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4.若$x=4$是一元二次方程$x^2 - 3x + m = 0$的一个根，则常数$m$的值是（
A.2
B.4
C.−2
D.−4
D
）A.2
B.4
C.−2
D.−4
答案
D
解析
【分析】
根据一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根。已知x=4是方程的根，所以将x=4代入原方程，等式一定成立，此时会得到只含m的一元一次方程，解这个方程即可求出m的值。
【解析】
因为$x=4$是一元二次方程$x^2 - 3x + m = 0$的根，将$x=4$代入方程得：
$4^2 - 3×4 + m = 0$
计算化简：
$16 - 12 + m = 0$
$4 + m = 0$
解得：$m = -4$
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的概念的应用，只要掌握“方程的根代入原方程等式成立”这一规律，代入计算即可快速得出结果，计算难度低。
【难度系数】
0.8
根据一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根。已知x=4是方程的根，所以将x=4代入原方程，等式一定成立，此时会得到只含m的一元一次方程，解这个方程即可求出m的值。
【解析】
因为$x=4$是一元二次方程$x^2 - 3x + m = 0$的根，将$x=4$代入方程得：
$4^2 - 3×4 + m = 0$
计算化简：
$16 - 12 + m = 0$
$4 + m = 0$
解得：$m = -4$
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的概念的应用，只要掌握“方程的根代入原方程等式成立”这一规律，代入计算即可快速得出结果，计算难度低。
【难度系数】
0.8
5.若$m$是方程$x^2 - x -1=0$的一个根，则$-2m^2 +2m$的值为（
A.3
B.0
C.2
D.$-2$
D
）A.3
B.0
C.2
D.$-2$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义：方程的根代入原方程可使等式成立，将m代入原方程得到关于m的等式，整理得到$m^2 - m$的值；再观察所求代数式$-2m^2 +2m$的结构，可提取公因式变形为含有$m^2 - m$的形式，最后整体代入计算即可，无需单独求出m的具体值，简化计算过程。
【解析】
∵ m是方程$x^2 - x -1=0$的一个根，
∴ 将x=m代入方程得：$m^2 - m - 1 = 0$，
整理可得：$m^2 - m = 1$。
对所求代数式变形：
$-2m^2 + 2m = -2(m^2 - m)$，
将$m^2 - m = 1$代入上式得：
原式$=-2 × 1 = -2$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的根的定义，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的基础题型，解题关键是熟练掌握方程根的定义，灵活运用整体代入的思想计算，避免求解未知数带来的复杂运算。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用一元二次方程根的定义：方程的根代入原方程可使等式成立，将m代入原方程得到关于m的等式，整理得到$m^2 - m$的值；再观察所求代数式$-2m^2 +2m$的结构，可提取公因式变形为含有$m^2 - m$的形式，最后整体代入计算即可，无需单独求出m的具体值，简化计算过程。
【解析】
∵ m是方程$x^2 - x -1=0$的一个根，
∴ 将x=m代入方程得：$m^2 - m - 1 = 0$，
整理可得：$m^2 - m = 1$。
对所求代数式变形：
$-2m^2 + 2m = -2(m^2 - m)$，
将$m^2 - m = 1$代入上式得：
原式$=-2 × 1 = -2$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的根的定义，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的基础题型，解题关键是熟练掌握方程根的定义，灵活运用整体代入的思想计算，避免求解未知数带来的复杂运算。
【难度系数】
0.8
【例4】某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两支球队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少支球队参加比赛？设有x支球队参加比赛，则可列方程为 （
A.$x(x+1)=36$
B.$x(x-1)=36$
C.$\frac{1}{2}x(x+1)=36$
D.$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
【规律方法】
根据实际问题列一元二次方程时，需认真审题，弄清已知量和未知量之间的数量关系，找出等量关系是列方程的关键.例如，单循环比赛问题中，x支球队的单循环比赛场数为$\frac{x(x-1)}{2}$；主客场比赛中，x支球队的主客场比赛场数为$x(x-1)$.涉及几何问题时，常用到面积公式或体积公式等.
D
）A.$x(x+1)=36$
B.$x(x-1)=36$
C.$\frac{1}{2}x(x+1)=36$
D.$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
【规律方法】
根据实际问题列一元二次方程时，需认真审题，弄清已知量和未知量之间的数量关系，找出等量关系是列方程的关键.例如，单循环比赛问题中，x支球队的单循环比赛场数为$\frac{x(x-1)}{2}$；主客场比赛中，x支球队的主客场比赛场数为$x(x-1)$.涉及几何问题时，常用到面积公式或体积公式等.
答案
D
解析
【分析】
这是单循环比赛类的列方程问题，思考步骤如下：第一步，明确参赛球队数为x，每支球队不能和自身比赛，因此每支球队需要和其余(x-1)支球队各比赛1场；第二步，判断计数是否重复：每两队之间的1场比赛，会分别被两个队各计算1次，因此直接用x乘(x-1)得到的场次是实际场次的2倍，需要除以2得到真实总场次；第三步，结合已知总场次为36，即可列出对应方程，再匹配选项。
【解析】
设有x支球队参加比赛：
1. 每支球队需与除自身外的$(x-1)$支球队各赛1场，若不考虑重复计数，总场次为$x(x-1)$场；
2. 由于每两支球队之间仅比赛1场，上述计算中每场比赛被重复统计了2次，因此实际总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$；
3. 已知共比赛36场，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=36$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 单循环比赛计数
【点评】
本题是列方程解应用题的常见基础题型，解题核心是理清单循环比赛的计数逻辑，易错点是忽略场次重复计算的问题误选B，掌握单循环、双循环（主客场）的场次计数规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
这是单循环比赛类的列方程问题，思考步骤如下：第一步，明确参赛球队数为x，每支球队不能和自身比赛，因此每支球队需要和其余(x-1)支球队各比赛1场；第二步，判断计数是否重复：每两队之间的1场比赛，会分别被两个队各计算1次，因此直接用x乘(x-1)得到的场次是实际场次的2倍，需要除以2得到真实总场次；第三步，结合已知总场次为36，即可列出对应方程，再匹配选项。
【解析】
设有x支球队参加比赛：
1. 每支球队需与除自身外的$(x-1)$支球队各赛1场，若不考虑重复计数，总场次为$x(x-1)$场；
2. 由于每两支球队之间仅比赛1场，上述计算中每场比赛被重复统计了2次，因此实际总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$；
3. 已知共比赛36场，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=36$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 单循环比赛计数
【点评】
本题是列方程解应用题的常见基础题型，解题核心是理清单循环比赛的计数逻辑，易错点是忽略场次重复计算的问题误选B，掌握单循环、双循环（主客场）的场次计数规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
6.某校部分平面示意图如图所示,在三座教学楼之间的空地上围出一块长 30 m、宽 20 m的矩形区域,中间是绿化区域(阴影部分),三面有等宽的道路,矩形区域内道路的面积正好与绿化区域的面积相等.设道路的宽度为x m,则可列方程为 （
A.$(30-x)(20-x)=\frac{1}{2}×30×20$
B.$30x+2×20x=\frac{1}{2}×30×20$
C.$(30-2x)(20-x)=\frac{1}{2}×30×20$
D.$(30-x)(20-2x)=\frac{1}{2}×30×20$
C
）A.$(30-x)(20-x)=\frac{1}{2}×30×20$
B.$30x+2×20x=\frac{1}{2}×30×20$
C.$(30-2x)(20-x)=\frac{1}{2}×30×20$
D.$(30-x)(20-2x)=\frac{1}{2}×30×20$
答案
C
解析
【分析】
解题时先找等量关系：由道路面积与绿化区域面积相等，可得绿化区域面积是整个矩形区域面积的一半。接下来确定绿化区域的长和宽：观察示意图，左右两侧都有宽为x m的道路，因此绿化区域的水平长度为总长度减去2个道路宽度；垂直方向仅上方有宽为x m的道路，因此绿化区域的垂直宽度为总宽度减去1个道路宽度。最后结合矩形面积公式，将绿化区域的长、宽代入等量关系，即可列出方程。
【解析】
首先计算整个矩形区域的面积：$S_{\mathrm{总}}=30×20=600\ \mathrm{m}^2$。
由题意得，绿化区域面积为总面积的一半，即$S_{\mathrm{绿化}}=\frac{1}{2}×30×20$。
再分析绿化区域的尺寸：
水平方向：左右各有宽为$x$的道路，故绿化区域的长为$30-2x$（单位：m）；
垂直方向：仅上方有宽为$x$的道路，故绿化区域的宽为$20-x$（单位：m）。
根据矩形面积公式$S=长×宽$，可列方程：
$(30-2x)(20-x)=\frac{1}{2}×30×20$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 矩形面积计算
【点评】
本题属于几何类方程应用的基础题型，解题核心是准确识图，正确提取绿化区域的长宽数据，找准等量关系即可快速求解，要注意避免多算或者漏算道路宽度的错误。
【难度系数】
0.7
解题时先找等量关系：由道路面积与绿化区域面积相等，可得绿化区域面积是整个矩形区域面积的一半。接下来确定绿化区域的长和宽：观察示意图，左右两侧都有宽为x m的道路，因此绿化区域的水平长度为总长度减去2个道路宽度；垂直方向仅上方有宽为x m的道路，因此绿化区域的垂直宽度为总宽度减去1个道路宽度。最后结合矩形面积公式，将绿化区域的长、宽代入等量关系，即可列出方程。
【解析】
首先计算整个矩形区域的面积：$S_{\mathrm{总}}=30×20=600\ \mathrm{m}^2$。
由题意得，绿化区域面积为总面积的一半，即$S_{\mathrm{绿化}}=\frac{1}{2}×30×20$。
再分析绿化区域的尺寸：
水平方向：左右各有宽为$x$的道路，故绿化区域的长为$30-2x$（单位：m）；
垂直方向：仅上方有宽为$x$的道路，故绿化区域的宽为$20-x$（单位：m）。
根据矩形面积公式$S=长×宽$，可列方程：
$(30-2x)(20-x)=\frac{1}{2}×30×20$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 矩形面积计算
【点评】
本题属于几何类方程应用的基础题型，解题核心是准确识图，正确提取绿化区域的长宽数据，找准等量关系即可快速求解，要注意避免多算或者漏算道路宽度的错误。
【难度系数】
0.7
