11. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点D在BC边上,以CD为直径的$\odot O$与直线AB相切于点E,且E是AB的中点,连接OA.
(1)求证:$OA=OB$;
(2)连接AD,若$\odot O$的半径为2,求AD的长.

11. (1)如图,连接OE.
$\because \odot O$与直线AB相切于点E,
$\therefore OE⊥AB$.
$\because E$是AB的中点,
$\therefore OE$垂直平分AB.
$\therefore OA=OB$.
(2)AD的长为$2\sqrt{7}$.

【分析】
(1) 要证明OA=OB，可通过证明点O在AB的垂直平分线上推导：已知E是AB中点，结合AB是⊙O的切线，由切线性质可得OE⊥AB，即可推出OE是AB的垂直平分线，进而得到OA=OB。
(2) 要求AD的长，△ACD为直角三角形，已知直径CD=4，只需先求AC的长度：先由切线长定理得AC=AE，结合E是AB中点推出AB=2AC，可得Rt△ABC中∠B=30°；再在Rt△BEO中利用30°角的性质求出OB长度，进而得到BC的长，用勾股定理求出AC后，最后在Rt△ACD中用勾股定理即可求出AD的长度。
【解析】
(1) 如图，连接OE。
∵ ⊙O与直线AB相切于点E，
∴ OE⊥AB。
∵ E是AB的中点，
∴ OE垂直平分AB，
∴ OA=OB。
(2) 解：
∵ ∠ACB=90°，OC是⊙O的半径，
∴ AC是⊙O的切线。
∵ AB切⊙O于点E，
∴ 根据切线长定理可得AC=AE。
∵ E是AB中点，
∴ AB=2AE=2AC，
∴ 在Rt△ABC中，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$，即∠B=30°。
在Rt△BEO中，∠BEO=90°，⊙O半径OE=2，∠B=30°，
∴ OB=2OE=4。
∴ BC=OB+OC=4+2=6。
设AC=x，则AB=2x，在Rt△ABC中由勾股定理得：
$(2x)^2=x^2+6^2$，
解得$x=2\sqrt{3}$（负值舍去），即$AC=2\sqrt{3}$。
∵ CD是⊙O的直径，
∴ CD=2×2=4。
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+4^2}=\sqrt{12+16}=2\sqrt{7}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) AD的长为$2\sqrt{7}$。
【知识点】
切线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形的综合题，解题关键是合理添加辅助线，灵活运用切线相关性质、直角三角形的性质和勾股定理进行推导，既考查了基础知识点的掌握，也对综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.7

12. 如图，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，P是直径AB上的一点（不与点A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使$DQ = DC$，连接DC。
(1)试判断CD与$\odot O$的位置关系，并说明理由；
(2)若$CD// AB$，$OB=3$，$AP=1$，求PQ的长。

12. (1)$CD$与$\odot O$相切.
理由:如图,连接OC.
$\because OC=OB$,
$\therefore ∠ B=∠ 1$.
又 $DC=DQ$,
$\therefore ∠ Q=∠ 2$.
$\because PQ⊥AB$,
$\therefore ∠ QPB=90°$.
$\therefore ∠ B+∠ Q=90°$.
$\therefore ∠ 1+∠ 2=90°$.
$\therefore ∠ DCO = ∠ QCB-( ∠ 1+∠ 2)$
$= 180°-90°=90°$.
$\therefore OC⊥DC$.
$\because OC$是$\odot O$的半径,
$\therefore CD$是$\odot O$的切线,即$CD$与$\odot O$相切.
(2)当$CD// AB$时,
$\because CO⊥CD$,
$\therefore CO⊥AB$.
$\therefore ∠ BOC=90°$.
$\because OB=OC$,
$\therefore ∠ B=∠ OCB=45°$.
$\because ∠ BPQ=90°$,
$\therefore ∠ Q=45°$.
$\therefore ∠ B=∠ Q$.
$\therefore PB=PQ$.
由$OB=3$,得$OA=3$.
又 $AP=1$,
$\therefore OP=2$.
$\therefore PB=5.\therefore PQ=5$.

【分析】
(1) 判断直线与圆的位置关系时，若直线与圆有已知公共点，优先使用切线判定定理：连接公共点与圆心（即半径），证明半径与直线垂直。本题先连接OC，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠B=∠1、∠Q=∠2，再结合PQ⊥AB可得Rt△BPQ中∠B+∠Q=90°，等量代换得∠1+∠2=90°，推导得出∠OCD=90°，即可证明CD是⊙O的切线。
(2) 结合第一问OC⊥CD的结论，加上CD//AB的条件，可推出OC⊥AB，得到△BOC是等腰直角三角形，∠B=45°，进一步推出△BPQ也是等腰直角三角形，即PB=PQ，根据已知线段长度计算出PB的长，即可得到PQ的长度。
【解析】
(1) $CD$与$\odot O$相切，理由如下：
如图，连接OC。
$\because OC=OB$，
$\therefore ∠ B=∠ 1$。
又 $DC=DQ$，
$\therefore ∠ Q=∠ 2$。
$\because PQ⊥AB$，
$\therefore ∠ QPB=90°$。
$\therefore ∠ B+∠ Q=90°$。
$\therefore ∠ 1+∠ 2=90°$。
$\therefore ∠ DCO = 180°-( ∠ 1+∠ 2)= 180°-90°=90°$。
$\therefore OC⊥DC$。
$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore CD$是$\odot O$的切线，即$CD$与$\odot O$相切。
(2) 当$CD// AB$时，
$\because CO⊥CD$，
$\therefore CO⊥AB$，
$\therefore ∠ BOC=90°$。
$\because OB=OC$，
$\therefore ∠ B=∠ OCB=45°$。
$\because ∠ BPQ=90°$，
$\therefore ∠ Q=45°$，
$\therefore ∠ B=∠ Q$，
$\therefore PB=PQ$。
由$OB=3$，得$OA=OB=3$，
又 $AP=1$，
$\therefore OP=OA-AP=3-1=2$，
$\therefore PB=OB+OP=3+2=5$，
$\therefore PQ=5$。
【答案】
(1)$CD$与$\odot O$相切，理由见解析；
(2)$PQ$的长为$5$。
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查切线的判定思路，“连半径、证垂直”是解决切线判定类问题的常用技巧，解题时结合等腰三角形、平行线的性质进行角的转化和线段计算即可，难度适中，需要熟练掌握基础几何性质。
【难度系数】
0.7