【例2】(2024秋中山市校级期中)下列各式中，
积为正数的是 （）

A.$0×(-3)×4×(-9)$
B.$3×(-2)×(-16)$
C.$2×5×(-7)$
D.$(-5)×(-3)×(-\dfrac{1}{2})$

B

【分析】
解决本题的核心是运用多个有理数相乘的符号判定法则：①若相乘的因数中有0，则积为0，0既不是正数也不是负数；②若所有因数都不为0，积的符号由负因数的个数决定：负因数个数为偶数时，积为正数；负因数个数为奇数时，积为负数。解题时只需逐个分析每个选项的积的符号，选出积为正数的选项即可。
【解析】
我们依次分析每个选项：
A选项：算式中含有因数0，根据“0乘任何数都得0”，可得乘积为0，0不是正数，不符合要求；
B选项：算式中负因数有2个，为偶数个，因此乘积为正数，符合要求；
C选项：算式中负因数有1个，为奇数个，因此乘积为负数，不符合要求；
D选项：算式中负因数有3个，为奇数个，因此乘积为负数，不符合要求。
综上，符合条件的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 有理数乘法符号法则
2. 有理数乘法运算
【点评】
本题是有理数乘法的基础题型，解题关键是熟练掌握多个有理数相乘时积的符号的判断方法，做题时注意先判断是否含有因数0，再数负因数的个数即可快速得出结果，只要细心计算不容易出错。
【难度系数】
0.9

【变式】下列计算中错误的是 （）

A.$-6×(-5)×(-3)×(-2)=180$
B.$(-36)×(\frac{1}{6}-\frac{1}{9}-\frac{1}{3})=-6+4+12=10$
C.$(-15)×(-4)×(+\frac{1}{5})×(-\frac{1}{2})=6$
D.$-3×(+5)-3×(-1)-(-3)×2=-3×(5-1-2)=-6$

C

【分析】
本题要求找出计算错误的选项，解题思路是逐一验证每个选项的计算过程和结果是否正确：首先根据有理数乘法的符号法则（几个不为0的数相乘，负因数的个数为偶数时积为正，负因数个数为奇数时积为负）判断积的符号，再结合乘法运算律计算数值，对比选项给出的结果判断正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：4个负因数相乘，负因数个数为偶数，积为正，计算数值：$6×5×3×2=180$，结果为180，计算正确。
B选项：运用乘法分配律，将-36分别乘括号内的每一项：
$(-36)×\frac{1}{6} + (-36)×(-\frac{1}{9}) + (-36)×(-\frac{1}{3}) = -6 + 4 + 12 = 10$，计算正确。
C选项：算式中负因数有$(-15)$、$(-4)$、$(-\frac{1}{2})$共3个，负因数个数为奇数，积应为负，计算数值：$15×4×\frac{1}{5}×\frac{1}{2}=6$，加上负号结果为$-6$，选项给出结果为6，计算错误。
D选项：逆用乘法分配律，提取公因式$-3$：
$-3×(+5)-3×(-1)-(-3)×2 = -3×5 + (-3)×(-1) + (-3)×(-2) = -3×(5 - 1 - 2) = -3×2 = -6$，计算正确。
综上，计算错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘法法则，乘法分配律，符号运算规则
【点评】
本题主要考查有理数乘法的相关运算，解题的关键是准确判断乘积的符号，熟练掌握乘法运算律的正、逆用方法，计算时需格外注意符号避免出错。
【难度系数】
0.7

1. 计算$(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4})×(-12)$，运用哪种运算律可避免通分（）

A.加法交换律
B.加法结合律
C.乘法交换律
D.乘法分配律

D

【分析】
首先明确题目要求是选择能避免通分的运算律。观察算式特征：括号内是含分母2、3、4的分数加减运算，括号外的乘数-12恰好是2、3、4的公倍数。如果先算括号内的和，需要通分计算，过程繁琐；若能将-12分别与括号内的每一项相乘，就可以直接约去分母，转化为整数运算，无需通分。再对应运算律判断：加法交换律、加法结合律仅能调整括号内加法的顺序或结合方式，仍需计算括号内的分数加减，无法避免通分；乘法交换律仅交换两个因数的位置，不能简化括号内的运算；只有乘法分配律满足“一个数乘几个数的和，等于这个数分别乘这几个数，再把积相加”的特征，能实现约分避免通分。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 选项A（加法交换律）：仅能交换括号内加数的位置，仍需计算括号内的分数加减，必须通分，不符合要求；
2. 选项B（加法结合律）：仅能调整括号内加数的结合顺序，还是需要计算括号内的分数和，无法避免通分，不符合要求；
3. 选项C（乘法交换律）：仅能将算式改写为$(-12)×(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4})$，没有简化运算，仍需通分计算括号内的结果，不符合要求；
4. 选项D（乘法分配律）：根据乘法分配律$(a+b+c+d)×e = a×e + b×e + c×e + d×e$，原式可展开为：
$1×(-12) + (-\dfrac{1}{2})×(-12) + \dfrac{1}{3}×(-12) + \dfrac{1}{4}×(-12)$
每一项计算时都可以直接约去分母，转化为整数运算$-12 + 6 - 4 - 3$，完全不需要通分，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
乘法分配律；有理数简便运算
【点评】
本题考查有理数乘法运算律的实际应用，解题关键是观察算式特征，根据运算律的作用选择合适的简便计算方法，使用乘法分配律计算含有分数的乘法时，可有效避免通分，简化计算过程。
【难度系数】
0.9

2. 下列各式中，积为负数的是（）

A.$0×(-5)$
B.$4×(-0.5)×(-10)$
C.$(-1.5)×(-1.2)$
D.$(-2)×(-1.5)×(-0.2)$

D

【分析】
要判断几个有理数相乘的积是否为负数，需依据有理数乘法的符号规则：①若乘法算式中含有因数0，则积为0，0既不是正数也不是负数；②若所有因数都不为0，积的符号由负因数的个数决定，当负因数个数为奇数时积为负，负因数个数为偶数时积为正。解题时逐个分析选项，结合上述规则判断即可。
【解析】
我们对每个选项逐一计算判断：
A选项：$0×(-5)=0$，0既不是正数也不是负数，不符合要求；
B选项：算式中有2个负因数，负因数个数为偶数，积为正，计算得$4×(-0.5)×(-10)=4×5=20＞0$，不符合要求；
C选项：算式中有2个负因数，负因数个数为偶数，积为正，计算得$(-1.5)×(-1.2)=1.8＞0$，不符合要求；
D选项：算式中有3个负因数，负因数个数为奇数，积为负，计算得$(-2)×(-1.5)×(-0.2)=3×(-0.2)=-0.6＜0$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法符号法则；有理数乘法运算
【点评】
本题是有理数乘法的基础题型，核心是掌握“奇负偶正”的积的符号判断规律，解题时注意优先检查算式中是否含因数0，可快速排除错误选项。
【难度系数】
0.9

3. (2024秋望花区期末)若(-6)×4×的运算结果为正数，则内的数字可以为()

A.2
B.1
C.0
D.-1

D

【分析】
解题时先回忆有理数乘法的符号规律：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为偶数时积为正，负因数个数为奇数时积为负；若乘数中有0，则积为0。首先计算已知两个乘数的乘积符号：$(-6)×4$的结果是负数，要让最终运算结果为正数，根据“负负得正”的乘法规律，可知方框内的数必须是负数，同时要排除结果为0的情况，最后结合选项判断即可。
【解析】
解：先计算已知部分的乘积：
$(-6)×4=-24$
要使$(-6)×4×□$的运算结果为正数，即$-24×□＞0$。
根据有理数乘法“同号得正，异号得负”的法则，可知内的数必须为负数，且不能为0（若填0，乘积为0，不符合正数的要求）。
观察选项：A选项2、B选项1均为正数，C选项0不符合要求，只有D选项的-1是负数，满足条件。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法法则；正数的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查有理数乘法中积的符号判定，解题的关键是牢记有理数乘法的符号规律，同时注意0乘任何数都得0的特殊性质，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

4. (2024秋香洲区期中)计算: $4×3.6×(-2.5)×5=$ .

-180

【分析】
本题考查有理数的乘法简便运算，解题思路如下：首先观察算式中的因数，发现4与-2.5相乘可以得到整数，3.6与5相乘计算也较简便，因此可以利用乘法交换律交换因数的位置，再用乘法结合律将能凑整的因数分组先算，最后计算两组结果的乘积即可，计算时注意先根据负因数的个数判断最终结果的符号。
【解析】
解：利用乘法交换律和结合律计算：
$\begin{split}& 4×3.6×(-2.5)×5\\=& [4×(-2.5)]×(3.6×5)\\=& (-10)×18\\=& -180\end{split}$
【答案】
-180
【知识点】
有理数乘法运算；乘法交换律；乘法结合律
【点评】
本题属于基础计算题，核心是合理运用乘法运算律简化计算过程，解题时要注意优先观察可凑整的因数组合，同时牢记奇数个负因数相乘时结果为负，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.8

5. 在数5，-6，3，-2，1中，任意取3个不同的数相乘，其中乘积最大是。

60

【分析】
要找出三个不同数相乘的最大乘积，首先根据有理数乘法“同号得正、异号得负”的规则，最大的乘积一定是正数（正数大于所有负数）。乘积为正的情况有两种：①三个正数相乘；②两个负数和一个正数相乘。我们只需要分别算出这两种情况的最大乘积，再比较大小就能得到结果。
【解析】
第一步：先对给出的数分类：正数有5、3、1，负数有-6、-2。
第二步：计算三个正数相乘的最大乘积：选最大的三个正数相乘，即$5 × 3 × 1 = 15$。
第三步：计算两个负数加一个正数相乘的最大乘积：要让乘积最大，先选绝对值最大的两个负数（保证负因数乘积最大），再选最大的正数，即$(-6) × (-2) × 5 = 12 × 5 = 60$。
第四步：比较两个结果：$60 ＞ 15$，因此最大乘积是60。
【答案】
60
【知识点】
有理数乘法法则、有理数大小比较
【点评】
本题解题的关键是先结合乘法符号规则锁定乘积为正的所有可能情况，再分别计算不同情况的最大值进行比较，要注意不要遗漏两负一正的乘积情况，避免直接选三个正数相乘得到错误结果。
【难度系数】
0.7

6. 写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则：
$(-0.4)×(-0.8)×(-1.25)×2.5$
$=-(0.4×0.8×1.25×2.5)$(第一步)
$=-(0.4×2.5×0.8×1.25)$(第二步)
$=-[(0.4×2.5)×(0.8×1.25)]$(第三步)
$=-1×1$
$=-1.$
第一步:确定的符号,并把绝对值;
第二步:;
第三步:.

第一步:确定积的符号,并把绝对值相乘;
第二步:乘法交换律;
第三步:乘法结合律

【分析】
要判断每一步的运算依据，可结合有理数乘法规则和乘法运算律的定义逐一分析：首先回忆多个非零有理数相乘的运算步骤，先确定积的符号，再计算绝对值的乘积；再对比乘法交换律、结合律的特征，匹配对应变形即可。
【解析】
第一步：多个不为0的有理数相乘时，先根据负因数的个数确定积的符号，本题有3个负因数，负因数个数为奇数，因此积为负，再把所有因数的绝对值相乘，所以第一步的依据是确定积的符号，并把绝对值相乘；
第二步：该步交换了因数0.8和2.5的位置，交换因数位置后积不变，符合乘法交换律的特征；
第三步：该步将0.4与2.5结合、0.8与1.25结合优先计算，仅改变了运算顺序，积不变，符合乘法结合律的特征。
【答案】
第一步:确定积的符号,并把绝对值相乘;
第二步:乘法交换律;
第三步:乘法结合律
【知识点】
有理数乘法法则、乘法交换律、乘法结合律
【点评】
本题是有理数乘法运算的基础题，核心考查运算规则和运算律的识别，掌握相关定义的形式特征即可快速解题，熟练运用这些运算律还能简化乘法计算的过程。
【难度系数】
0.8

7. 计算：
(1) $(+16) × \dfrac{3}{26} × (-8\dfrac{2}{3})$；
(2) $(-15) × (-8) × (-125)$。

(1)原式$=-16×(\dfrac{3}{26}×\dfrac{26}{3})$
$=-16.$
(2)原式$=-15×8×125$
$=-15×1\ 000$
$=-15\ 000.$

【分析】
(1) 解题时先处理带分数，把$-8\dfrac{2}{3}$化为假分数$-\dfrac{26}{3}$；先确定积的符号：三个因数中有1个负数，负因数个数为奇数，所以积为负；再观察数字特点，$\dfrac{3}{26}$和$\dfrac{26}{3}$互为倒数，乘积为1，可利用乘法结合律先算这两个数的乘积，简化计算。
(2) 先确定积的符号：三个因数都是负数，负因数个数为奇数，所以积为负；再观察到$8×125=1000$是整千数，可利用乘法结合律先算后两个数的乘积，再与15相乘，简化运算。
【解析】
(1) 先将带分数转化为假分数：$-8\dfrac{2}{3}=-\dfrac{26}{3}$
$\begin{aligned}原式&=-16×(\dfrac{3}{26}×\dfrac{26}{3})\\&=-16×1\\&=-16\end{aligned}$
(2) 先确定乘积符号，再结合乘法结合律计算：
$\begin{aligned}原式&=-15×(8×125)\\&=-15×1000\\&=-15000\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-16}$；(2) $\boxed{-15000}$
【知识点】
有理数乘法法则；乘法结合律；多个有理数相乘的符号判定
【点评】
这两道题是有理数乘法的基础运算题，解题核心是先根据负因数的个数确定乘积的符号，再观察数字特征，灵活运用乘法运算律简化计算，能有效减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.8