【物品打包】
包装物品用到的箱子的长、宽、高分别为$a$ cm,$b$ cm,$c$ cm,如图所示,小明和小华在打包时,分别采用了甲、乙两种打包方式(单位:cm,打包带不计接头处的长).

(1)用含$a,b,c$的式子分别表示甲、乙两种打包方式所用的打包带的长度:甲需要 cm,乙需要 cm;
(2)当$a=50,b=40,c=30$时,写出甲、乙两种打包方式所用的打包带的长度.

(1) $(4a+2b+6c)$，$(2a+4b+6c)$；(2) 甲打包方式所用打包带的长度是460 cm，乙打包方式所用打包带的长度是440 cm

【分析】
解决第(1)问时，我们先分别观察甲、乙两种打包方式中，打包带在长$a$、宽$b$、高$c$三个方向上的段数，再将对应方向的总长度相加，即可得到打包带的总长代数式；解决第(2)问时，将$a、b、c$的数值直接代入第(1)问得到的两个代数式中，按四则运算顺序计算就能求出具体长度。
【解析】
(1) 观察甲打包方式：
沿长$a$方向的打包带共4段，总长度为$4a$；沿宽$b$方向的打包带共2段，总长度为$2b$；沿高$c$方向的打包带共6段，总长度为$6c$，因此甲的打包带总长为$4a+2b+6c$ cm。
观察乙打包方式：
沿长$a$方向的打包带共2段，总长度为$2a$；沿宽$b$方向的打包带共4段，总长度为$4b$；沿高$c$方向的打包带共6段，总长度为$6c$，因此乙的打包带总长为$2a+4b+6c$ cm。
(2) 把$a=50,b=40,c=30$分别代入两个代数式计算：
甲的长度：$4a+2b+6c=4×50+2×40+6×30=200+80+180=460$（cm）
乙的长度：$2a+4b+6c=2×50+4×40+6×30=100+160+180=440$（cm）
【答案】
(1) $\boxed{4a+2b+6c}$，$\boxed{2a+4b+6c}$；(2) 甲打包方式所用打包带长度为$\boxed{460\ \mathrm{cm}}$，乙打包方式所用打包带长度为$\boxed{440\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
列代数式；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景考查代数式的应用，解题核心是准确计数不同方向打包带的段数，代入求值时注意运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.8

1. 若$x=-2$,则代数式$x^2+2x+1$的值是 ()

A.-1
B.-3
C.1
D.3

1. C

【分析】
这是一道代数式求值的基础题，解题思路分为两步：第一步是将已知的x的值代入给定的代数式中，注意代入负数时要给负数加上括号，避免出现符号运算错误；第二步是按照有理数的运算顺序（先算乘方，再算乘法，最后算加减）依次计算出结果即可。
【解析】
解：将$x=-2$代入代数式$x^2+2x+1$中，得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-2)^2 + 2×(-2) + 1\\&=4 + (-4) + 1\\&=1\end{aligned}$
因此该代数式的值为1。
【答案】
C
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，核心考查代入求值的基本方法，解题时要特别注意负数代入乘方运算时需加括号，防止符号出错，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.9

2. 当$a=5$时，下列代数式的值最大的是()

A.$2a+3$
B.$\frac{1}{2}a -1$
C.$\frac{1}{5}a^2 -1$
D.$5(a-1)$

2. D

【分析】
本题要求选出a=5时值最大的代数式，解题思路清晰明确：首先将a=5分别代入四个选项的代数式中，按照运算规则计算出每个代数式的结果，再对四个结果进行大小比较，数值最大的对应的选项即为正确答案。
【解析】
将a=5分别代入各选项计算：
A. $2a+3=2×5+3=10+3=13$
B. $\frac{1}{2}a -1=\frac{1}{2}×5 -1=2.5-1=1.5$
C. $\frac{1}{5}a^2 -1=\frac{1}{5}×5^2 -1=\frac{1}{5}×25 -1=5-1=4$
D. $5(a-1)=5×(5-1)=5×4=20$
比较大小可得：$20＞13＞4＞1.5$，因此D选项的代数式值最大。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值；有理数大小比较
【点评】
本题是基础题型，主要考查代入法求代数式值的掌握情况，计算时注意遵守运算顺序，避免粗心失误即可顺利得分。
【难度系数】
0.8

3.若$a^2 -4a -12=0$，则$2a^2 -8a -8$的值为()

A.24
B.20
C.18
D.16

3. D

【分析】
解题时首先观察已知等式和待求代数式的结构特征，发现待求式中$2a^2-8a$是已知式中$a^2-4a$的2倍，因此不需要求解$a$的具体值，采用整体代入法计算更简便。首先根据等式的性质从已知等式中求出$a^2-4a$的值，再将待求代数式变形为含有$a^2-4a$的形式，最后代入计算即可得到结果。
【解析】
已知$a^2 -4a -12=0$，对等式移项可得：
$a^2 -4a = 12$
对待求代数式$2a^2 -8a -8$变形，逆用乘法分配律提取2得：
$2a^2 -8a -8 = 2(a^2 -4a) -8$
将$a^2 -4a=12$代入上式计算：
$2×12 -8 = 24 -8 = 16$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值，整体代入法，等式的性质
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心考查整体代入的解题思想，避免了求解未知数的复杂运算，解题关键是准确找到待求代数式与已知条件之间的数量关联，合理变形后代入计算即可。
【难度系数】
0.8

4. 若$ x=-1 $，则代数式$ x^3 - x^2 +4 $的值为。

4. 2

【分析】
本题考查代数式求值问题，解题思路非常清晰：首先明确已知的x的取值，将其直接代入到待求的代数式中，再按照有理数的运算顺序，先计算乘方运算，再进行加减运算即可，计算时要特别注意负数乘方的符号规则，避免符号出错。
【解析】
将$ x=-1 $代入代数式$ x^3 - x^2 +4 $中：
1. 先计算乘方项：
$ (-1)^3 = -1 $，$ (-1)^2 = 1 $
2. 代入原式计算加减：
$ \begin{aligned}\mathrm{原式}&= (-1) - 1 +4 \\&= -2 +4 \\&= 2\end{aligned} $
【答案】
2
【知识点】
代数式求值；有理数乘方运算；有理数加减运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，主要考查代入计算的基本方法，只要熟练掌握有理数的运算规则，注意负数乘方的符号问题，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

5.一个长为a,宽为b的长方形如图所示,在它的四个角上都剪去一个边长为x的小正方形.用代数式表示图中阴影部分的面积为;当a=8,b=5,x=2时,图中阴影部分的面积为.

5. $ab-4x^2$，24

【分析】
解题时采用“整体减部分”的思路：首先计算整个大长方形的面积，再计算四个角剪去的小正方形的总面积，用大长方形面积减去四个小正方形的面积即可得到阴影部分的面积；得到代数式后，将给定的a、b、x的数值代入代数式，按照正确运算顺序计算就能得到具体的面积值。
【解析】
1. 推导阴影部分面积的代数式：
已知大长方形长为a、宽为b，根据长方形面积公式可得大长方形面积为$ab$。
每个剪去的小正方形边长为x，根据正方形面积公式，1个小正方形面积为$x^2$，则4个小正方形的总面积为$4x^2$。
因此阴影部分面积 = 大长方形面积 - 4个小正方形面积，即$ab - 4x^2$。
2. 代入数值计算具体面积：
当$a=8$，$b=5$，$x=2$时，将数值代入$ab - 4x^2$：
先计算乘方：$2^2=4$，
再计算乘法：$8×5=40$，$4×4=16$，
最后计算减法：$40 - 16=24$。
【答案】
$ab-4x^2$；24
【知识点】
列代数式；代数式求值；割补法求面积
【点评】
本题核心是掌握不规则图形面积的求解方法，代入求值时要注意运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后算加减，避免运算顺序出错。
【难度系数】
0.9

6. 当$x=3,y=-2$时,求下列代数式的值.
(1)$x^2 - y^2$;
(2)$\dfrac{x+y}{x-y}$;
(3)$x^2 - 2xy + y^2$;
(4)$3x^2 - \dfrac{5}{2}y$;
(5)$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$;
(6)$4x^2 - 3xy + 5y^2$.

6. (1) 5；(2) $\frac{1}{5}$；(3) 25；(4) 32；(5) $-\frac{1}{6}$；(6) 74

【分析】
这是代数式求值的基础题型，解题思路遵循“代入-计算”两步走：首先明确已知条件$x=3$、$y=-2$，将每个代数式中的$x$、$y$分别替换为对应数值，注意负数代入乘方、乘除、减法运算时要添加括号避免符号出错；再按照有理数运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内）逐题计算即可。
【解析】
将$x=3$，$y=-2$分别代入各代数式计算：
(1) $x^2 - y^2=3^2 - (-2)^2=9-4=5$
(2) $\dfrac{x+y}{x-y}=\dfrac{3+(-2)}{3-(-2)}=\dfrac{1}{5}$
(3) $x^2 - 2xy + y^2=3^2 - 2×3×(-2) + (-2)^2=9+12+4=25$
(4) $3x^2 - \dfrac{5}{2}y=3×3^2 - \dfrac{5}{2}×(-2)=27+5=32$
(5) $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{-2}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{6}$
(6) $4x^2 - 3xy + 5y^2=4×3^2 - 3×3×(-2) +5×(-2)^2=36+18+20=74$
【答案】
(1) 5；(2) $\dfrac{1}{5}$；(3) 25；(4) 32；(5) $-\dfrac{1}{6}$；(6) 74
【知识点】
代数式求值、有理数混合运算、乘方运算
【点评】
本题考查代数式求值的基础应用，核心易错点是负数代入时的符号处理，运算时严格遵循有理数运算顺序就能顺利解题，是巩固代数式求值方法的典型练习题。
【难度系数】
0.9

7.某种药品今年的单价比去年提高了10%,如果今年的单价是a元,请用含a的代数式表示去年的单价.若a=11,则去年的单价为多少元?

去年的单价为$\frac{10a}{11}$元。当$a=11$时，$\frac{10a}{11}=\frac{10×11}{11}=10$(元)

【分析】
解题首先要找准单位“1”，本题中去年的单价是单位“1”。今年单价比去年提高10%，说明今年单价是去年单价的(1+10%)倍。已知今年单价为a元，要求单位“1”对应的量，用除法计算即可得到表示去年单价的代数式；再把a=11代入所列代数式，按运算规则计算就能求出具体数值。
【解析】
解：设去年的单价为x元。
根据题意可得：$x×(1+10\%)=a$
整理得：$1.1x=a$
解得：$x=a÷1.1=a÷\frac{11}{10}=\frac{10a}{11}$
当$a=11$时，代入$\frac{10a}{11}$计算：
$\frac{10×11}{11}=10$（元）
【答案】
去年的单价为$\frac{10a}{11}$元；当$a=11$时，去年的单价为10元。
【知识点】
列代数式；代数式求值；百分数的实际应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是准确判断单位“1”，理清今年单价和去年单价之间的数量关系，代入求值时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.85