3. 关于反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象的对称性叙述错误的是（）

A.图象必经过点$(-3,-2)$
B.图象位于第一、三象限
C.关于直线$y=-x$轴对称，也关于原点中心对称
D.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大

3. D

【分析】
这是一道反比例函数性质的正误判断题，解题核心是熟练掌握反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的相关性质。本题中$k=6＞0$，我们只需要逐个核对四个选项的描述是否符合$k＞0$时反比例函数的性质，排除正确选项，剩下的错误选项就是本题答案。
【解析】
逐一分析各选项：
A选项：将$x=-3$代入$y=\frac{6}{x}$，计算得$y=\frac{6}{-3}=-2$，因此点$(-3,-2)$在该函数图象上，叙述正确，不符合题意；
B选项：反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，$k=6＞0$，因此图象位于第一、三象限，叙述正确，不符合题意；
C选项：反比例函数的图象是双曲线，属于中心对称图形，对称中心为原点，同时也是轴对称图形，对称轴为直线$y=x$和$y=-x$，叙述正确，不符合题意；
D选项：当$k＞0$时，反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，当$x＜0$时图象位于第三象限，因此$y$随$x$的增大而减小，选项叙述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数的对称性；反比例函数的增减性
【点评】
本题属于基础考查题，重点检验对反比例函数基本性质的掌握，需要特别注意反比例函数的增减性仅在“每个象限内”成立，判断增减性时不能忽略这个前提条件。
【难度系数】
0.8

4. 若反比例函数$y=\dfrac{k+3}{x}(k≠ -3)$的图象经过第二、四象限，则$k$的取值范围为（）

A.$k＞3$
B.$k＜-3$
C.$k＞-3$
D.$k＜3$

4. B

【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m≠0$）的图象所在象限由比例系数$m$的符号决定，当$m＜0$时，图象经过第二、四象限；当$m＞0$时，图象经过第一、三象限。本题中反比例函数的比例系数是$k+3$，结合图象经过第二、四象限的条件，可列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围，再对应选项选出答案。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m≠0$），当图象经过第二、四象限时，比例系数$m＜0$。
本题中反比例函数为$y=\frac{k+3}{x}$，其比例系数为$k+3$，
$\because$ 函数图象经过第二、四象限，
$\therefore k+3＜0$，
解得$k＜-3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查反比例函数图象位置与比例系数符号的对应关系，解题的关键是准确记忆性质，避免将比例系数正负对应的象限记混。
【难度系数】
0.85

5. 已知反比例函数 $y=-\dfrac{4}{x}$.
(1)填写下表:

(2)用描点法在平面直角坐标系中画出这个函数的图象.

(3)函数 $y=-\dfrac{4}{x}$ 的图象位于第________象限,在每个象限内,$y$随$x$的增大而________.

解：
(1) 分别将x=-4、-2、-1、1、2、4代入$y=-\dfrac{4}{x}$计算：
当$x=-4$时，$y=-\dfrac{4}{-4}=1$；
当$x=-2$时，$y=-\dfrac{4}{-2}=2$；
当$x=-1$时，$y=-\dfrac{4}{-1}=4$；
当$x=1$时，$y=-\dfrac{4}{1}=-4$；
当$x=2$时，$y=-\dfrac{4}{2}=-2$；
当$x=4$时，$y=-\dfrac{4}{4}=-1$。
表格从左到右依次填写：$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{-4}$，$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{-1}$。
(2) 描点：在坐标系中描出点$(-4,1)$、$(-2,2)$、$(-1,4)$、$(1,-4)$、$(2,-2)$、$(4,-1)$；
连线：分别在第二象限、第四象限内，用平滑的曲线顺次连接对应点，得到两支不与坐标轴相交的双曲线，即为函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象。
(3) 二、四；增大

【分析】
本题围绕反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$展开考察，解题思路如下：
(1) 填写表格本质是求给定自变量对应的函数值，直接将x的取值逐一代入函数解析式计算即可得到对应的y值；
(2) 用描点法画函数图象需遵循“描点、连线”两步（本题已完成列表计算）：先在平面直角坐标系中准确找到各坐标点的位置，再用平滑曲线连接，注意反比例函数图象是两支独立的双曲线，不能跨象限连线，也不能与坐标轴相交；
(3) 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的性质由k的符号决定：k＜0时，图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，本题中k=-4＜0，直接对应性质作答即可。
【解析】
(1) 将给出的x值分别代入$y=-\dfrac{4}{x}$计算：
当$x=-4$时，$y=-\dfrac{4}{-4}=1$；
当$x=-2$时，$y=-\dfrac{4}{-2}=2$；
当$x=-1$时，$y=-\dfrac{4}{-1}=4$；
当$x=1$时，$y=-\dfrac{4}{1}=-4$；
当$x=2$时，$y=-\dfrac{4}{2}=-2$；
当$x=4$时，$y=-\dfrac{4}{4}=-1$。
(2) 描点：在平面直角坐标系中描出$(-4,1)$、$(-2,2)$、$(-1,4)$、$(1,-4)$、$(2,-2)$、$(4,-1)$六个点；
连线：分别在第二象限、第四象限内，用平滑的曲线顺次连接对应点，得到两支不与坐标轴相交的双曲线，即为$y=-\dfrac{4}{x}$的图象。
(3) 由于函数中$k=-4＜0$，根据反比例函数性质，图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
【答案】
(1) 表格从左到右依次填写：$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{-4}$，$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{-1}$；
(2) 图象绘制见解析步骤；
(3) 二、四；增大
【知识点】
反比例函数点的坐标特征；描点法画函数图象；反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数的基础考察题，覆盖了函数值计算、图象绘制、性质应用三类核心基础考点，熟练掌握反比例函数中k值与图象、性质的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8

6. 反比例函数$y=\frac{k-5}{x}$与一次函数$y=kx+k$（其中x为自变量，k为非零常数）在同一平面直角坐标系中的大致图象可以是（）

6. B

【分析】
解题时先从两个函数的系数关联入手，首先整理一次函数解析式可发现它恒过定点(-1,0)，可先排除不符合该特征的选项；再分k＞5、0＜k＜5、k＜0三种情况，结合反比例函数、一次函数的图象性质，逐一验证剩余选项中两个函数的图象是否匹配，就能选出正确答案。
【解析】
1. 先分析一次函数特征：将一次函数整理为$y=k(x+1)$，当$x=-1$时，$y=0$，因此一次函数恒过点$(-1,0)$。选项A中一次函数与x轴交点为$(1,0)$，不符合特征，排除A。
2. 分情况讨论$k$的取值：
① 若$k＞5$：此时$k-5＞0$，反比例函数$y=\frac{k-5}{x}$的图象在第一、三象限；一次函数$y=kx+k$中$k＞0$，图象过第一、二、三象限，且与y轴交点为$(0,k)$，$k＞5$即交点纵坐标大于5。选项C中一次函数与y轴交点纵坐标小于3，不符合要求，排除C。
② 若$0＜k＜5$：此时$k-5＜0$，反比例函数图象在第二、四象限；一次函数$k＞0$，图象过第一、二、三象限，与y轴交点纵坐标$k$在0~5之间。选项B中反比例位于二、四象限，一次函数过一、二、三象限且过$(-1,0)$，与y轴交点在2~3之间，完全符合条件。
③ 若$k＜0$：此时$k-5＜0$，反比例函数图象在第二、四象限；一次函数$k＜0$，图象过第二、三、四象限。选项D中反比例函数在第一、三象限，说明$k-5＞0$即$k＞5$，和$k＜0$矛盾，排除D。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图象性质，一次函数图象性质，函数系数与图象的关系
【点评】
本题是函数图象判断的典型题，解题核心是抓住两类函数图象和系数的对应关系，结合分类讨论思想逐一排除错误选项，能有效考查对函数图象性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7

7. 如图,双曲线$y=\frac{k}{x}$与直线$y=mx$交于A,B两点,若点A的坐标为(1,3),则点B的坐标为.

7. (-1,-3)

【分析】
解题可采用两种思路：①利用对称性求解：反比例函数和正比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两个函数的交点也关于原点对称，关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数，已知点A的坐标就可以直接推出点B的坐标；②联立解析式求解：先将点A坐标代入两个函数解析式求出参数，再联立两个函数的方程求解得到另一个交点坐标，其中利用对称性解题更简便。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$和正比例函数$y=mx$的图象均关于原点中心对称，
∴两个函数的交点A、B关于原点对称，
∵关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，点A的坐标为$(1,3)$，
∴点B的坐标为$(-1,-3)$。
（验证方法：将$A(1,3)$代入两个解析式，得$k=1×3=3$，$m=3÷1=3$，联立$\begin{cases}y=\frac{3}{x}\\y=3x\end{cases}$，解得$x=1$或$x=-1$，当$x=-1$时$y=-3$，即$B(-1,-3)$）
【答案】
$(-1,-3)$
【知识点】
反比例函数的对称性；正比例函数的对称性；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是正反比例函数交点的基础题型，利用函数的中心对称性质可以快速得到答案，也可以通过求解析式联立方程求解，两种方法都需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

8. 在反比例函数$y=\dfrac{2-m}{x}$的图象上有两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，当$x_1＜0＜x_2$时，有$y_1＜y_2$，则$m$的取值范围是。

8. m＜2

【分析】
首先回忆反比例函数的性质：当比例系数$k＞0$时，函数图象分布在第一、三象限，此时$x＜0$对应的$y$值为负，$x＞0$对应的$y$值为正；当$k＜0$时，图象分布在第二、四象限，$x＜0$对应的$y$值为正，$x＞0$对应的$y$值为负。本题已知$x_1＜0＜x_2$时$y_1＜y_2$，说明横坐标为负的点的纵坐标小于横坐标为正的点的纵坐标，由此可判断比例系数的符号，再列不等式求解$m$的范围即可。
【解析】
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$：
1. 由题中条件$x_1＜0＜x_2$时$y_1＜y_2$，可得$x$取负值时对应的函数值小于$x$取正值时对应的函数值，因此该反比例函数的图象在第一、三象限，即比例系数$k＞0$。
2. 本题中反比例函数的比例系数$k=2-m$，因此列不等式：
$2-m＞0$
3. 解不等式：移项可得$m＜2$。
【答案】
$m＜2$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数性质的应用，解题关键是根据两点横、纵坐标的大小关系判断出比例系数的正负，进而求解参数范围。
【难度系数】
0.8

9. 如图,边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O,AB//x轴,BC//y轴,反比例函数$y=\frac{2}{x}$与$y=-\frac{2}{x}$的图象均与正方形ABCD的边相交,则图中阴影部分的面积之和是

()

A.2
B.4
C.6
D.8

9. D

【分析】
解题时首先回忆反比例函数的对称性和中心对称图形的性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$和$y=-\frac{k}{x}$的图象关于x轴、y轴、原点均对称，本题中正方形的对称中心也是原点，同样满足轴对称和中心对称的性质。因此可以利用对称性质，将分散的阴影部分拼接成规则图形，无需计算每个小阴影的面积，直接通过规则图形面积求解即可。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$y=\frac{2}{x}$与$y=-\frac{2}{x}$的图象关于x轴、y轴、原点对称，且正方形ABCD的对称中心为坐标原点O，也关于x轴、y轴、原点对称，
∴ 图中所有阴影部分可通过对称平移拼接，面积之和等于正方形面积的一半。
已知正方形边长为4，其面积为$4×4=16$，
∴ 阴影部分的面积之和为$16÷2=8$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的对称性，中心对称的性质，正方形面积计算
【点评】
本题考查利用图形对称性求解不规则图形面积的方法，解题关键是熟练掌握反比例函数和中心对称图形的对称性质，通过拼接法将不规则阴影转化为规则图形求解，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7