1. 如图，AD，BC交于点O，$∠ A=∠ C$，点E，F分别是AB，CD的中点，则图中相似三角形共有()。


A.4对
B.3对
C.2对
D.1对

1.B

【分析】
解题时先从已知条件和图形特征入手，首先观察到有对顶角和已知相等的∠A、∠C，可先判定第一组相似三角形；再利用相似三角形的性质得到对应边成比例、对应角相等，结合E、F是中点的条件，推导另外两组边成比例且夹角相等的关系，进而判定其余的相似三角形，最后统计总对数即可。
【解析】
1. 判定$△ AOB ∽ △ COD$：
在$△ AOB$和$△ COD$中，$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ C\\ ∠ AOB=∠ COD（对顶角相等）\end{array} $，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ AOB ∽ △ COD$。
2. 推导相似性质：
由$△ AOB ∽ △ COD$，得$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$，且对应角$∠ B=∠ D$。
3. 结合中点条件转化边长：
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$，$BE=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}CD$，因此$\frac{AE}{CF}=\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}$，$\frac{BE}{DF}=\frac{AB}{CD}=\frac{OB}{OD}$。
4. 判定$△ AOE ∽ △ COF$：
在$△ AOE$和$△ COF$中，$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ C\\ \frac{AE}{CF}=\frac{OA}{OC}\end{array} $，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△ AOE ∽ △ COF$。
5. 判定$△ BOE ∽ △ DOF$：
在$△ BOE$和$△ DOF$中，$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ D\\ \frac{BE}{DF}=\frac{OB}{OD}\end{array} $，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△ BOE ∽ △ DOF$。
综上，共有3对相似三角形。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形判定、对顶角性质、线段中点定义
【点评】
本题考查相似三角形判定的综合应用，解题的关键是先找到基础相似三角形，再利用其性质推导其余相似关系，注意不要遗漏成比例边和对应相等角的匹配。
【难度系数】
0.7

2. 如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,现有甲、乙两名学生分别把△ABC剪出一个三角形和一个四边形,其中剪出的三角形用阴影部分表示,则阴影部分的三角形与△ABC的相似情况是()。

A.只有甲相似
B.只有乙相似
C.甲、乙都不相似
D.甲、乙都相似

（第2题）（第3题）

2.B

【分析】
要判断阴影三角形与△ABC是否相似，我们可利用相似三角形中“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，分别分析甲、乙两种情况：
1. 先分析甲的阴影三角形：它和△ABC有公共角∠A，只需验证夹这个公共角的两组边是否成比例即可。
2. 再分析乙的阴影三角形：它和△ABC有公共角∠B，同样验证夹∠B的两组边是否成比例即可判断相似性。
【解析】
分析甲的情况
阴影三角形与△ABC有公共角∠A，阴影三角形夹∠A的两边长分别为2、3；△ABC夹∠A的两边分别为AB=4、AC（AC长度未知，无条件说明AC=6）。
计算比例：$\frac{2}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，但$\frac{3}{AC}≠\frac{1}{2}$，因此夹∠A的两边不成比例，甲的阴影三角形与△ABC不相似。
分析乙的情况
设阴影三角形在AB边上的交点为D，BC边上的交点为E，阴影三角形与△ABC有公共角∠B。
先计算夹∠B的两边长度：
$BD = AB - 1 = 4 - 1 = 3$，$BE = BC - 4 = 6 - 4 = 2$。
计算对应边比例：$\frac{BE}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{BD}{BC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，即$\frac{BE}{AB}=\frac{BD}{BC}$，且夹角∠B为公共角，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得乙的阴影三角形与△ABC相似。
综上，只有乙的阴影三角形与△ABC相似。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题核心是利用两边及夹角的相似判定定理解题，解题时要注意找准对应边，避免对应边匹配错误，同时要注意题目未给出的边长不能默认相等。
【难度系数】
0.7

3. 如图，已知$∠ 1=∠ 2$，添加一个条件后，仍无法判定$△ ABC ∽ △ ADE$的是（）。

A.$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$
B.$∠ B=∠ D$
C.$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$
D.$∠ C=∠ AED$

3.C

【分析】
首先由已知∠1=∠2，可推导出两个三角形的一组对应角∠BAC=∠DAE。要判定△ABC∽△ADE，已有一组角相等，根据相似三角形的判定定理，要么补充另一组对应角相等，要么补充这组相等角的两组对应边成比例。接下来逐一分析各选项的条件是否符合判定要求即可。
【解析】
∵∠1=∠2
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠BAC=∠DAE
A选项：若$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，结合∠BAC=∠DAE，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
B选项：若∠B=∠D，结合∠BAC=∠DAE，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
C选项：若$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，相等的角∠BAC和∠DAE不是这两组成比例边的夹角，属于“两边成比例但非夹角相等”的情况，无法判定△ABC∽△ADE，符合题意；
D选项：若∠C=∠AED，结合∠BAC=∠DAE，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.角的和差计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题关键是先根据已知角相等推出两组三角形的公共对应等角，再结合判定定理逐一验证选项，需要注意“两边成比例且夹角相等”的判定中，边的对应关系不能混淆，非夹角的等角无法用该判定证明相似。
【难度系数】
0.7

4. 如图,在四边形ABCD中,AB=2,AD=4,BD=3,BC=6,DC=4.5。
求证:AB//DC。

4. 证明:$\because AB=2,AD=4,BD=3,BC=6,DC=4.5$,
$\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{2}{3},\frac{AD}{BC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},\frac{BD}{DC}=\frac{3}{4.5}=\frac{2}{3}$,
$\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{AD}{BC}=\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3}$,
$\therefore △ ABD ∽ △ BDC$,
$\therefore ∠ ABD=∠ BDC$,
$\therefore AB// DC$。

【分析】
要证明AB//DC，可通过证明内错角∠ABD=∠BDC实现。已知条件给出了多组边的长度，因此考虑通过证明△ABD和△BDC相似得到对应角相等。首先计算两个三角形对应边的比值，验证是否满足三边对应成比例，若满足则可判定两三角形相似，进而得到对应角相等，最终推出两直线平行。
【解析】
证明：$\because AB=2,AD=4,BD=3,BC=6,DC=4.5$,
$\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{2}{3},\frac{AD}{BC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},\frac{BD}{DC}=\frac{3}{4.5}=\frac{2}{3}$,
$\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{AD}{BC}=\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3}$,
根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ABD ∽ △ BDC$,
由相似三角形对应角相等，得$∠ ABD=∠ BDC$,
根据内错角相等，两直线平行，可得$AB// DC$。
【答案】
证明:$\because AB=2,AD=4,BD=3,BC=6,DC=4.5$,
$\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{2}{3},\frac{AD}{BC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},\frac{BD}{DC}=\frac{3}{4.5}=\frac{2}{3}$,
$\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{AD}{BC}=\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3}$,
$\therefore △ ABD ∽ △ BDC$,
$\therefore ∠ ABD=∠ BDC$,
$\therefore AB// DC$。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，将相似三角形的判定、性质与平行线的判定相结合，解题的关键是能根据已知的边长信息，选择合适的相似三角形判定方法，通过角的等量关系完成平行的证明。
【难度系数】
0.7

1. 如图,在$△ ABC$中,点D,E分别在边AB,AC上,$DE// BC$,BE与CD相交于点F,下列结论正确的是()。

A.$\frac{DF}{BF}=\frac{EF}{CF}$
B.$\frac{DF}{CF}=\frac{AE}{CE}$
C.$\frac{AD}{AB}=\frac{EF}{BF}$
D.$\frac{AD}{BD}=\frac{DE}{BC}$

1.C

【分析】
已知DE//BC，可先推出两组相似三角形：△ADE∽△ABC、△DEF∽△CBF，再结合相似三角形对应边成比例的性质，逐个验证每个选项的比例式是否成立，推导时注意找准对应边，避免混淆。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
由相似三角形的性质可得：
$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，$\frac{DF}{CF}=\frac{EF}{BF}=\frac{DE}{BC}$。
对各选项逐一判断：
A选项：由$\frac{DF}{CF}=\frac{EF}{BF}$可得$DF· BF=EF· CF$，与$\frac{DF}{BF}=\frac{EF}{CF}$（即$DF· CF=EF· BF$）不符，A错误；
B选项：$\frac{DF}{CF}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}≠\frac{AE}{CE}$，B错误；
C选项：$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{EF}{BF}$，比例式成立，C正确；
D选项：$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}≠\frac{AD}{BD}$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用类题目，解题核心是根据平行条件快速找到相似三角形，准确识别相似三角形的对应边，再通过比例的等量代换判断结论是否正确，要注意避免混淆对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7

2. 如图，在正方形网格中，四个三角形的所有顶点都是格点，其中一定相似的是（）。

A.①③
B.①④
C.②③
D.②④

2.A

【分析】要判断网格中的两个三角形是否相似，可选用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定方法。我们可以先设每个小正方形的边长为1，再通过勾股定理计算出四个三角形的三边长，最后验证哪组三角形的三边比值完全相等，对应的两个三角形就相似。
【解析】设每个小正方形的边长为1，由勾股定理分别计算四个三角形的三边长：
三角形①的三边长为：$2$，$2\sqrt{2}$，$2\sqrt{5}$；
三角形②的三边长为：$\sqrt{5}$，$2\sqrt{2}$，$\sqrt{13}$；
三角形③的三边长为：$\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{10}$；
三角形④的三边长为：$\sqrt{5}$，$3$，$\sqrt{13}$。
验证①和③的边长比值：$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\sqrt{2}$，二者三边对应成比例，因此①和③相似。
【答案】A
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【点评】本题是网格中相似三角形的典型判断问题，解题核心是准确用勾股定理计算各三角形边长，再结合相似三角形的三边判定定理验证比例关系，做题时要注意边长计算准确，避免因计算失误失分。
【难度系数】0.7