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6.如图,已知$AB=AC$,$BD=CD$,$∠ A=60°$,$∠ D=140°$,则$∠ B$的度数是 (
A.$50°$
B.$40°$
C.$35°$
D.$30°$
B
)A.$50°$
B.$40°$
C.$35°$
D.$30°$
答案
6.B
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，观察已知条件给出两组边相等：$AB=AC$，$BD=CD$，且$△ ABD$和$△ ACD$有公共边$AD$，因此可通过SSS判定两个三角形全等；第二步，根据全等三角形的性质得到对应角相等，即$∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ADB=∠ ADC$；第三步，先求出$∠ BAD$的度数，再结合周角的性质算出$∠ ADB$的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出$∠ B$的度数。
【解析】
解：连接$AD$，
在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}AB=AC \\BD=CD \\AD=AD\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$，$∠ ADB=∠ ADC$
$\because ∠ BDC=140°$，$∠ ADB+∠ ADC+∠ BDC=360°$
$\therefore ∠ ADB=\frac{360°-140°}{2}=110°$
在$△ ABD$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ B=180°-∠ BAD-∠ ADB=180°-30°-110°=40°$
【答案】
B
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，再结合角的和差关系、三角形内角和定理计算角度。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，观察已知条件给出两组边相等：$AB=AC$，$BD=CD$，且$△ ABD$和$△ ACD$有公共边$AD$，因此可通过SSS判定两个三角形全等；第二步，根据全等三角形的性质得到对应角相等，即$∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ADB=∠ ADC$；第三步，先求出$∠ BAD$的度数，再结合周角的性质算出$∠ ADB$的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出$∠ B$的度数。
【解析】
解：连接$AD$，
在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}AB=AC \\BD=CD \\AD=AD\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$，$∠ ADB=∠ ADC$
$\because ∠ BDC=140°$，$∠ ADB+∠ ADC+∠ BDC=360°$
$\therefore ∠ ADB=\frac{360°-140°}{2}=110°$
在$△ ABD$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ B=180°-∠ BAD-∠ ADB=180°-30°-110°=40°$
【答案】
B
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，再结合角的和差关系、三角形内角和定理计算角度。
【难度系数】
0.7
7. 分类讨论思想 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(-6,1)，B(-2,1)，C(-8,3)，线段DE的两个端点分别为D(-1,6)，E(-1,2)。若网格中有一点F，且以D，E，F为顶点的三角形与△ABC全等，则点F的坐标为
$(-3,8)$或$(-3,0)$
。答案
7.$(-3,8)$或$(-3,0)$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们首先需要计算△ABC各边的长度，对比线段DE的长度确定全等时的对应边，再根据SSS全等判定定理分情况讨论点F的位置，结合勾股定理计算出F点的坐标。
第一步：先算△ABC的边长，A、B两点纵坐标相同，AB长度为两点横坐标差的绝对值，再用勾股定理算出AC、BC的长度；
第二步：计算DE的长度，发现DE与AB长度相等，因此二者是全等三角形的对应边；
第三步：分两种情况讨论F点位置，使得△DEF另外两条边分别等于AC、BC，结合网格坐标求出F的坐标。
【解析】
1. 计算△ABC各边长度：
已知$A(-6,1)$，$B(-2,1)$，$C(-8,3)$，
AB两点纵坐标相同，因此$AB = |-2 - (-6)| = 4$；
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{(-6+8)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8}$，
$BC = \sqrt{(-2+8)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{40}$。
2. 计算DE的长度：
已知$D(-1,6)$，$E(-1,2)$，两点横坐标相同，因此$DE = |6 - 2| = 4$，可得$AB=DE$，二者为全等三角形的对应边。
3. 设点F坐标为$(x,y)$，根据SSS全等判定分两种情况计算：
情况1：$DF=AC=\sqrt{8}$，$EF=BC=\sqrt{40}$，列方程：
$\begin{cases}(x+1)^2 + (y-6)^2 = 8 \\(x+1)^2 + (y-2)^2 = 40 \end{cases}$
两式相减消去$(x+1)^2$，解得$y=8$，代入第一个方程得$(x+1)^2=4$，结合网格位置取$x=-3$，即$F(-3,8)$。
情况2：$DF=BC=\sqrt{40}$，$EF=AC=\sqrt{8}$，列方程：
$\begin{cases}(x+1)^2 + (y-6)^2 = 40 \\(x+1)^2 + (y-2)^2 = 8 \end{cases}$
两式相减消去$(x+1)^2$，解得$y=0$，代入第一个方程得$(x+1)^2=4$，结合网格位置取$x=-3$，即$F(-3,0)$。
【答案】
$(-3,8)$或$(-3,0)$
【知识点】
1. SSS判定三角形全等
2. 勾股定理的应用
3. 平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是全等三角形与平面直角坐标系结合的典型题型，解题关键是先确定等长的对应边，再通过分类讨论结合勾股定理求解未知点坐标，做题时要注意避免漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们首先需要计算△ABC各边的长度，对比线段DE的长度确定全等时的对应边，再根据SSS全等判定定理分情况讨论点F的位置，结合勾股定理计算出F点的坐标。
第一步：先算△ABC的边长，A、B两点纵坐标相同，AB长度为两点横坐标差的绝对值，再用勾股定理算出AC、BC的长度；
第二步：计算DE的长度，发现DE与AB长度相等，因此二者是全等三角形的对应边；
第三步：分两种情况讨论F点位置，使得△DEF另外两条边分别等于AC、BC，结合网格坐标求出F的坐标。
【解析】
1. 计算△ABC各边长度：
已知$A(-6,1)$，$B(-2,1)$，$C(-8,3)$，
AB两点纵坐标相同，因此$AB = |-2 - (-6)| = 4$；
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{(-6+8)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8}$，
$BC = \sqrt{(-2+8)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{40}$。
2. 计算DE的长度：
已知$D(-1,6)$，$E(-1,2)$，两点横坐标相同，因此$DE = |6 - 2| = 4$，可得$AB=DE$，二者为全等三角形的对应边。
3. 设点F坐标为$(x,y)$，根据SSS全等判定分两种情况计算：
情况1：$DF=AC=\sqrt{8}$，$EF=BC=\sqrt{40}$，列方程：
$\begin{cases}(x+1)^2 + (y-6)^2 = 8 \\(x+1)^2 + (y-2)^2 = 40 \end{cases}$
两式相减消去$(x+1)^2$，解得$y=8$，代入第一个方程得$(x+1)^2=4$，结合网格位置取$x=-3$，即$F(-3,8)$。
情况2：$DF=BC=\sqrt{40}$，$EF=AC=\sqrt{8}$，列方程：
$\begin{cases}(x+1)^2 + (y-6)^2 = 40 \\(x+1)^2 + (y-2)^2 = 8 \end{cases}$
两式相减消去$(x+1)^2$，解得$y=0$，代入第一个方程得$(x+1)^2=4$，结合网格位置取$x=-3$，即$F(-3,0)$。
【答案】
$(-3,8)$或$(-3,0)$
【知识点】
1. SSS判定三角形全等
2. 勾股定理的应用
3. 平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是全等三角形与平面直角坐标系结合的典型题型，解题关键是先确定等长的对应边，再通过分类讨论结合勾股定理求解未知点坐标，做题时要注意避免漏解。
【难度系数】
0.6
8. [2026合肥期中]如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
(1)求证:∠A=∠D;
(2)若∠A=70°,∠B=40°,FG平分∠DFFE,且FG交AC于点G,求∠CGF的度数.
(1)求证:∠A=∠D;
(2)若∠A=70°,∠B=40°,FG平分∠DFFE,且FG交AC于点G,求∠CGF的度数.
答案
8.(1)证明：略. (2)解：$∠ CGF=35°$.
解析
【分析】
(1) 要证∠A=∠D，需先证△ABC和△DEF全等。已知两组对应边相等，可由BE=CF推出BC=EF，结合已知的AB=DE、AC=DF，用"SSS"判定定理即可证两三角形全等，再根据全等三角形对应角相等即可得结论。
(2) 先利用全等三角形对应角相等得到∠ACB、∠DFE的度数，再结合角平分线的定义求出∠GFE的度数，最后利用三角形外角的性质计算∠CGF的度数即可。
【解析】
(1) 证明：
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即$BC=EF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}AB=DE \\AC=DF \\BC=EF\end{cases}$
∴$△ ABC≌△ DEF(\mathrm{SSS})$，
∴$∠ A=∠ D$。
(2) 解：
在$△ ABC$中，$∠ A=70°$，$∠ B=40°$，
由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-70°-40°=70°$。
由(1)知$△ ABC≌△ DEF$，
∴$∠ DFE=∠ ACB=70°$。
∵FG平分$∠ DFE$，
∴$∠ GFE=\frac{1}{2}∠ DFE=\frac{1}{2}×70°=35°$。
∵$∠ ACB$是$△ GCF$的外角，外角等于不相邻两个内角的和，
∴$∠ ACB=∠ CGF+∠ GFE$，
∴$∠ CGF=∠ ACB-∠ GFE=70°-35°=35°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{35°}$
【知识点】
SSS判定三角形全等，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何综合题，结合了全等三角形的判定、性质和角度计算相关知识，解题核心是先通过全等得到对应角相等，再结合角度性质求解，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和角度计算的常用方法。
【难度系数】
0.7
(1) 要证∠A=∠D，需先证△ABC和△DEF全等。已知两组对应边相等，可由BE=CF推出BC=EF，结合已知的AB=DE、AC=DF，用"SSS"判定定理即可证两三角形全等，再根据全等三角形对应角相等即可得结论。
(2) 先利用全等三角形对应角相等得到∠ACB、∠DFE的度数，再结合角平分线的定义求出∠GFE的度数，最后利用三角形外角的性质计算∠CGF的度数即可。
【解析】
(1) 证明：
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即$BC=EF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}AB=DE \\AC=DF \\BC=EF\end{cases}$
∴$△ ABC≌△ DEF(\mathrm{SSS})$，
∴$∠ A=∠ D$。
(2) 解：
在$△ ABC$中，$∠ A=70°$，$∠ B=40°$，
由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-70°-40°=70°$。
由(1)知$△ ABC≌△ DEF$，
∴$∠ DFE=∠ ACB=70°$。
∵FG平分$∠ DFE$，
∴$∠ GFE=\frac{1}{2}∠ DFE=\frac{1}{2}×70°=35°$。
∵$∠ ACB$是$△ GCF$的外角，外角等于不相邻两个内角的和，
∴$∠ ACB=∠ CGF+∠ GFE$，
∴$∠ CGF=∠ ACB-∠ GFE=70°-35°=35°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{35°}$
【知识点】
SSS判定三角形全等，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何综合题，结合了全等三角形的判定、性质和角度计算相关知识，解题核心是先通过全等得到对应角相等，再结合角度性质求解，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和角度计算的常用方法。
【难度系数】
0.7
9. 推理能力 [2026 北京模拟] 已知:在$△ ABC$中,AD为边BC上的中线,$AB=AE$,$AC=AF$,$∠ CAF=∠ BAE$,连接BF,CE,EF.
(1)若$∠ ACE=40°$,$∠ EFB=20°$,求$∠ AFE$的度数;
(2)若$AD=\frac{1}{2}EF$,求证:$AB⊥ AE$.
(1)若$∠ ACE=40°$,$∠ EFB=20°$,求$∠ AFE$的度数;
(2)若$AD=\frac{1}{2}EF$,求证:$AB⊥ AE$.
答案
9.(1)解：$∠ AFE=20°$. (2)证明：略.
解析
【分析】
（1）首先利用已知的等角∠CAF=∠BAE，通过角的和差推导得到夹角∠FAB=∠CAE，结合已知的两组等边AB=AE、AC=AF，用SAS判定△FAB和△CAE全等，得到对应角∠AFB=∠ACE，再结合给出的∠EFB的度数，通过角的减法即可求出∠AFE的度数。
（2）遇到三角形中线的问题可采用倍长中线法构造全等三角形，延长AD到G使DG=AD，连接BG，先证明△ADC和△GDB全等，得到BG=AC=AF，且AG=2AD=EF，再结合AB=AE，用SSS判定△ABG和△EAF全等，推导得到∠EAF与∠BAC互补，结合∠BAE=∠CAF，利用周角的性质即可推出∠BAE=90°，完成AB⊥AE的证明。
【解析】
（1）解：
∵$∠ CAF=∠ BAE$，
∴$∠ CAF + ∠ BAC = ∠ BAE + ∠ BAC$，即$∠ FAB=∠ CAE$，
在$△ FAB$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}AF=AC \\∠ FAB=∠ CAE \\AB=AE\end{cases}$
∴$△ FAB≌△ CAE$（SAS），
∴$∠ AFB=∠ ACE=40°$，
又
∵$∠ EFB=20°$，
∴$∠ AFE=∠ AFB - ∠ EFB=40° - 20°=20°$。
（2）证明：
延长$AD$到$G$，使$DG=AD$，连接$BG$，
∵$AD$是$BC$边上的中线，
∴$BD=CD$，
在$△ ADC$和$△ GDB$中：
$\begin{cases}AD=GD \\∠ ADC=∠ GDB \\CD=BD\end{cases}$
∴$△ ADC≌△ GDB$（SAS），
∴$BG=AC$，$∠ G=∠ DAC$，
∴$AC// BG$，
∴$∠ ABG + ∠ BAC=180°$，
∵$AC=AF$，
∴$BG=AF$，
∵$AD=\frac{1}{2}EF$，
∴$EF=2AD=AG$，
在$△ ABG$和$△ EAF$中：
$\begin{cases}AB=AE \\BG=AF \\AG=EF\end{cases}$
∴$△ ABG≌△ EAF$（SSS），
∴$∠ ABG=∠ EAF$，
∴$∠ EAF + ∠ BAC=180°$，
∵点$A$处周角为$360°$，
∴$∠ BAE + ∠ CAF + ∠ EAF + ∠ BAC=360°$，
∴$∠ BAE + ∠ CAF=360° - 180°=180°$，
又
∵$∠ BAE=∠ CAF$，
∴$∠ BAE=90°$，即$AB⊥ AE$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20°}$；(2) 证明如上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，倍长中线构造全等，垂直的判定
【点评】
本题是三角形全等的综合应用题，第一问侧重全等三角形的基础判定和角的和差计算，第二问的倍长中线是几何中处理中线问题的常用辅助线方法，整体对逻辑推理能力有一定要求，掌握全等三角形的判定定理和常用辅助线做法是解题的核心。
【难度系数】
0.6
（1）首先利用已知的等角∠CAF=∠BAE，通过角的和差推导得到夹角∠FAB=∠CAE，结合已知的两组等边AB=AE、AC=AF，用SAS判定△FAB和△CAE全等，得到对应角∠AFB=∠ACE，再结合给出的∠EFB的度数，通过角的减法即可求出∠AFE的度数。
（2）遇到三角形中线的问题可采用倍长中线法构造全等三角形，延长AD到G使DG=AD，连接BG，先证明△ADC和△GDB全等，得到BG=AC=AF，且AG=2AD=EF，再结合AB=AE，用SSS判定△ABG和△EAF全等，推导得到∠EAF与∠BAC互补，结合∠BAE=∠CAF，利用周角的性质即可推出∠BAE=90°，完成AB⊥AE的证明。
【解析】
（1）解：
∵$∠ CAF=∠ BAE$，
∴$∠ CAF + ∠ BAC = ∠ BAE + ∠ BAC$，即$∠ FAB=∠ CAE$，
在$△ FAB$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}AF=AC \\∠ FAB=∠ CAE \\AB=AE\end{cases}$
∴$△ FAB≌△ CAE$（SAS），
∴$∠ AFB=∠ ACE=40°$，
又
∵$∠ EFB=20°$，
∴$∠ AFE=∠ AFB - ∠ EFB=40° - 20°=20°$。
（2）证明：
延长$AD$到$G$，使$DG=AD$，连接$BG$，
∵$AD$是$BC$边上的中线，
∴$BD=CD$，
在$△ ADC$和$△ GDB$中：
$\begin{cases}AD=GD \\∠ ADC=∠ GDB \\CD=BD\end{cases}$
∴$△ ADC≌△ GDB$（SAS），
∴$BG=AC$，$∠ G=∠ DAC$，
∴$AC// BG$，
∴$∠ ABG + ∠ BAC=180°$，
∵$AC=AF$，
∴$BG=AF$，
∵$AD=\frac{1}{2}EF$，
∴$EF=2AD=AG$，
在$△ ABG$和$△ EAF$中：
$\begin{cases}AB=AE \\BG=AF \\AG=EF\end{cases}$
∴$△ ABG≌△ EAF$（SSS），
∴$∠ ABG=∠ EAF$，
∴$∠ EAF + ∠ BAC=180°$，
∵点$A$处周角为$360°$，
∴$∠ BAE + ∠ CAF + ∠ EAF + ∠ BAC=360°$，
∴$∠ BAE + ∠ CAF=360° - 180°=180°$，
又
∵$∠ BAE=∠ CAF$，
∴$∠ BAE=90°$，即$AB⊥ AE$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20°}$；(2) 证明如上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，倍长中线构造全等，垂直的判定
【点评】
本题是三角形全等的综合应用题，第一问侧重全等三角形的基础判定和角的和差计算，第二问的倍长中线是几何中处理中线问题的常用辅助线方法，整体对逻辑推理能力有一定要求，掌握全等三角形的判定定理和常用辅助线做法是解题的核心。
【难度系数】
0.6
