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【例1】已知关于$x$的方程$(k-2)x^{|k|}+x-4=0$是一元二次方程，则$k$的值为（
A.$\pm2$
B.$-2$
C.$2$
D.不能确定
【规律方法】
确定待定字母，紧扣方程概念
要确定一元二次方程中待定字母的值或取值范围，需根据一元二次方程的概念，明确方程中只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，列出关于待定字母的方程（组）或不等式（组），解方程（组）或不等式（组），即可确定字母的值或取值范围。
B
）A.$\pm2$
B.$-2$
C.$2$
D.不能确定
【规律方法】
确定待定字母，紧扣方程概念
要确定一元二次方程中待定字母的值或取值范围，需根据一元二次方程的概念，明确方程中只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，列出关于待定字母的方程（组）或不等式（组），解方程（组）或不等式（组），即可确定字母的值或取值范围。
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的核心判定条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不能为0，两个条件需同时满足，缺一不可。我们先根据最高次数为2列出关于k的绝对值方程，再根据二次项系数不为0列出不等式，最后联立两个结果就能得到k的正确取值。
【解析】
解：
∵方程$(k-2)x^{|k|}+x-4=0$是一元二次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的最高次数为2，即$|k|=2$，解得$k=2$或$k=-2$；
2. 二次项系数不为0，即$k-2≠0$，解得$k≠2$。
结合两个条件，只有$k=-2$符合要求，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 绝对值的运算
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，解题关键是牢记一元二次方程的两个核心判定条件，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，误选A选项，做题时要养成检验参数是否符合系数要求的习惯。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的核心判定条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不能为0，两个条件需同时满足，缺一不可。我们先根据最高次数为2列出关于k的绝对值方程，再根据二次项系数不为0列出不等式，最后联立两个结果就能得到k的正确取值。
【解析】
解：
∵方程$(k-2)x^{|k|}+x-4=0$是一元二次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的最高次数为2，即$|k|=2$，解得$k=2$或$k=-2$；
2. 二次项系数不为0，即$k-2≠0$，解得$k≠2$。
结合两个条件，只有$k=-2$符合要求，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 绝对值的运算
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，解题关键是牢记一元二次方程的两个核心判定条件，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，误选A选项，做题时要养成检验参数是否符合系数要求的习惯。
【难度系数】
0.7
变式训练
1.若关于$x$的方程$(m+1)x^2 + mx -1 = 0$是一元二次方程，则$m$的取值范围是 （
A.$m≠-1$
B.$m=-1$
C.$m≥-1$
D.$m≠0$
1.若关于$x$的方程$(m+1)x^2 + mx -1 = 0$是一元二次方程，则$m$的取值范围是 （
A
）A.$m≠-1$
B.$m=-1$
C.$m≥-1$
D.$m≠0$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的核心判定条件：一元二次方程必须同时满足三个要求，一是整式方程，二是只含有1个未知数，三是未知数的最高次数为2，且二次项系数不能为0。本题中方程已经满足前两个要求，所以只需要保证二次项系数不为0即可求出m的取值范围。
【解析】
根据一元二次方程的定义，方程的二次项系数不能为0。
本题中方程的二次项为$(m+1)x^2$，对应的二次项系数为$m+1$，因此可得：
$m+1 ≠ 0$
解得$m ≠ -1$。
所以符合要求的选项是A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的概念、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略一元二次方程中二次项系数不为0的限制条件，牢记该判定要点即可快速解答此类题目。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的核心判定条件：一元二次方程必须同时满足三个要求，一是整式方程，二是只含有1个未知数，三是未知数的最高次数为2，且二次项系数不能为0。本题中方程已经满足前两个要求，所以只需要保证二次项系数不为0即可求出m的取值范围。
【解析】
根据一元二次方程的定义，方程的二次项系数不能为0。
本题中方程的二次项为$(m+1)x^2$，对应的二次项系数为$m+1$，因此可得：
$m+1 ≠ 0$
解得$m ≠ -1$。
所以符合要求的选项是A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的概念、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略一元二次方程中二次项系数不为0的限制条件，牢记该判定要点即可快速解答此类题目。
【难度系数】
0.85
【例2】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)$(x-5)^2=36$；
(2)$3y(y+1)=2(y+1)$。
解：
【规律方法】
确定一元二次方程各项及其系数的注意事项
(1)把一元二次方程化为一般形式，如果二次项系数小于0，那么一般把方程两边同乘－1，将其二次项系数转化为大于0的数。
(2)指出一元二次方程各项或其系数时，注意带上前面的符号。
(3)特例：若没有出现一次项$bx$，则$b=0$；若没有出现常数项$c$，则$c=0$。
变式训练
(1)$(x-5)^2=36$；
(2)$3y(y+1)=2(y+1)$。
解：
【规律方法】
确定一元二次方程各项及其系数的注意事项
(1)把一元二次方程化为一般形式，如果二次项系数小于0，那么一般把方程两边同乘－1，将其二次项系数转化为大于0的数。
(2)指出一元二次方程各项或其系数时，注意带上前面的符号。
(3)特例：若没有出现一次项$bx$，则$b=0$；若没有出现常数项$c$，则$c=0$。
变式训练
答案
(1)一般形式是 $x^2 -10x -11=0$.
它的二次项系数是 1,一次项系数是−10,常数项是−11.
(2)一般形式是 $3y^2 + y -2=0$.
它的二次项系数是 3,一次项系数是 1,常数项是−2.
它的二次项系数是 1,一次项系数是−10,常数项是−11.
(2)一般形式是 $3y^2 + y -2=0$.
它的二次项系数是 3,一次项系数是 1,常数项是−2.
解析
【分析】
要解本题，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先对给出的方程进行去括号、移项、合并同类项操作，将方程右侧化为0，左侧按未知数的降幂排列，若二次项系数为负，可两边同乘$-1$使二次项系数为正，最后对应提取各项系数即可，注意不要直接在方程两边除以含未知数的整式，避免丢根。
【解析】
(1) 先展开方程左侧的完全平方：
$(x-5)^2=x^2-10x+25$
原方程可化为：$x^2-10x+25=36$
移项并合并同类项，将右侧常数移到左侧：
$x^2-10x+25-36=0$，即$x^2-10x-11=0$
对应得二次项系数为1，一次项系数为$-10$，常数项为$-11$。
(2) 先对方程左右两侧去括号：
左侧$3y(y+1)=3y^2+3y$，右侧$2(y+1)=2y+2$
原方程可化为：$3y^2+3y=2y+2$
移项并合并同类项，将右侧所有项移到左侧：
$3y^2+3y-2y-2=0$，即$3y^2+y-2=0$
对应得二次项系数为3，一次项系数为1，常数项为$-2$。
【答案】
(1)一般形式是 $x^2 -10x -11=0$，它的二次项系数是 1,一次项系数是−10,常数项是−11。
(2)一般形式是 $3y^2 + y -2=0$，它的二次项系数是 3,一次项系数是 1,常数项是−2。
【知识点】
一元二次方程的一般形式；整式的化简；一元二次方程系数识别
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考察一元二次方程一般形式的转化规则，转化过程中要注意移项需变号，确定各项系数时必须带上前面的正负号，同时不要随意在方程两边除以含未知数的整式，避免出现漏根类错误。
【难度系数】
0.8
要解本题，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先对给出的方程进行去括号、移项、合并同类项操作，将方程右侧化为0，左侧按未知数的降幂排列，若二次项系数为负，可两边同乘$-1$使二次项系数为正，最后对应提取各项系数即可，注意不要直接在方程两边除以含未知数的整式，避免丢根。
【解析】
(1) 先展开方程左侧的完全平方：
$(x-5)^2=x^2-10x+25$
原方程可化为：$x^2-10x+25=36$
移项并合并同类项，将右侧常数移到左侧：
$x^2-10x+25-36=0$，即$x^2-10x-11=0$
对应得二次项系数为1，一次项系数为$-10$，常数项为$-11$。
(2) 先对方程左右两侧去括号：
左侧$3y(y+1)=3y^2+3y$，右侧$2(y+1)=2y+2$
原方程可化为：$3y^2+3y=2y+2$
移项并合并同类项，将右侧所有项移到左侧：
$3y^2+3y-2y-2=0$，即$3y^2+y-2=0$
对应得二次项系数为3，一次项系数为1，常数项为$-2$。
【答案】
(1)一般形式是 $x^2 -10x -11=0$，它的二次项系数是 1,一次项系数是−10,常数项是−11。
(2)一般形式是 $3y^2 + y -2=0$，它的二次项系数是 3,一次项系数是 1,常数项是−2。
【知识点】
一元二次方程的一般形式；整式的化简；一元二次方程系数识别
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考察一元二次方程一般形式的转化规则，转化过程中要注意移项需变号，确定各项系数时必须带上前面的正负号，同时不要随意在方程两边除以含未知数的整式，避免出现漏根类错误。
【难度系数】
0.8
2.将一元二次方程$x^2 - 2x = 6$化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项可以分别是（
A.1,2,6
B.1,−2,6
C.1,−2,−6
D.1,2,−6
C
）A.1,2,6
B.1,−2,6
C.1,−2,−6
D.1,2,−6
答案
C
解析
【分析】
首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时首先需要将给定的方程通过移项化为一般形式，移项时注意移动的项要变号，再对应识别三个系数即可选出正确选项。
【解析】
一元二次方程的一般形式为：$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）
对原方程$x^2 - 2x = 6$进行移项，将等号右侧的$6$移到左侧，变号后得到：
$x^2 - 2x - 6 = 0$
对应可得：二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为-6，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 移项法则
【点评】
本题属于基础概念考察题，易错点是移项时忘记变号，导致常数项符号判断错误，掌握一元二次方程一般形式的定义即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时首先需要将给定的方程通过移项化为一般形式，移项时注意移动的项要变号，再对应识别三个系数即可选出正确选项。
【解析】
一元二次方程的一般形式为：$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）
对原方程$x^2 - 2x = 6$进行移项，将等号右侧的$6$移到左侧，变号后得到：
$x^2 - 2x - 6 = 0$
对应可得：二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为-6，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 移项法则
【点评】
本题属于基础概念考察题，易错点是移项时忘记变号，导致常数项符号判断错误，掌握一元二次方程一般形式的定义即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
3.若关于$x$的方程$x^2 -2kx=4x -1$化成一般形式后不含有一次项，则$k$的值为 （
A.2
B.－2
C.4
D.－4
B
）A.2
B.－2
C.4
D.－4
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），其中$bx$是一次项，$b$是一次项系数。题目要求化成一般形式后不含一次项，即一次项系数为0。因此解题步骤应为：先把原方程整理为一般形式，合并一次项后令一次项系数等于0，再解关于$k$的方程即可得到结果。
【解析】
1. 先将原方程移项，使方程右侧为0：
$x^2 -2kx -4x +1 = 0$
2. 合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 + (-2k -4)x + 1 = 0$
3. 根据“不含一次项”的条件，可知一次项系数为0，列方程：
$-2k -4 = 0$
4. 解上述方程：
移项得$-2k = 4$，两边同时除以$-2$，解得$k=-2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 合并同类项
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，解题核心是理解“方程不含某一项”等价于该项的系数为0，掌握一元二次方程一般形式的化简方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），其中$bx$是一次项，$b$是一次项系数。题目要求化成一般形式后不含一次项，即一次项系数为0。因此解题步骤应为：先把原方程整理为一般形式，合并一次项后令一次项系数等于0，再解关于$k$的方程即可得到结果。
【解析】
1. 先将原方程移项，使方程右侧为0：
$x^2 -2kx -4x +1 = 0$
2. 合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 + (-2k -4)x + 1 = 0$
3. 根据“不含一次项”的条件，可知一次项系数为0，列方程：
$-2k -4 = 0$
4. 解上述方程：
移项得$-2k = 4$，两边同时除以$-2$，解得$k=-2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 合并同类项
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，解题核心是理解“方程不含某一项”等价于该项的系数为0，掌握一元二次方程一般形式的化简方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
【例3】已知$m$是一元二次方程$x^2 - 2x -13=0$的一个根，则$26+6m-3m^2$的值是（
A.13
B.－13
C.39
D.65
|思路分析|
思考1:把$m$代入一元二次方程$x^2 -2x -13=0$可得
思考2:要求$26+6m-3m^2$的值，可以采用的方法是
|一题多变|
（改变结论）若把例3中的“$26+6m-3m^2$”改为“$(m-1)^2$”，则$(m-1)^2=$
【规律方法】
根据一元二次方程的根求字母
或代数式的值的方法
已知某一元二次方程的一个根，求待定字母或代数式的值时，可根据一元二次方程的根的定义，把根代入原方程，解关于待定字母的方程求待定字母的值或利用整体代入法求代数式的值.
B
）A.13
B.－13
C.39
D.65
|思路分析|
思考1:把$m$代入一元二次方程$x^2 -2x -13=0$可得
$m^2 -2m -13=0$
.思考2:要求$26+6m-3m^2$的值，可以采用的方法是
整体代入法
.|一题多变|
（改变结论）若把例3中的“$26+6m-3m^2$”改为“$(m-1)^2$”，则$(m-1)^2=$
14
.【规律方法】
根据一元二次方程的根求字母
或代数式的值的方法
已知某一元二次方程的一个根，求待定字母或代数式的值时，可根据一元二次方程的根的定义，把根代入原方程，解关于待定字母的方程求待定字母的值或利用整体代入法求代数式的值.
答案
思考1:$m^2 -2m -13=0$
思考2:整体代入法
B
一题多变
14
思考2:整体代入法
B
一题多变
14
解析
【分析】
解题可按两步思路推进：第一步，根据一元二次方程根的定义，方程的根代入原方程等式成立，因此将m代入$x^2 - 2x -13=0$，可得到$m^2 - 2m -13=0$，整理得$m^2 - 2m=13$；第二步，观察待求代数式的结构，发现无需解出m的具体值，可通过代数式变形将待求式转化为含有$m^2 - 2m$的形式，采用整体代入法计算即可，能有效简化计算过程。对于变式的$(m-1)^2$，展开后同样可得到含$m^2 - 2m$的结构，用同样的整体代入方法即可求解。
【解析】
1. 原题求解：
∵ m是一元二次方程$x^2 - 2x -13=0$的根
∴ 把x=m代入方程得：$m^2 - 2m -13=0$，整理可得$m^2 - 2m=13$
对$26+6m-3m^2$变形：
$26+6m-3m^2=26 - 3(m^2 - 2m)$
将$m^2 - 2m=13$代入上式：
原式$=26 - 3×13=26-39=-13$，故选B。
2. 一题多变求解：
对$(m-1)^2$展开得：$(m-1)^2=m^2 - 2m +1$
将$m^2 - 2m=13$代入得：原式$=13+1=14$。
【答案】
思考1：$m^2 -2m -13=0$；思考2：整体代入法；原题选B；一题多变：14
【知识点】
一元二次方程根的定义、整体代入求值、代数式化简
【点评】
本题考查利用一元二次方程根的性质求代数式的值，运用整体代入思想可避免求解方程根的繁琐步骤，减少计算量，是这类题型的常用解题技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题可按两步思路推进：第一步，根据一元二次方程根的定义，方程的根代入原方程等式成立，因此将m代入$x^2 - 2x -13=0$，可得到$m^2 - 2m -13=0$，整理得$m^2 - 2m=13$；第二步，观察待求代数式的结构，发现无需解出m的具体值，可通过代数式变形将待求式转化为含有$m^2 - 2m$的形式，采用整体代入法计算即可，能有效简化计算过程。对于变式的$(m-1)^2$，展开后同样可得到含$m^2 - 2m$的结构，用同样的整体代入方法即可求解。
【解析】
1. 原题求解：
∵ m是一元二次方程$x^2 - 2x -13=0$的根
∴ 把x=m代入方程得：$m^2 - 2m -13=0$，整理可得$m^2 - 2m=13$
对$26+6m-3m^2$变形：
$26+6m-3m^2=26 - 3(m^2 - 2m)$
将$m^2 - 2m=13$代入上式：
原式$=26 - 3×13=26-39=-13$，故选B。
2. 一题多变求解：
对$(m-1)^2$展开得：$(m-1)^2=m^2 - 2m +1$
将$m^2 - 2m=13$代入得：原式$=13+1=14$。
【答案】
思考1：$m^2 -2m -13=0$；思考2：整体代入法；原题选B；一题多变：14
【知识点】
一元二次方程根的定义、整体代入求值、代数式化简
【点评】
本题考查利用一元二次方程根的性质求代数式的值，运用整体代入思想可避免求解方程根的繁琐步骤，减少计算量，是这类题型的常用解题技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
