3. 如图，D，E分别是$△ ABC$的边AB，AC上的动点，要使$△ ADE$与$△ ABC$相似，需添加一个条件。给出下列条件：
① $∠ AED = ∠ B$，② $∠ ADE = ∠ C$，
③ $DE // BC$，④ $\frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC}$，⑤ $\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$，
⑥ $\frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AB}$。
其中可以选择的条件有()。

A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
（第3题）

3.C

【分析】
本题考查相似三角形的判定，首先观察到△ADE与△ABC有公共角∠A，因此可结合相似三角形的判定定理，从“再加一组角相等”“夹公共角的两组边对应成比例”“平行线判定相似”三个方向逐一验证给出的6个条件即可。
【解析】
已知△ADE和△ABC有公共角∠A，逐个分析条件：
1. 条件①：∠AED=∠B，结合∠A=∠A，满足“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定△ADE∽△ACB，符合要求；
2. 条件②：∠ADE=∠C，结合∠A=∠A，满足“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定△ADE∽△ACB，符合要求；
3. 条件③：DE//BC，根据“平行于三角形一边的直线与另外两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，可判定△ADE∽△ABC，符合要求；
4. 条件④：$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{BC}$，所给成比例的边不是夹公共角∠A的对应边，边边角（SSA）不能判定三角形相似，不符合要求；
5. 条件⑤：$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，结合公共角∠A=∠A，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ADE∽△ACB，符合要求；
6. 条件⑥：$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AB}$，所给成比例的边不是夹公共角∠A的对应边，边边角（SSA）不能判定三角形相似，不符合要求。
综上，符合要求的条件有①②③⑤，共4个。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题的易错点是忽略相似三角形边的对应关系，误将非夹角边成比例的条件判定为可证相似，解题时要明确公共角所夹的两组对应边，同时熟练掌握相似三角形的各类判定定理。
【难度系数】
0.65

4. 如图，已知$∠ ACB=∠ CBD=90°$，$AC=8$，$CB=2$，要使$△ ABC$与$△ DBC$相似，则$BD$的长为（）。

A.$\frac{1}{2}$
B.8
C.2
D.$\frac{1}{2}$或8

4.D

【分析】
本题已知两个直角三角形有一组直角相等，要使两三角形相似，因未明确对应顶点的对应关系，需分两种情况讨论：分别确定两组不同的锐角对应关系，再根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知边长计算即可求出BD的长度。
【解析】
已知$∠ ACB=∠ CBD=90°$，两三角形相似时直角为对应角，分两种情况讨论：
1. 当$△ ACB ∽ △ CBD$时，对应边成比例：$\frac{AC}{CB}=\frac{CB}{BD}$，
将$AC=8$，$CB=2$代入得：$\frac{8}{2}=\frac{2}{BD}$，
解得$BD=\frac{2×2}{8}=\frac{1}{2}$；
2. 当$△ ACB ∽ △ DBC$时，对应边成比例：$\frac{AC}{BD}=\frac{CB}{BC}$，
将$AC=8$，$CB=BC=2$代入得：$\frac{8}{BD}=\frac{2}{2}$，
解得$BD=8$。
综上，$BD$的长为$\frac{1}{2}$或$8$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题考查相似三角形的性质应用，解题的关键是明确当相似三角形未给出对应顶点顺序时，要分类讨论所有可能的对应情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65

5. 如图，在$□ ABCD$中，延长边CD到点E使$DE=\frac{1}{2}CD$，BE与对角线AC相交于点F，则$\frac{AF}{AC}$的值等于。

5.$\frac{2}{5}$

【分析】
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB与CD的位置和数量关系；结合DE=1/2CD求出CE与AB的长度比，再根据平行线的性质找到相等的角，判定△ABF和△CEF相似；最后利用相似三角形对应边成比例得到AF与FC的比值，进一步推导得到AF与AC的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵DE=$\frac{1}{2}$CD，
∴CE=CD+DE=CD+$\frac{1}{2}$CD=$\frac{3}{2}$CD，
∴$\frac{AB}{CE}=\frac{CD}{\frac{3}{2}CD}=\frac{2}{3}$，
∵AB//CE，
∴∠ABF=∠E，∠BAF=∠ECF，
∴△ABF∽△CEF，
∴$\frac{AF}{FC}=\frac{AB}{CE}=\frac{2}{3}$，
设AF=2k（k≠0），则FC=3k，
∴AC=AF+FC=2k+3k=5k，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{2k}{5k}=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何比例计算的典型题型，核心是通过平行关系构造相似三角形，将未知线段比转化为已知线段比求解，需要熟练掌握平行四边形性质和相似三角形的判定规则。
【难度系数】
0.7

6. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，在边BC上取点E，BE=1，过点E作EF⊥AE交DC于点F，则DF的长为。

6.$\frac{1}{2}$

【分析】
本题是矩形背景下的线段长度求解问题，解题思路如下：首先利用矩形的性质得到直角和已知边的长度，再结合AE⊥EF的垂直条件，通过同角的余角相等得到一组相等的锐角，从而证明两个直角三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例求出未知线段CF的长度，再结合CD的长度求出DF。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD=2，BC=AD=4，
∵BE=1，
∴EC=BC-BE=4-1=3，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
又
∵在Rt△ABE中，∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF（同角的余角相等），
∴△ABE∽△ECF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$，
代入AB=2，EC=3，BE=1得：
$\frac{2}{3}=\frac{1}{CF}$，解得$CF=\frac{3}{2}$，
∴$DF=CD-CF=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，余角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是借助垂直关系推导等角，进而证明三角形相似，将所求线段和已知线段通过相似的比例关系建立联系，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7

7. 在菱形ABCD中，AD=5，AE⊥BC于点E，EC=2，连接BD交AE于点F，则AF的长为。

7.$\frac{5}{2}$

【分析】
解题时先利用菱形的性质得到边长关系与平行关系，先计算出BE的长度，再通过勾股定理求出AE的长度，最后根据AD与BC平行判定两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质求解AF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=5，且AD//BC，
∵EC=2，
∴BE=BC-EC=5-2=3，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∵AD//BC，
∴∠FAD=∠FEB，∠FDA=∠FBE，
∴△AFD∽△EFB，
∴$\frac{AF}{FE}=\frac{AD}{BE}=\frac{5}{3}$，
设AF=5k，FE=3k，由AF+FE=AE=4得：
$5k+3k=4$，解得$k=\frac{1}{2}$，
∴$AF=5×\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将菱形性质、勾股定理、相似三角形的知识点结合考查，解题的突破口是利用平行线得到相似三角形，再根据线段比例关系求解。
【难度系数】
0.6

8. 如图，在由4个边长为1的正方形组成的图形中，连接AB，BD，BC。
(1)求证：$△ ABD ∽ △ BCD$；
(2)求$∠ ABC$的度数。

8.(1)证明:根据题意,得 $BE=CD=ED=FC=1,AD=BF=2,AE=3,∠ BED=∠ F=90°$。
由勾股定理,得
$AB=\sqrt{BE^2+AE^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,
$BC=\sqrt{BF^2+FC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,
$BD=\sqrt{BE^2+ED^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$,
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2},\frac{AD}{BD}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},\frac{BD}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$,
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}$,
$\therefore △ ABD ∽ △ BCD$。
(2)解:$\because △ ABD ∽ △ BCD$,
$\therefore ∠ ABD=∠ BCD$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BED$ 中,$∠ BED=90°,BE=ED$,
$\therefore ∠ BDE=\frac{180°-∠ BED}{2}=45°$。
$\because$ 四边形 $CDEF$ 是正方形,
$\therefore ∠ EDC=90°$,
$\therefore ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC = ∠ BCD + ∠ DBC=180°-∠ BDE-∠ EDC=45°$。

【分析】
(1)要证明$△ ABD∽△ BCD$，可选用三边对应成比例的相似判定定理。已知所有小正方形边长均为1，首先通过勾股定理分别计算两个三角形的各边长度，再验证三组对应边的比值是否相等，若比值相等即可证明两三角形相似。
(2)求解$∠ ABC$的度数时，可借助第一问的相似结论，利用相似三角形对应角相等的性质，将$∠ ABD$转化为相等的$∠ BCD$，此时$∠ ABC=∠ BCD+∠ DBC$，再结合三角形内角和定理、等腰直角三角形的角度特征即可求出该角度数。
【解析】
(1)证明：根据题意，每个小正方形边长为1，得 $BE=CD=ED=FC=1,AD=BF=2,AE=3,∠ BED=∠ F=90°$。
由勾股定理计算各边长度：
$AB=\sqrt{BE^2+AE^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
$BC=\sqrt{BF^2+FC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$BD=\sqrt{BE^2+ED^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2},\frac{AD}{BD}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},\frac{BD}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$，
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}$，
$\therefore △ ABD ∽ △ BCD$。
(2)解：$\because △ ABD ∽ △ BCD$，
$\therefore ∠ ABD=∠ BCD$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BED$ 中,$∠ BED=90°,BE=ED$，
$\therefore ∠ BDE=\frac{180°-∠ BED}{2}=45°$。
$\because$ 四边形 $CDEF$ 是正方形，
$\therefore ∠ EDC=90°$，
$\therefore ∠BDC=∠BDE+∠EDC=135°$，
在$△ BCD$中，$∠ BCD+∠ DBC=180°-∠ BDC=45°$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC = ∠ BCD + ∠ DBC=45°$。
【答案】
(1) 已证明$△ ABD ∽ △ BCD$；
(2) $∠ ABC=45°$
【知识点】
勾股定理、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将勾股定理与相似三角形的知识相结合考查，解题核心是先通过勾股定理计算边长证明三角形相似，再利用相似的性质转化角的关系求解角度，能够有效锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7