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13.某同学把$5×(□ -6)$错抄为$5×□ -6$，若正确的计算结果为$m$，抄错后的计算结果为$n$，则$m-n=$
答案
$\boldsymbol{-24}$
解析
【分析】
解题时可以把看作一个未知的整体，首先分别将正确结果m和错误结果n用含的代数式表示出来，再代入m-n的式子中，按照去括号、合并同类项的运算法则计算即可得到结果，计算时要注意去括号时若括号前为负号，括号内每一项都要变号。
【解析】
设中的数为$ a $，则：
正确的计算结果 $ m = 5×(a - 6) = 5a - 30 $
抄错后的计算结果 $ n = 5× a - 6 = 5a - 6 $
代入$ m-n $得：
$ m-n = (5a - 30) - (5a - 6) $
去括号得：$ m-n = 5a - 30 - 5a + 6 $
合并同类项得：$ m-n = -24 $
【答案】
$\boldsymbol{-24}$
【知识点】
整式的加减运算、去括号法则、代数式化简
【点评】
本题侧重考查代数式的化简能力，解题核心是将未知的方框视为整体参与运算，需重点注意去括号时的符号规则，避免因符号处理错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.7
解题时可以把看作一个未知的整体，首先分别将正确结果m和错误结果n用含的代数式表示出来，再代入m-n的式子中，按照去括号、合并同类项的运算法则计算即可得到结果，计算时要注意去括号时若括号前为负号，括号内每一项都要变号。
【解析】
设中的数为$ a $，则：
正确的计算结果 $ m = 5×(a - 6) = 5a - 30 $
抄错后的计算结果 $ n = 5× a - 6 = 5a - 6 $
代入$ m-n $得：
$ m-n = (5a - 30) - (5a - 6) $
去括号得：$ m-n = 5a - 30 - 5a + 6 $
合并同类项得：$ m-n = -24 $
【答案】
$\boldsymbol{-24}$
【知识点】
整式的加减运算、去括号法则、代数式化简
【点评】
本题侧重考查代数式的化简能力，解题核心是将未知的方框视为整体参与运算，需重点注意去括号时的符号规则，避免因符号处理错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.7
14. 计算：
(1) $(-21)-(-\dfrac{6}{5})+(-9)-\dfrac{1}{2}$.
(2) $(\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{7}-\dfrac{4}{21})×(-63)$.
(3) $-2^4÷(-2)^3 -3^2×\left|-\dfrac{1}{3}\right|+(-1)^{2025}$.
(1) $(-21)-(-\dfrac{6}{5})+(-9)-\dfrac{1}{2}$.
(2) $(\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{7}-\dfrac{4}{21})×(-63)$.
(3) $-2^4÷(-2)^3 -3^2×\left|-\dfrac{1}{3}\right|+(-1)^{2025}$.
答案
解：
(1) 原式$=-21+\dfrac{6}{5}-9-\dfrac{1}{2}$
$=(-21-9)+(\dfrac{6}{5}-\dfrac{1}{2})$
$=-30+\dfrac{7}{10}$
$=-29\dfrac{3}{10}$（或$-\dfrac{293}{10}$）
(2) 原式$=\dfrac{1}{9}×(-63)-\dfrac{2}{7}×(-63)-\dfrac{4}{21}×(-63)$
$=-7+18+12$
$=23$
(3) 原式$=-16÷(-8)-9×\dfrac{1}{3}+(-1)$
$=2-3-1$
$=-2$
(1) 原式$=-21+\dfrac{6}{5}-9-\dfrac{1}{2}$
$=(-21-9)+(\dfrac{6}{5}-\dfrac{1}{2})$
$=-30+\dfrac{7}{10}$
$=-29\dfrac{3}{10}$（或$-\dfrac{293}{10}$）
(2) 原式$=\dfrac{1}{9}×(-63)-\dfrac{2}{7}×(-63)-\dfrac{4}{21}×(-63)$
$=-7+18+12$
$=23$
(3) 原式$=-16÷(-8)-9×\dfrac{1}{3}+(-1)$
$=2-3-1$
$=-2$
解析
【分析】
(1) 本题为有理数加减混合运算，解题时先依据减法法则将所有减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律，把整数部分合并、分数部分通分计算，简化运算流程。
(2) 本题可利用乘法分配律简化计算，观察到括号内各分数的分母均为63的因数，直接将括号内每一项分别与-63相乘后再计算加减，无需先通分计算括号内结果，降低计算复杂度。
(3) 本题为有理数混合运算，需严格遵循运算顺序：先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算加减；计算乘方时注意区分$-2^4$和$(-2)^4$的符号差异，避免符号类错误。
【解析】
(1) 原式$=-21+\dfrac{6}{5}-9-\dfrac{1}{2}$
$=(-21-9)+(\dfrac{6}{5}-\dfrac{1}{2})$
$=-30+\dfrac{7}{10}$
$=-29\dfrac{3}{10}$（或$-\dfrac{293}{10}$）
(2) 原式$=\dfrac{1}{9}×(-63)-\dfrac{2}{7}×(-63)-\dfrac{4}{21}×(-63)$
$=-7+18+12$
$=23$
(3) 原式$=-16÷(-8)-9×\dfrac{1}{3}+(-1)$
$=2-3-1$
$=-2$
【答案】
(1) $-29\dfrac{3}{10}$（或$-\dfrac{293}{10}$）
(2) $23$
(3) $-2$
【知识点】
有理数加减混合运算、乘法分配律、有理数混合运算顺序
【点评】
这三道题是有理数运算的常规题型，重点考察运算规则的掌握和运算律的灵活应用，计算时需格外注意符号判断，合理运用运算律可大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
(1) 本题为有理数加减混合运算，解题时先依据减法法则将所有减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律，把整数部分合并、分数部分通分计算，简化运算流程。
(2) 本题可利用乘法分配律简化计算，观察到括号内各分数的分母均为63的因数，直接将括号内每一项分别与-63相乘后再计算加减，无需先通分计算括号内结果，降低计算复杂度。
(3) 本题为有理数混合运算，需严格遵循运算顺序：先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算加减；计算乘方时注意区分$-2^4$和$(-2)^4$的符号差异，避免符号类错误。
【解析】
(1) 原式$=-21+\dfrac{6}{5}-9-\dfrac{1}{2}$
$=(-21-9)+(\dfrac{6}{5}-\dfrac{1}{2})$
$=-30+\dfrac{7}{10}$
$=-29\dfrac{3}{10}$（或$-\dfrac{293}{10}$）
(2) 原式$=\dfrac{1}{9}×(-63)-\dfrac{2}{7}×(-63)-\dfrac{4}{21}×(-63)$
$=-7+18+12$
$=23$
(3) 原式$=-16÷(-8)-9×\dfrac{1}{3}+(-1)$
$=2-3-1$
$=-2$
【答案】
(1) $-29\dfrac{3}{10}$（或$-\dfrac{293}{10}$）
(2) $23$
(3) $-2$
【知识点】
有理数加减混合运算、乘法分配律、有理数混合运算顺序
【点评】
这三道题是有理数运算的常规题型，重点考察运算规则的掌握和运算律的灵活应用，计算时需格外注意符号判断，合理运用运算律可大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
15.刚大学毕业的小明把自家的冬枣放到网上实行包邮销售，他原计划每天卖100 kg冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（规定超额记为正的，不足记为负的，单位：kg）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划量的差/kg +4 -3
+14 -8 +21 -6
（1）根据记录的数据可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售kg.
（2）本周实际销售总量是否达到了计划数量？试说明理由.
（3）如果冬枣每千克按8元出售，且每千克冬枣需要小明支付的平均运费是3元，那么小明本周销售冬枣实际共得多少元？
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划量的差/kg +4 -3
+14 -8 +21 -6（1）根据记录的数据可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售kg.
（2）本周实际销售总量是否达到了计划数量？试说明理由.
（3）如果冬枣每千克按8元出售，且每千克冬枣需要小明支付的平均运费是3元，那么小明本周销售冬枣实际共得多少元？
答案
解：
(1) 由数据可知，销售量最多的一天超出计划21kg，销售量最少的一天比计划少8kg，
$21 - (-8) = 29$
故答案为：$\boldsymbol{29}$。
(2) 本周实际销售总量达到了计划数量，理由如下：
将本周每天销售量与计划量的差值相加：
$(+4) + (-3) + (-5) + (+14) + (-8) + (+21) + (-6)$
$= 4 - 3 - 5 + 14 - 8 + 21 - 6$
$= 17(\mathrm{kg})$
因为$17＞0$，说明本周实际销售总量比计划总销量多17kg，因此本周实际销售总量达到了计划数量。
(3) 本周实际销售冬枣的总重量为：
$100×7 + 17 = 717(\mathrm{kg})$
每千克冬枣小明实际可得金额为 $8 - 3 = 5(\mathrm{元})$
总收益为 $717 × 5 = 3585(\mathrm{元})$
答：小明本周销售冬枣实际共得3585元。
(1) 由数据可知，销售量最多的一天超出计划21kg，销售量最少的一天比计划少8kg，
$21 - (-8) = 29$
故答案为：$\boldsymbol{29}$。
(2) 本周实际销售总量达到了计划数量，理由如下：
将本周每天销售量与计划量的差值相加：
$(+4) + (-3) + (-5) + (+14) + (-8) + (+21) + (-6)$
$= 4 - 3 - 5 + 14 - 8 + 21 - 6$
$= 17(\mathrm{kg})$
因为$17＞0$，说明本周实际销售总量比计划总销量多17kg，因此本周实际销售总量达到了计划数量。
(3) 本周实际销售冬枣的总重量为：
$100×7 + 17 = 717(\mathrm{kg})$
每千克冬枣小明实际可得金额为 $8 - 3 = 5(\mathrm{元})$
总收益为 $717 × 5 = 3585(\mathrm{元})$
答：小明本周销售冬枣实际共得3585元。
解析
【分析】
（1）解决第一问时，先明确表格中正数代表超额销量、负数代表不足销量，先找到差值最大的数（对应销量最多的一天）和差值最小的数（对应销量最少的一天），再用最大差值减去最小差值即可得到结果。
（2）判断本周销量是否达标，只需将一周每天和计划量的差值相加，若总和为正，说明总销量超过计划量，达到要求；若总和为负则未达到。
（3）计算实际总收入时，先算出本周实际总销量（计划一周总销量加差值总和），再算出每千克的实际收入（售价减去运费），二者相乘即可得到总收益。
【解析】
(1) 由表格数据可知，销量最多的一天与计划量的差为+21kg，销量最少的一天与计划量的差为-8kg，因此多销售的重量为：
$21 - (-8) = 29(\mathrm{kg})$
(2) 本周实际销售总量达到了计划数量，理由如下：
将本周所有差值相加：
$\begin{aligned}&(+4) + (-3) + (-5) + (+14) + (-8) + (+21) + (-6)\\=&4 - 3 - 5 + 14 - 8 + 21 - 6\\=&17(\mathrm{kg})\end{aligned}$
因为$17＞0$，说明本周实际总销量比计划总销量多17kg，因此达到了计划数量。
(3) 先计算本周实际总销量：
计划一周总销量为$100×7=700(\mathrm{kg})$，实际总销量为$700+17=717(\mathrm{kg})$
每千克冬枣的实际收入为$8-3=5(\mathrm{元})$
总收益为$717×5=3585(\mathrm{元})$
【答案】
(1) $\boldsymbol{29}$
(2) 本周实际销售总量达到了计划数量
(3) $\boldsymbol{3585}$元
【知识点】
正负数的实际应用，有理数加减运算，销售问题计算
【点评】
本题结合生活销售场景命题，属于基础应用题，核心是理解正负数的实际含义，掌握有理数加减运算规则，理清销售问题中收入、成本、总收益的数量关系即可正确求解。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问时，先明确表格中正数代表超额销量、负数代表不足销量，先找到差值最大的数（对应销量最多的一天）和差值最小的数（对应销量最少的一天），再用最大差值减去最小差值即可得到结果。
（2）判断本周销量是否达标，只需将一周每天和计划量的差值相加，若总和为正，说明总销量超过计划量，达到要求；若总和为负则未达到。
（3）计算实际总收入时，先算出本周实际总销量（计划一周总销量加差值总和），再算出每千克的实际收入（售价减去运费），二者相乘即可得到总收益。
【解析】
(1) 由表格数据可知，销量最多的一天与计划量的差为+21kg，销量最少的一天与计划量的差为-8kg，因此多销售的重量为：
$21 - (-8) = 29(\mathrm{kg})$
(2) 本周实际销售总量达到了计划数量，理由如下：
将本周所有差值相加：
$\begin{aligned}&(+4) + (-3) + (-5) + (+14) + (-8) + (+21) + (-6)\\=&4 - 3 - 5 + 14 - 8 + 21 - 6\\=&17(\mathrm{kg})\end{aligned}$
因为$17＞0$，说明本周实际总销量比计划总销量多17kg，因此达到了计划数量。
(3) 先计算本周实际总销量：
计划一周总销量为$100×7=700(\mathrm{kg})$，实际总销量为$700+17=717(\mathrm{kg})$
每千克冬枣的实际收入为$8-3=5(\mathrm{元})$
总收益为$717×5=3585(\mathrm{元})$
【答案】
(1) $\boldsymbol{29}$
(2) 本周实际销售总量达到了计划数量
(3) $\boldsymbol{3585}$元
【知识点】
正负数的实际应用，有理数加减运算，销售问题计算
【点评】
本题结合生活销售场景命题，属于基础应用题，核心是理解正负数的实际含义，掌握有理数加减运算规则，理清销售问题中收入、成本、总收益的数量关系即可正确求解。
【难度系数】
0.7
16.用四舍五入法得到的近似数57.75，精确到了（）
A.十位
B.百位
C.十分位
D.百分位
A.十位
B.百位
C.十分位
D.百分位
答案
D
解析
【分析】
要判断近似数精确到哪一位，核心方法是看近似数的最后一位数字处于哪个数位上，这个数位就是该近似数精确到的数位。首先明确小数的数位规则：小数点后第一位是十分位，第二位是百分位，第三位是千分位，以此类推。接下来找到近似数57.75的最后一位数字，再判断它对应的数位即可得出答案。
【解析】
判断近似数精确的数位，需观察其最末位数字所在的数位：
1. 先确定近似数57.75的最末位数字是5；
2. 观察5的位置：位于小数点后的第二位，根据小数数位的定义，小数点后第二位是百分位；
因此近似数57.75精确到百分位，故选D。
【答案】
D
【知识点】
近似数的精确度；小数数位识别
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对近似数精确度的判断能力，熟练掌握精确度的判断方法和小数数位的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
要判断近似数精确到哪一位，核心方法是看近似数的最后一位数字处于哪个数位上，这个数位就是该近似数精确到的数位。首先明确小数的数位规则：小数点后第一位是十分位，第二位是百分位，第三位是千分位，以此类推。接下来找到近似数57.75的最后一位数字，再判断它对应的数位即可得出答案。
【解析】
判断近似数精确的数位，需观察其最末位数字所在的数位：
1. 先确定近似数57.75的最末位数字是5；
2. 观察5的位置：位于小数点后的第二位，根据小数数位的定义，小数点后第二位是百分位；
因此近似数57.75精确到百分位，故选D。
【答案】
D
【知识点】
近似数的精确度；小数数位识别
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对近似数精确度的判断能力，熟练掌握精确度的判断方法和小数数位的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
17.“善于学习，就是善于进步”.“学习强国”平台上线的某天，全国大约有124 600 000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为 （）
A.$0.1246× 10^{9}$
B.$1.246× 10^{8}$
C.$1.246× 10^{-3}$
D.$1246× 10^{5}$
A.$0.1246× 10^{9}$
B.$1.246× 10^{8}$
C.$1.246× 10^{-3}$
D.$1246× 10^{5}$
答案
B
解析
【分析】
解决本题首先要回忆科学记数法的定义：科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中需满足$1≤|a|＜10$，$n$为整数。思考步骤如下：第一步先根据$a$的取值范围排除不符合要求的选项；第二步根据原数的大小和整数位数确定$n$的值，进一步排除错误选项，最终得到正确答案。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数，解题步骤如下：
1. 确定$a$的值：将原数$124600000$改写为满足$1≤ a＜10$的数，得$a=1.246$。选项A中$a=0.1246＜1$，选项D中$a=1246＞10$，均不符合要求，排除A、D。
2. 确定$n$的值：原数$124600000$是大于1的正整数，整数位数共有9位，因此$n=\mathrm{原数整数位数}-1=9-1=8$。选项C为负指数，仅用于表示小于1的数，不符合要求，排除C。
综上，$124600000$用科学记数法表示为$1.246×10^8$。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法的表示，属于基础题型，熟练掌握科学记数法中$a$的取值规则和$n$的计算方法是解题的核心。
【难度系数】
0.85
解决本题首先要回忆科学记数法的定义：科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中需满足$1≤|a|＜10$，$n$为整数。思考步骤如下：第一步先根据$a$的取值范围排除不符合要求的选项；第二步根据原数的大小和整数位数确定$n$的值，进一步排除错误选项，最终得到正确答案。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数，解题步骤如下：
1. 确定$a$的值：将原数$124600000$改写为满足$1≤ a＜10$的数，得$a=1.246$。选项A中$a=0.1246＜1$，选项D中$a=1246＞10$，均不符合要求，排除A、D。
2. 确定$n$的值：原数$124600000$是大于1的正整数，整数位数共有9位，因此$n=\mathrm{原数整数位数}-1=9-1=8$。选项C为负指数，仅用于表示小于1的数，不符合要求，排除C。
综上，$124600000$用科学记数法表示为$1.246×10^8$。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法的表示，属于基础题型，熟练掌握科学记数法中$a$的取值规则和$n$的计算方法是解题的核心。
【难度系数】
0.85
18. NEW 传统文化·干支纪年法 干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称。干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环。我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号。天干的计算方法是：年份（公元纪年）减3，再除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份（公元纪年）减3，再除以12所得的余数。以2022年为例：$(2022 - 3) ÷ 10 = 201······9$，故天干为9；$(2022 - 3) ÷ 12 = 168······3$，故地支为3。对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年。
请依据上述规律推断：2026年为农历
请依据上述规律推断：2026年为农历
丙午
年。答案
18.丙午
解析
【分析】
要推算2026年的农历干支年，首先明确题目给出的计算规则：先计算年份减3的结果，再分别用这个结果除以10得到的余数对应天干序号，除以12得到的余数对应地支序号，最后对照表格找到对应的天干和地支组合即可。
【解析】
第一步：计算年份减3的结果：
$2026 - 3 = 2023$
第二步：计算天干对应的序号：
用2023除以10，$2023 ÷ 10 = 202······3$，余数为3，对照天干表，序号3对应的天干是“丙”。
第三步：计算地支对应的序号：
用2023除以12，$2023 ÷ 12 = 168······7$，余数为7，对照地支表，序号7对应的地支是“午”。
将天干和地支组合得到最终结果。
【答案】
丙午
【知识点】
有理数除法运算，周期规律应用
【点评】
本题结合传统干支纪年文化考查余数的实际应用，解题关键是读懂题目给定的计算规则，准确完成除法求余运算，整体解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
要推算2026年的农历干支年，首先明确题目给出的计算规则：先计算年份减3的结果，再分别用这个结果除以10得到的余数对应天干序号，除以12得到的余数对应地支序号，最后对照表格找到对应的天干和地支组合即可。
【解析】
第一步：计算年份减3的结果：
$2026 - 3 = 2023$
第二步：计算天干对应的序号：
用2023除以10，$2023 ÷ 10 = 202······3$，余数为3，对照天干表，序号3对应的天干是“丙”。
第三步：计算地支对应的序号：
用2023除以12，$2023 ÷ 12 = 168······7$，余数为7，对照地支表，序号7对应的地支是“午”。
将天干和地支组合得到最终结果。
【答案】
丙午
【知识点】
有理数除法运算，周期规律应用
【点评】
本题结合传统干支纪年文化考查余数的实际应用，解题关键是读懂题目给定的计算规则，准确完成除法求余运算，整体解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
