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9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BCA=2∠ A$。
(1)尺规作图:作$∠ BCA$的平分线$CD$,交$AB$于点$D$;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,求证:$△ BCD ∽ △ BAC$。
(1)尺规作图:作$∠ BCA$的平分线$CD$,交$AB$于点$D$;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,求证:$△ BCD ∽ △ BAC$。
答案
9.(1)解:如图,CD 即为所求。
(2) 证 明: 由 (1) 知 $∠ BCD = ∠ ACD = \frac{1}{2}∠ BCA$。
$\because ∠ BCA=2∠ A$,
$\therefore ∠ A=\frac{1}{2}∠ BCA$,
$\therefore ∠ A=∠ BCD$。
$\because ∠ B=∠ B$,
$\therefore △ BCD ∽ △ BAC$。
解析
【分析】
(1) 第一问是基本尺规作图，回忆角平分线的尺规作图方法，按要求操作并保留作图痕迹即可完成；(2) 第二问要证明△BCD∽△BAC，首先可观察到两个三角形有公共角∠B，只需再推导一组对应角相等即可：结合已知∠BCA=2∠A，以及CD是∠BCA的平分线的性质，可推出∠BCD=∠A，再结合公共角，利用两角分别相等的两个三角形相似的判定定理即可完成证明。
【解析】
(1) 角平分线作图步骤：①以点C为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交CB、CA于两个交点；②分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距一半的长度为半径画弧，两弧在∠BCA内部交于一点；③过点C和该交点作射线，交AB于点D，CD即为所求的角平分线。
(2) 证明：由(1)可知CD平分∠BCA，因此$∠ BCD = ∠ ACD = \frac{1}{2}∠ BCA$。
已知$∠ BCA=2∠ A$，整理得$∠ A=\frac{1}{2}∠ BCA$，由此可推出$∠ A=∠ BCD$。
又$∠ B$是△BCD和△BAC的公共角，即$∠ B=∠ B$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ BCD ∽ △ BAC$。
【答案】
(1)解:如图,CD 即为所求。
(2) 证明: 由 (1) 知 $∠ BCD = ∠ ACD = \frac{1}{2}∠ BCA$。
$\because ∠ BCA=2∠ A$,
$\therefore ∠ A=\frac{1}{2}∠ BCA$,
$\therefore ∠ A=∠ BCD$。
$\because ∠ B=∠ B$,
$\therefore △ BCD ∽ △ BAC$。
【知识点】
角平分线尺规作图；角平分线的定义；相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，既考查了基本尺规作图的操作能力，也考查了相似三角形判定的应用，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和相似三角形的判定定理，通过角的等量代换找到相等的对应角即可完成证明。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问是基本尺规作图，回忆角平分线的尺规作图方法，按要求操作并保留作图痕迹即可完成；(2) 第二问要证明△BCD∽△BAC，首先可观察到两个三角形有公共角∠B，只需再推导一组对应角相等即可：结合已知∠BCA=2∠A，以及CD是∠BCA的平分线的性质，可推出∠BCD=∠A，再结合公共角，利用两角分别相等的两个三角形相似的判定定理即可完成证明。
【解析】
(1) 角平分线作图步骤：①以点C为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交CB、CA于两个交点；②分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距一半的长度为半径画弧，两弧在∠BCA内部交于一点；③过点C和该交点作射线，交AB于点D，CD即为所求的角平分线。
(2) 证明：由(1)可知CD平分∠BCA，因此$∠ BCD = ∠ ACD = \frac{1}{2}∠ BCA$。
已知$∠ BCA=2∠ A$，整理得$∠ A=\frac{1}{2}∠ BCA$，由此可推出$∠ A=∠ BCD$。
又$∠ B$是△BCD和△BAC的公共角，即$∠ B=∠ B$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ BCD ∽ △ BAC$。
【答案】
(1)解:如图,CD 即为所求。
(2) 证明: 由 (1) 知 $∠ BCD = ∠ ACD = \frac{1}{2}∠ BCA$。
$\because ∠ BCA=2∠ A$,
$\therefore ∠ A=\frac{1}{2}∠ BCA$,
$\therefore ∠ A=∠ BCD$。
$\because ∠ B=∠ B$,
$\therefore △ BCD ∽ △ BAC$。
【知识点】
角平分线尺规作图；角平分线的定义；相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，既考查了基本尺规作图的操作能力，也考查了相似三角形判定的应用，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和相似三角形的判定定理，通过角的等量代换找到相等的对应角即可完成证明。
【难度系数】
0.8
10.【综合与实践】在$△ ABC$中，$AB=AC$，点D为直线AB上一点，点E为直线BC上异于点C的一点，连接DC，DE，$DC=DE$。
(1)如图①，若点D在线段AB上，$BC=DC$，求证：$△ DBE ∽ △ CDA$；
(2)如图②，若点D在线段AB上，$∠ ABC=45°$，$AD=1$，求BE的长；
(3)如图③，若点D在线段BA的延长线上，点E在线段BC上，DE交AC于点F，$∠ ABC=60°$，$AD=CE$，求$\frac{AF}{DF}$的值。
(1)如图①，若点D在线段AB上，$BC=DC$，求证：$△ DBE ∽ △ CDA$；
(2)如图②，若点D在线段AB上，$∠ ABC=45°$，$AD=1$，求BE的长；
(3)如图③，若点D在线段BA的延长线上，点E在线段BC上，DE交AC于点F，$∠ ABC=60°$，$AD=CE$，求$\frac{AF}{DF}$的值。
答案
10.(1)证明:$\because AB=AC,DC=DE,BC=DC$,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB,∠ E=∠ DCE$,
$∠ ABC=∠ BDC$,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=∠ BDC$,
$\therefore 180°-∠ ABC=180°-∠ CDB$,
$\therefore ∠ DBE=∠ CDA$。
$\because ∠ ACB=∠ DCE+∠ ACD$,
$∠ BDC=∠ A+∠ ACD$,
$\therefore ∠ DCE=∠ A$。
$\because ∠ E=∠ DCE$,
$\therefore ∠ E=∠ A$,
$\therefore △ DBE ∽ △ CDA$。
(2)解:如图①,过点 E 作 AB 的垂线,交 AB 的延长线于点 G。
$\because AB=AC,∠ ABC=45°$,
$\therefore ∠ ACB=∠ ABC=45°$,
$\therefore ∠ A=180°-∠ ACB-∠ ABC=90°$,
$∠ ACD+∠ DCB=∠ DEB+∠ BDE$。
$\because DC=DE$,
$\therefore ∠ DCB=∠ DEB$,
$\therefore ∠ ACD=∠ BDE$。
在$△ DGE$ 和$△ CAD$ 中,
$\begin{cases}∠ G=∠ A=90°,\\∠ BDE=∠ ACD,\\DE=DC,\end{cases}$
$\therefore △ DGE ≌ △ CAD (\mathrm{AAS})$,
$\therefore GD=AC=AB,GE=AD$。
$\because AD=1$,
$\therefore BG=AD=GE=1$,
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BEG$ 中,$BE=\sqrt{BG^2+GE^2}=\sqrt{2}$。
(3)解:如图②,过点 D 作 BC 的平行线,交 CA 的延长线于点 M,过点 D 作 BC 的垂线,交 BC 于点 N。
$\because AB=AC,∠ ABC=60°$,
$\therefore △ ABC$ 为等边三角形,
$\therefore ∠ ACB=60°$。
$\because BC// MD,AD=CE$,
$\therefore ∠ MDA=∠ ABC=60°,∠ M=∠ ACB=60°$,
$\therefore △ ADM$ 为等边三角形,
即 $AD=AM=MD=CE$。
$\because BC// MD$,
$\therefore ∠ M=∠ FCE,∠ MDF=∠ CEF$,
$\therefore △ MDF ≌ △ CEF (\mathrm{ASA})$,
$\therefore MF=CF$。
设 $AF=a,AD=AM=MD=CE=x$, 则 $MF=CF=a+x,AB=BC=AC=2a+x$,
$BD=2a+2x$。
$\because BC=BE+CE$,即 $2a+x=BE+x$,
$\therefore BE=2a$。
$\because DN⊥ BC,DC=DE,∠ ABC=60°$,
$\therefore BN=\frac{1}{2}BD=a+x$,
$\therefore CN=EN=BN-BE=a+x-2a=x-a$,
$\therefore CE=2CN=2(x-a)=x$,
$\therefore x=2a$,即 $BD=6a,BN=3a,EN=a$,
$\therefore DN=3\sqrt{3}a$。
在 $\mathrm{Rt}△ DEN$ 中,由勾股定理,得
$DE=\sqrt{EN^2+DN^2}=2\sqrt{7}a$,
$\therefore DF=\frac{1}{2}DE=\sqrt{7}a$,
$\therefore \frac{AF}{DF}=\frac{a}{\sqrt{7}a}=\frac{\sqrt{7}}{7}$。
解析
【分析】
(1)要证明$△ DBE ∽ △ CDA$，需找两组对应角相等：先利用多组等腰三角形“等边对等角”的性质，推导得出$∠ E=∠ A$，再通过补角相等得到$∠ DBE=∠ CDA$，即可根据两角对应相等的相似判定定理完成证明。
(2)已知$∠ ABC=45°$且$AB=AC$，可先判断$△ ABC$为等腰直角三角形，$∠ A=90°$；结合$DC=DE$的条件推导得到$∠ ACD=∠ BDE$，此时过$E$作$AB$延长线的垂线构造直角三角形，证明其与$△ CAD$全等得到对应边长度，再利用勾股定理即可求出$BE$的长。
(3)已知$∠ ABC=60°$且$AB=AC$，可先判断$△ ABC$为等边三角形；过$D$作$BC$的平行线构造等边$△ ADM$，结合$AD=CE$的条件证明$△ MDF ≌ △ CEF$得到$MF=CF$；再设参数，利用等腰三角形三线合一、勾股定理分别求出$AF$和$DF$的长度，即可计算比值。
【解析】
(1)证明:$\because AB=AC,DC=DE,BC=DC$,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB,∠ E=∠ DCE$,$∠ ABC=∠ BDC$,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=∠ BDC$,
$\therefore 180°-∠ ABC=180°-∠ CDB$,
$\therefore ∠ DBE=∠ CDA$。
$\because ∠ ACB=∠ DCE+∠ ACD$,
$∠ BDC=∠ A+∠ ACD$,
$\therefore ∠ DCE=∠ A$。
$\because ∠ E=∠ DCE$,
$\therefore ∠ E=∠ A$,
$\therefore △ DBE ∽ △ CDA$。
(2)解:如图①,过点 E 作 AB 的垂线,交 AB 的延长线于点 G。
$\because AB=AC,∠ ABC=45°$,
$\therefore ∠ ACB=∠ ABC=45°$,
$\therefore ∠ A=180°-∠ ACB-∠ ABC=90°$,
$∠ ACD+∠ DCB=∠ DEB+∠ BDE$。
$\because DC=DE$,
$\therefore ∠ DCB=∠ DEB$,
$\therefore ∠ ACD=∠ BDE$。
在$△ DGE$ 和$△ CAD$ 中,
$\begin{cases}∠ G=∠ A=90°,\\∠ BDE=∠ ACD,\\DE=DC,\end{cases}$
$\therefore △ DGE ≌ △ CAD (\mathrm{AAS})$,
$\therefore GD=AC=AB,GE=AD$。
$\because AD=1$,
$\therefore BG=AD=GE=1$,
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BEG$ 中,$BE=\sqrt{BG^2+GE^2}=\sqrt{2}$。
(3)解:如图②,过点 D 作 BC 的平行线,交 CA 的延长线于点 M,过点 D 作 BC 的垂线,交 BC 于点 N。
$\because AB=AC,∠ ABC=60°$,
$\therefore △ ABC$ 为等边三角形,
$\therefore ∠ ACB=60°$。
$\because BC// MD,AD=CE$,
$\therefore ∠ MDA=∠ ABC=60°,∠ M=∠ ACB=60°$,
$\therefore △ ADM$ 为等边三角形,
即 $AD=AM=MD=CE$。
$\because BC// MD$,
$\therefore ∠ M=∠ FCE,∠ MDF=∠ CEF$,
$\therefore △ MDF ≌ △ CEF (\mathrm{ASA})$,
$\therefore MF=CF$。
设 $AF=a,AD=AM=MD=CE=x$, 则 $MF=CF=a+x,AB=BC=AC=2a+x$,
$BD=2a+2x$。
$\because BC=BE+CE$,即 $2a+x=BE+x$,
$\therefore BE=2a$。
$\because DN⊥ BC,DC=DE,∠ ABC=60°$,
$\therefore BN=\frac{1}{2}BD=a+x$,
$\therefore CN=EN=BN-BE=a+x-2a=x-a$,
$\therefore CE=2CN=2(x-a)=x$,
$\therefore x=2a$,即 $BD=6a,BN=3a,EN=a$,
$\therefore DN=3\sqrt{3}a$。
在 $\mathrm{Rt}△ DEN$ 中,由勾股定理,得
$DE=\sqrt{EN^2+DN^2}=2\sqrt{7}a$,
$\therefore DF=\frac{1}{2}DE=\sqrt{7}a$,
$\therefore \frac{AF}{DF}=\frac{a}{\sqrt{7}a}=\frac{\sqrt{7}}{7}$。
【答案】
(1) 已证$△ DBE ∽ △ CDA$；
(2) $BE=\sqrt{2}$；
(3) $\frac{AF}{DF}=\frac{\sqrt{7}}{7}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰（等边）三角形的性质
【点评】
本题是三角形综合题，三个小问由易到难层层递进，既考查了等腰、等边三角形的基础性质，又涉及全等、相似的判定与应用，需要熟练掌握角的等量推导方法，学会根据已知条件构造合适的辅助线，对几何逻辑推理能力有较高要求。
【难度系数】
0.4
(1)要证明$△ DBE ∽ △ CDA$，需找两组对应角相等：先利用多组等腰三角形“等边对等角”的性质，推导得出$∠ E=∠ A$，再通过补角相等得到$∠ DBE=∠ CDA$，即可根据两角对应相等的相似判定定理完成证明。
(2)已知$∠ ABC=45°$且$AB=AC$，可先判断$△ ABC$为等腰直角三角形，$∠ A=90°$；结合$DC=DE$的条件推导得到$∠ ACD=∠ BDE$，此时过$E$作$AB$延长线的垂线构造直角三角形，证明其与$△ CAD$全等得到对应边长度，再利用勾股定理即可求出$BE$的长。
(3)已知$∠ ABC=60°$且$AB=AC$，可先判断$△ ABC$为等边三角形；过$D$作$BC$的平行线构造等边$△ ADM$，结合$AD=CE$的条件证明$△ MDF ≌ △ CEF$得到$MF=CF$；再设参数，利用等腰三角形三线合一、勾股定理分别求出$AF$和$DF$的长度，即可计算比值。
【解析】
(1)证明:$\because AB=AC,DC=DE,BC=DC$,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB,∠ E=∠ DCE$,$∠ ABC=∠ BDC$,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=∠ BDC$,
$\therefore 180°-∠ ABC=180°-∠ CDB$,
$\therefore ∠ DBE=∠ CDA$。
$\because ∠ ACB=∠ DCE+∠ ACD$,
$∠ BDC=∠ A+∠ ACD$,
$\therefore ∠ DCE=∠ A$。
$\because ∠ E=∠ DCE$,
$\therefore ∠ E=∠ A$,
$\therefore △ DBE ∽ △ CDA$。
(2)解:如图①,过点 E 作 AB 的垂线,交 AB 的延长线于点 G。
$\because AB=AC,∠ ABC=45°$,
$\therefore ∠ ACB=∠ ABC=45°$,
$\therefore ∠ A=180°-∠ ACB-∠ ABC=90°$,
$∠ ACD+∠ DCB=∠ DEB+∠ BDE$。
$\because DC=DE$,
$\therefore ∠ DCB=∠ DEB$,
$\therefore ∠ ACD=∠ BDE$。
在$△ DGE$ 和$△ CAD$ 中,
$\begin{cases}∠ G=∠ A=90°,\\∠ BDE=∠ ACD,\\DE=DC,\end{cases}$
$\therefore △ DGE ≌ △ CAD (\mathrm{AAS})$,
$\therefore GD=AC=AB,GE=AD$。
$\because AD=1$,
$\therefore BG=AD=GE=1$,
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BEG$ 中,$BE=\sqrt{BG^2+GE^2}=\sqrt{2}$。
(3)解:如图②,过点 D 作 BC 的平行线,交 CA 的延长线于点 M,过点 D 作 BC 的垂线,交 BC 于点 N。
$\because AB=AC,∠ ABC=60°$,
$\therefore △ ABC$ 为等边三角形,
$\therefore ∠ ACB=60°$。
$\because BC// MD,AD=CE$,
$\therefore ∠ MDA=∠ ABC=60°,∠ M=∠ ACB=60°$,
$\therefore △ ADM$ 为等边三角形,
即 $AD=AM=MD=CE$。
$\because BC// MD$,
$\therefore ∠ M=∠ FCE,∠ MDF=∠ CEF$,
$\therefore △ MDF ≌ △ CEF (\mathrm{ASA})$,
$\therefore MF=CF$。
设 $AF=a,AD=AM=MD=CE=x$, 则 $MF=CF=a+x,AB=BC=AC=2a+x$,
$BD=2a+2x$。
$\because BC=BE+CE$,即 $2a+x=BE+x$,
$\therefore BE=2a$。
$\because DN⊥ BC,DC=DE,∠ ABC=60°$,
$\therefore BN=\frac{1}{2}BD=a+x$,
$\therefore CN=EN=BN-BE=a+x-2a=x-a$,
$\therefore CE=2CN=2(x-a)=x$,
$\therefore x=2a$,即 $BD=6a,BN=3a,EN=a$,
$\therefore DN=3\sqrt{3}a$。
在 $\mathrm{Rt}△ DEN$ 中,由勾股定理,得
$DE=\sqrt{EN^2+DN^2}=2\sqrt{7}a$,
$\therefore DF=\frac{1}{2}DE=\sqrt{7}a$,
$\therefore \frac{AF}{DF}=\frac{a}{\sqrt{7}a}=\frac{\sqrt{7}}{7}$。
【答案】
(1) 已证$△ DBE ∽ △ CDA$；
(2) $BE=\sqrt{2}$；
(3) $\frac{AF}{DF}=\frac{\sqrt{7}}{7}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰（等边）三角形的性质
【点评】
本题是三角形综合题，三个小问由易到难层层递进，既考查了等腰、等边三角形的基础性质，又涉及全等、相似的判定与应用，需要熟练掌握角的等量推导方法，学会根据已知条件构造合适的辅助线，对几何逻辑推理能力有较高要求。
【难度系数】
0.4
