三、解答题
7. 已知：如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$和线段$DE$，$∠ A=90°$，$DE=AB$.
求作：$△ DEF$，使$EF=BC$，$∠ D=∠ A$.（要求尺规作图，保留作图痕迹）

解：
作法：
1. 以点D为顶点，线段DE为一边，作∠EDF=∠A=90°；
2. 以点E为圆心，BC的长为半径画弧，交射线DF于点F；
3. 连接EF。
则△DEF即为所求作的三角形，保留全部作图痕迹即可。

【分析】
要构造满足要求的△DEF，先明确已知条件：∠D需等于∠A=90°，DE=AB，EF=BC。首先先确定角的大小，以D为顶点、DE为边，作和∠A相等的90°角，得到射线DF，就满足了∠D的要求；接下来要满足EF=BC，以点E为圆心、BC的长度为半径画弧，弧和射线DF的交点就是点F；最后连接EF就能得到所求三角形。
【解析】
按照尺规作图的规范步骤操作：
1. 以点D为顶点，线段DE为一边，作∠EDF=∠A=90°；
2. 以点E为圆心，BC的长为半径画弧，交射线DF于点F；
3. 连接EF。
作图过程中需保留全部作图痕迹。
【答案】
1. 以点D为顶点，线段DE为一边，作∠EDF=∠A=90°；
2. 以点E为圆心，BC的长为半径画弧，交射线DF于点F；
3. 连接EF，△DEF即为所求作的三角形。
【知识点】
作一个角等于已知角；尺规作三角形；截相等线段
【点评】
本题属于基础尺规作图题，解题时要紧扣题目给出的边角相等的条件，依次完成作等角、截等长线段的操作即可，注意要保留完整的作图痕迹，不得随意擦除辅助线。
【难度系数】
0.8

8. 如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$于点$D$，$DA = DB$，点$E$在$AD$上，且$BE = AC$.
（1）求证：$△ ACD ≌ △ BED$；
（2）判断$BE$和$AC$的关系，并说明理由.

(1) 提示：用“HL”证明$\mathrm{Rt}△ACD ≌ \mathrm{Rt}△BED$
(2) $BE = AC$，且$BE ⊥ AC$.理由略

【分析】
（1）要证明$△ ACD ≌ △ BED$，首先由$AD ⊥ BC$可得两个三角形都是直角三角形，已知$DA=DB$、$BE=AC$，符合直角三角形全等判定的HL定理，直接利用HL即可完成证明。
（2）判断两条线段的关系需要同时考虑数量关系和位置关系：数量上题目已给出$BE=AC$；位置上可延长$BE$交$AC$于点$F$，利用全等三角形对应角相等，结合直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质，推导得到$BE$与$AC$的夹角为$90°$，即可得到垂直关系。
【解析】
（1）证明：
$\because AD ⊥ BC$，
$\therefore ∠ ADC = ∠ BDE = 90°$，即$△ ACD$和$△ BED$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ BED$中：
$\begin{cases}AC = BE（已知）\\DA = DB（已知）\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ BED（\mathrm{HL}）$。
（2）$BE$和$AC$的关系为$BE=AC$且$BE ⊥ AC$，理由如下：
延长$BE$交$AC$于点$F$，
$\because \mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ BED$，
$\therefore ∠ CAD = ∠ EBD$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ EBD + ∠ BED = 90°$，
又$\because ∠ BED = ∠ AEF$（对顶角相等），
$\therefore ∠ CAD + ∠ AEF = ∠ EBD + ∠ BED = 90°$，
在$△ AEF$中，$∠ AFE = 180° - (∠ CAD + ∠ AEF) = 90°$，
$\therefore BE ⊥ AC$，结合已知$BE=AC$，可得$BE$与$AC$相等且互相垂直。
【答案】
(1) $\mathrm{Rt}△ACD ≌ \mathrm{Rt}△BED$，证明成立；
(2) $BE = AC$，且$BE ⊥ AC$。
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；垂直的判定
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题，解题时需注意：判断两条线段的关系要同时考虑数量关系和位置关系，避免仅回答数量关系导致漏解。
【难度系数】
0.7

9. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$，$DE ⊥ AB$于点$E$，点$F$在$AC$上，$BD=DF$。求证：
(1) $CF=EB$；
(2) $AF + EB = AE$。

(1) 提示：先证明$△ADC ≌ △ADE$，再证明$△DFC ≌ △DBE$
(2) 略

【分析】
(1) 要证明$CF=EB$，首先观察两条线段分别在$Rt△ DCF$和$Rt△ DEB$中。已知$AD$是$∠ BAC$的角平分线，$∠ C=90°$，$DE⊥ AB$，根据角平分线的性质可得$DC=DE$，再结合已知$BD=DF$，即可通过HL证明两个直角三角形全等，从而得到$CF=EB$。
(2) 要证明$AF+EB=AE$，可先证明$Rt△ ADC≌ Rt△ ADE$得到$AC=AE$，再将$AC$拆分为$AF+CF$，结合第一问的结论$CF=EB$，通过等量代换即可得证。
【解析】
(1) 证明：
$\because AD$平分$∠ BAC$，$∠ C=90°$，$DE⊥ AB$，
$\therefore DC=DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等），$∠ C=∠ DEB=90°$。
在$Rt△ DCF$和$Rt△ DEB$中：
$\begin{cases}DC=DE\\DF=BD\end{cases}$
$\therefore Rt△ DCF≌ Rt△ DEB(\mathrm{HL})$，
$\therefore CF=EB$。
(2) 证明：
在$Rt△ ADC$和$Rt△ ADE$中：
$\begin{cases}AD=AD\\DC=DE\end{cases}$
$\therefore Rt△ ADC≌ Rt△ ADE(\mathrm{HL})$，
$\therefore AC=AE$。
$\because AC=AF+CF$，且由(1)得$CF=EB$，
$\therefore AC=AF+EB$，
$\therefore AF+EB=AE$。
【答案】
(1) $CF=EB$得证；(2) $AF+EB=AE$得证
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形与角平分线性质结合的基础综合题，解题核心是利用角平分线性质得到相等的线段，再通过证明全等实现线段的等量转化，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7