质、平行四边形性质和等腰三角形性质结合起来，通过角的等量转化推导结论，需熟练掌握常见几何图形的基本性质。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件逐步推导：①首先连接辅助线OB，利用垂直平分线的性质可得OB=OC，进而推出∠OBC=∠ACB；②根据切线的性质，AB是⊙O的切线可得OB⊥AB，得到Rt△ABO中两锐角互余，即∠BAC + ∠AOB=90°；③结合三角形外角性质，可知∠AOB=2∠ACB，代入得到∠BAC + 2∠ACB=90°；④再利用平行四边形对边平行的性质，得∠CAD=∠ACB，将∠BAD拆分为∠BAC+∠CAD，代入所求的∠BAD+∠ACB中，即可和前面的式子对应得到结果。
【解析】
解：连接OB。
1.
∵O在BC的垂直平分线上，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB。
2.
∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，即∠ABO=90°，在Rt△ABO中，∠BAC + ∠AOB=90°。
3.
∵∠AOB是△OBC的外角，
∴∠AOB=∠OBC + ∠ACB=2∠ACB，代入上式得：∠BAC + 2∠ACB=90°。
4.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠CAD=∠ACB（两直线平行，内错角相等）。
5.
∵∠BAD=∠BAC + ∠CAD=∠BAC + ∠ACB，
∴∠BAD + ∠ACB=∠BAC + ∠ACB + ∠ACB=∠BAC + 2∠ACB=90°。
【答案】
90°
【知识点】
切线的性质；平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是合理添加辅助线OB，将圆的性质、平行四边形性质和等腰三角形性质结合起来，通过角的等量转化推导结论，需熟练掌握常见几何图形的基本性质。
【难度系数】
0.6
6. 如图,在扇形ACB中,CD⊥AB于点D,⊙E是△ACD的内切圆,连接AE,BE,则∠AEB=
135°
. 答案
6. 135°
解析
【分析】
解题思路：首先根据扇形性质得到AC=BC，结合CD⊥AB可知△ACB是等腰三角形，CD为顶角平分线和底边中线；其次明确三角形内切圆的圆心（内心）是三角形三个内角角平分线的交点，可得AE平分∠CAB、CE平分∠ACD；接着在Rt△ACD中利用内角和得到两个锐角和为90°，进而求出∠AEC的度数；最后证明△AEC和△AEB全等，即可得到∠AEB的度数。
【解析】
解：
∵在扇形ACB中，AC和BC均为扇形半径，
∴AC=BC，△ACB为等腰三角形。
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，CD平分∠ACB，且∠CAB=∠CBA。
∵⊙E是△ACD的内切圆，
∴E是△ACD的内心，即AE平分∠CAB，CE平分∠ACD。
在Rt△ACD中，∠CAD + ∠ACD = 180° - ∠ADC = 90°，
∴∠CAE + ∠ACE = $\frac{1}{2}$(∠CAD + ∠ACD) = $\frac{1}{2}$×90° = 45°，
在△AEC中，∠AEC = 180° - (∠CAE + ∠ACE) = 180° - 45° = 135°。
在△AEC和△AEB中：
$\{\begin{array}{l}AC=BC \\∠CAE=∠BAE \\AE=AE\end{array} $
∴△AEC≌△AEB（SAS），
∴∠AEB=∠AEC=135°。
【答案】
135°
【知识点】
扇形的性质，三角形内心的定义，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是熟练掌握三角形内心的性质，通过角的等量转化结合全等三角形的性质求解所求角度，是圆与三角形结合的典型考法。
【难度系数】
0.6
解题思路：首先根据扇形性质得到AC=BC，结合CD⊥AB可知△ACB是等腰三角形，CD为顶角平分线和底边中线；其次明确三角形内切圆的圆心（内心）是三角形三个内角角平分线的交点，可得AE平分∠CAB、CE平分∠ACD；接着在Rt△ACD中利用内角和得到两个锐角和为90°，进而求出∠AEC的度数；最后证明△AEC和△AEB全等，即可得到∠AEB的度数。
【解析】
解：
∵在扇形ACB中，AC和BC均为扇形半径，
∴AC=BC，△ACB为等腰三角形。
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，CD平分∠ACB，且∠CAB=∠CBA。
∵⊙E是△ACD的内切圆，
∴E是△ACD的内心，即AE平分∠CAB，CE平分∠ACD。
在Rt△ACD中，∠CAD + ∠ACD = 180° - ∠ADC = 90°，
∴∠CAE + ∠ACE = $\frac{1}{2}$(∠CAD + ∠ACD) = $\frac{1}{2}$×90° = 45°，
在△AEC中，∠AEC = 180° - (∠CAE + ∠ACE) = 180° - 45° = 135°。
在△AEC和△AEB中：
$\{\begin{array}{l}AC=BC \\∠CAE=∠BAE \\AE=AE\end{array} $
∴△AEC≌△AEB（SAS），
∴∠AEB=∠AEC=135°。
【答案】
135°
【知识点】
扇形的性质，三角形内心的定义，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是熟练掌握三角形内心的性质，通过角的等量转化结合全等三角形的性质求解所求角度，是圆与三角形结合的典型考法。
【难度系数】
0.6
7. 等边三角形的边心距、半径和高的比是
1:2:3
.答案
7. 1 : 2 : 3
解析
【分析】首先明确三个量的定义：边心距是等边三角形内切圆的圆心（内心）到边的距离，题目中的“半径”指外接圆半径，即外心到顶点的距离，高是三角形顶点到对边的垂线段长度。由于等边三角形的内心、外心、重心、垂心四心重合，因此这三条线段共线，都在等边三角形的同一条高上。再结合三角形重心的性质：重心分高为2:1的两段（到顶点的距离是到对边中点距离的2倍），即可推出三者的比例关系。
【解析】设等边三角形的边心距为$r$，
∵ 等边三角形的内心、外心、重心重合，
∴ 外接圆半径（即题目中的半径）$R=2r$（重心到顶点的距离是到对边距离的2倍），
等边三角形的高$h=R+r=2r+r=3r$，
因此边心距:半径:高$=r:2r:3r=1:2:3$。
【答案】$1:2:3$
【知识点】等边三角形性质；重心的性质；正多边形相关概念
【点评】本题考查特殊三角形的性质应用，解题关键是掌握等边三角形四心重合的特点，结合重心的比例性质即可快速得到结果，属于基础类题型，需熟练掌握特殊三角形的相关性质。
【难度系数】0.8
【解析】设等边三角形的边心距为$r$，
∵ 等边三角形的内心、外心、重心重合，
∴ 外接圆半径（即题目中的半径）$R=2r$（重心到顶点的距离是到对边距离的2倍），
等边三角形的高$h=R+r=2r+r=3r$，
因此边心距:半径:高$=r:2r:3r=1:2:3$。
【答案】$1:2:3$
【知识点】等边三角形性质；重心的性质；正多边形相关概念
【点评】本题考查特殊三角形的性质应用，解题关键是掌握等边三角形四心重合的特点，结合重心的比例性质即可快速得到结果，属于基础类题型，需熟练掌握特殊三角形的相关性质。
【难度系数】0.8
8. 如图,A,B,C,D均为圆周上的十二等分点,若用直尺测量弦CD的长时,发现点C、点D分别与刻度1和4对齐,则A,B两点间的距离是
第8题图 第9题图
3√3
.第8题图 第9题图
答案
8. 3√3
解析
【分析】
解题时首先结合圆周十二等分的特点，先求出每一等分对应的圆心角；再通过刻度尺读数得到弦CD的长度，根据CD对应的圆心角判断三角形形状，求出圆的半径；最后确定弦AB对应的圆心角，结合垂径定理和解直角三角形的知识计算AB的长度即可。
【解析】
1. 计算每份圆心角：因为圆周被十二等分，所以相邻两个等分点对应的圆心角为$ \frac{360°}{12}=30° $。
2. 求CD的长度：由刻度尺读数可知，点C对齐刻度1，点D对齐刻度4，因此$ CD=4-1=3 $。
3. 求圆的半径：劣弧CD对应的圆心角为$ 2×30°=60° $，设圆心为O，连接OC、OD，因为OC=OD均为半径，且$ ∠ COD=60° $，所以△OCD为等边三角形，因此半径$ R=OC=CD=3 $。
4. 求AB的长度：劣弧AB对应的圆心角为$ 4×30°=120° $，连接OA、OB，过O作OE⊥AB于点E，由垂径定理可得$ AE=BE $，$ ∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOB=60° $。在Rt△AOE中，$ AE=OA·\sin60°=3×\frac{\sqrt{3}}{2} $，因此$ AB=2AE=2×3×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3} $。
【答案】
$ 3\sqrt{3} $
【知识点】
圆心角与弦的关系，垂径定理，解直角三角形
【点评】
本题综合了刻度尺读数、圆的基本性质以及解直角三角形的相关知识，解题的核心是先通过已知弦CD求出圆的半径，再结合AB对应的圆心角计算弦长，能够很好地考察学生的图形观察能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合圆周十二等分的特点，先求出每一等分对应的圆心角；再通过刻度尺读数得到弦CD的长度，根据CD对应的圆心角判断三角形形状，求出圆的半径；最后确定弦AB对应的圆心角，结合垂径定理和解直角三角形的知识计算AB的长度即可。
【解析】
1. 计算每份圆心角：因为圆周被十二等分，所以相邻两个等分点对应的圆心角为$ \frac{360°}{12}=30° $。
2. 求CD的长度：由刻度尺读数可知，点C对齐刻度1，点D对齐刻度4，因此$ CD=4-1=3 $。
3. 求圆的半径：劣弧CD对应的圆心角为$ 2×30°=60° $，设圆心为O，连接OC、OD，因为OC=OD均为半径，且$ ∠ COD=60° $，所以△OCD为等边三角形，因此半径$ R=OC=CD=3 $。
4. 求AB的长度：劣弧AB对应的圆心角为$ 4×30°=120° $，连接OA、OB，过O作OE⊥AB于点E，由垂径定理可得$ AE=BE $，$ ∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOB=60° $。在Rt△AOE中，$ AE=OA·\sin60°=3×\frac{\sqrt{3}}{2} $，因此$ AB=2AE=2×3×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3} $。
【答案】
$ 3\sqrt{3} $
【知识点】
圆心角与弦的关系，垂径定理，解直角三角形
【点评】
本题综合了刻度尺读数、圆的基本性质以及解直角三角形的相关知识，解题的核心是先通过已知弦CD求出圆的半径，再结合AB对应的圆心角计算弦长，能够很好地考察学生的图形观察能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
9. 如图，在$□ ABCD$中，AB为$\odot O$的直径，$\odot O$与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，$∠ C=60°$，则$\overset{\frown}{FE}$的长为
π
.答案
9. π
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{FE}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧对应的圆心角度数，$r$为圆的半径），因此我们需要先求出⊙O的半径和$\overset{\frown}{FE}$对应的圆心角$∠ FOE$的度数。首先根据AB是直径可直接得到半径；再连接OE、OF，利用切线性质得$OE⊥ DC$，结合平行四边形的性质推导相关角度，再由等边三角形的判定得到$△ AOF$的形状，最终求出$∠ FOE$的度数，代入公式即可算出弧长。
【解析】
连接OE、OF：
1. 求⊙O半径：
∵AB是⊙O的直径，$AB=12$，
∴⊙O的半径$r=\frac{1}{2}AB=6$，即$OA=OF=OE=6$。
2. 推导垂直关系和角度：
∵⊙O与DC相切于点E，
∴$OE⊥ DC$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// DC$，$∠ A=∠ C=60°$，
∴$OE⊥ AB$，即$∠ EOB=90°$。
3. 求$∠ AOF$的度数：
∵$OA=OF$，$∠ A=60°$，
∴$△ AOF$是等边三角形，
∴$∠ AOF=60°$。
4. 求圆心角$∠ FOE$：
$∠ FOE=180°-∠ AOF-∠ EOB=180°-60°-90°=30°$。
5. 计算弧长：
代入弧长公式得$\overset{\frown}{FE}$的长$=\frac{30π×6}{180}=π$。
【答案】
$π$
【知识点】
弧长计算，切线的性质，平行四边形的性质
【点评】
本题是圆与平行四边形结合的基础综合题，解题关键是通过添加辅助线，结合切线、平行四边形、等边三角形的性质求出弧对应的圆心角度数，再代入弧长公式求解，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
要计算$\overset{\frown}{FE}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧对应的圆心角度数，$r$为圆的半径），因此我们需要先求出⊙O的半径和$\overset{\frown}{FE}$对应的圆心角$∠ FOE$的度数。首先根据AB是直径可直接得到半径；再连接OE、OF，利用切线性质得$OE⊥ DC$，结合平行四边形的性质推导相关角度，再由等边三角形的判定得到$△ AOF$的形状，最终求出$∠ FOE$的度数，代入公式即可算出弧长。
【解析】
连接OE、OF：
1. 求⊙O半径：
∵AB是⊙O的直径，$AB=12$，
∴⊙O的半径$r=\frac{1}{2}AB=6$，即$OA=OF=OE=6$。
2. 推导垂直关系和角度：
∵⊙O与DC相切于点E，
∴$OE⊥ DC$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// DC$，$∠ A=∠ C=60°$，
∴$OE⊥ AB$，即$∠ EOB=90°$。
3. 求$∠ AOF$的度数：
∵$OA=OF$，$∠ A=60°$，
∴$△ AOF$是等边三角形，
∴$∠ AOF=60°$。
4. 求圆心角$∠ FOE$：
$∠ FOE=180°-∠ AOF-∠ EOB=180°-60°-90°=30°$。
5. 计算弧长：
代入弧长公式得$\overset{\frown}{FE}$的长$=\frac{30π×6}{180}=π$。
【答案】
$π$
【知识点】
弧长计算，切线的性质，平行四边形的性质
【点评】
本题是圆与平行四边形结合的基础综合题，解题关键是通过添加辅助线，结合切线、平行四边形、等边三角形的性质求出弧对应的圆心角度数，再代入弧长公式求解，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
10. 如图, 四边形ABCO是平行四边形, 以点O为圆心,OC长为半径的$\odot O$与AB相切于点B,与AO相交于点D,AO的延长线交$\odot O$于点E,连接EB交OC于点F.求$∠ C$和$∠ E$的度数.
答案
10. 如图,连接OB.
$\because \odot O$与AB相切于点B,
$\therefore OB⊥AB$,即$∠ ABO=90°$.
$\because$ 四边形 ABCO 为平行四边形,
$\therefore AB//OC ,OA//BC$.
$\therefore ∠ BOC=∠ ABO=90°$.
$\because OB=OC$,
$\therefore ∠ C=∠ OBC=45°$.
$\because AO//BC$,
$\therefore ∠ AOB=∠ OBC=45°$.
$\therefore ∠ E=\frac{1}{2}∠ AOB=22.5°$.
解析
【分析】
遇到切线相关问题，首先考虑连接过切点的半径，利用切线性质得到垂直关系。本题先连接OB，由切线性质得OB⊥AB，再结合平行四边形对边平行的性质推导角的关系，结合同圆半径相等得到等腰三角形求∠C，最后利用圆周角定理求∠E即可。
【解析】
如图，连接OB。
∵$\odot O$与AB相切于点B，
∴$OB⊥AB$，即$∠ABO=90°$。
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴$AB// OC$，$OA// BC$。
∴$∠BOC=∠ABO=90°$。
∵$OB=OC$（同圆的半径相等），
∴$△ OBC$是等腰直角三角形，$∠C=∠OBC=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
∵$AO// BC$，
∴$∠AOB=∠OBC=45°$。
∵$∠E$是圆周角，所对弧对应的圆心角为$∠AOB$，
∴$∠E=\frac{1}{2}∠AOB=22.5°$。
【答案】
如图,连接OB.
$\because \odot O$与AB相切于点B,
$\therefore OB⊥AB$,即$∠ ABO=90°$.
$\because$ 四边形 ABCO 为平行四边形,
$\therefore AB//OC ,OA//BC$.
$\therefore ∠ BOC=∠ ABO=90°$.
$\because OB=OC$,
$\therefore ∠ C=∠ OBC=45°$.
$\because AO//BC$,
$\therefore ∠ AOB=∠ OBC=45°$.
$\therefore ∠ E=\frac{1}{2}∠ AOB=22.5°$.
【知识点】
切线的性质；平行四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆与平行四边形结合的基础综合题，解题的关键是掌握切线问题中“连半径得垂直”的常规辅助线做法，灵活运用平行四边形性质和圆周角定理推导角的数量关系。
【难度系数】
0.7
遇到切线相关问题，首先考虑连接过切点的半径，利用切线性质得到垂直关系。本题先连接OB，由切线性质得OB⊥AB，再结合平行四边形对边平行的性质推导角的关系，结合同圆半径相等得到等腰三角形求∠C，最后利用圆周角定理求∠E即可。
【解析】
如图，连接OB。
∵$\odot O$与AB相切于点B，
∴$OB⊥AB$，即$∠ABO=90°$。
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴$AB// OC$，$OA// BC$。
∴$∠BOC=∠ABO=90°$。
∵$OB=OC$（同圆的半径相等），
∴$△ OBC$是等腰直角三角形，$∠C=∠OBC=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
∵$AO// BC$，
∴$∠AOB=∠OBC=45°$。
∵$∠E$是圆周角，所对弧对应的圆心角为$∠AOB$，
∴$∠E=\frac{1}{2}∠AOB=22.5°$。
【答案】
如图,连接OB.
$\because \odot O$与AB相切于点B,
$\therefore OB⊥AB$,即$∠ ABO=90°$.
$\because$ 四边形 ABCO 为平行四边形,
$\therefore AB//OC ,OA//BC$.
$\therefore ∠ BOC=∠ ABO=90°$.
$\because OB=OC$,
$\therefore ∠ C=∠ OBC=45°$.
$\because AO//BC$,
$\therefore ∠ AOB=∠ OBC=45°$.
$\therefore ∠ E=\frac{1}{2}∠ AOB=22.5°$.
【知识点】
切线的性质；平行四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆与平行四边形结合的基础综合题，解题的关键是掌握切线问题中“连半径得垂直”的常规辅助线做法，灵活运用平行四边形性质和圆周角定理推导角的数量关系。
【难度系数】
0.7
