例1 如图是一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点。点A处有一只蚂蚁，想到点B处吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶表面爬行到点B的最短路程为多少？

[点拨] 先将立体图形展开，再由勾股定理，根据两点之间线段最短进行解答。
本题是最短路径问题，解答此类问题，要先根据题意把立体图形展开成平面图形，然后确定两点之间的最短路径。一般情况是两点之间线段最短，在平面图形上构造直角三角形解决问题。
[解] 如图，三级台阶的平面展开图为长方形，长为20 dm，宽为$(2+3)×3$ dm，
蚂蚁从A点沿台阶表面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长。

设蚂蚁沿台阶表面爬行到B点的最短路程为$x$ dm，
由勾股定理得
$x^2=20^2+[(2+3)×3]^2=25^2,$
解得$x=25$。
答：蚂蚁沿着台阶表面爬到点B的最短路程为25 dm。

解：将三级台阶沿表面展开，得到一个长方形，
该长方形的长为20 dm，
另一边长为$(2+3)×3=15$ dm，
点A、B为长方形的一组对角顶点，根据两点之间线段最短，线段AB的长度即为蚂蚁爬行的最短路程。
设蚂蚁沿台阶表面爬行到B点的最短路程为$x$ dm，
由勾股定理得
$x^2=20^2+15^2=25^2$，
解得$x=25$。
答：蚂蚁沿着台阶表面爬行到点B的最短路程为25 dm。

【分析】
这是立体图形表面的最短路径问题，解题核心是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定最短路径，再结合勾股定理计算长度。首先把台阶表面展开成长方形：长方形的长等于台阶的长度20dm，长方形的另一边长是每级台阶的高与宽的和乘台阶级数，即$(2+3)×3=15$dm，此时A、B恰好是长方形的对角顶点，最短路径就是长方形的对角线长，最后用勾股定理计算即可。
【解析】
将三级台阶沿表面展开，得到一个长方形，
该长方形的长为20 dm，
另一边长为$(2+3)×3=15$ dm，
点A、B为长方形的一组对角顶点，根据两点之间线段最短，线段AB的长度即为蚂蚁爬行的最短路程。
设蚂蚁沿台阶表面爬行到B点的最短路程为$x$ dm，
由勾股定理得
$x^2=20^2+15^2=400+225=625=25^2$，
因为路程为正数，所以解得$x=25$。
答：蚂蚁沿着台阶表面爬行到点B的最短路程为25 dm。
【答案】
25 dm
【知识点】
最短路径问题；立体图形展开；勾股定理
【点评】
本题是立体表面最短路径的典型题型，解题关键是完成“立体转平面”的转化，将实际问题转化为直角三角形的边长求解问题，能有效锻炼空间想象能力和数学建模能力。
【难度系数】
0.7