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例3 甲、乙两人分别从相距$s$ km的$A,B$两地同时出发,驾车沿相同路线相向而行,它们的平均速度分别是$a$ km/h与$b$ km/h.
(1)用代数式表示甲、乙两人从出发到相遇的时长；
(2)当$s=260$, $a=70$,$b=60$时,求甲、乙两人从出发到相遇的时长.
解:
【规律方法】
用代数式表示实际问题中的数量关系时,赋予代数式中的字母某一具体的值就可求得相应代数式的值,该值也具有一定的实际意义,可以解决一些生活中的问题.
(1)用代数式表示甲、乙两人从出发到相遇的时长；
(2)当$s=260$, $a=70$,$b=60$时,求甲、乙两人从出发到相遇的时长.
解:
【规律方法】
用代数式表示实际问题中的数量关系时,赋予代数式中的字母某一具体的值就可求得相应代数式的值,该值也具有一定的实际意义,可以解决一些生活中的问题.
答案
(1) $\frac{s}{a+b}\ \mathrm{h}$；(2) $2\ \mathrm{h}$
解析
【分析】
解题时先处理第一问：这是典型的相向而行相遇问题，核心等量关系为“甲行驶的路程+乙行驶的路程=两地总距离s”，我们可以先设相遇时长为t，结合“路程=速度×时间”分别表示甲、乙的行驶路程，代入等量关系推导t的代数式即可。第二问属于代数式求值问题，直接将给定的s、a、b的数值代入第一问得到的代数式中，计算出结果即可，注意结果要带对应单位。
【解析】
(1) 设甲、乙两人从出发到相遇的时长为$t\ \mathrm{h}$。
根据路程=速度×时间，相遇时甲的行驶路程为$at\ \mathrm{km}$，乙的行驶路程为$bt\ \mathrm{km}$，由两人路程和等于总路程$s$可得：
$at + bt = s$
整理得：$t(a+b)=s$，因此$t=\frac{s}{a+b}$。
即甲、乙两人从出发到相遇的时长为$\frac{s}{a+b}\ \mathrm{h}$。
(2) 将$s=260$，$a=70$，$b=60$代入$\frac{s}{a+b}$中：
$\frac{s}{a+b}=\frac{260}{70+60}=\frac{260}{130}=2$（$\mathrm{h}$）
即两人从出发到相遇的时长为$2\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1) $\frac{s}{a+b}\ \mathrm{h}$；(2) $2\ \mathrm{h}$
【知识点】
列代数式、代数式求值、相遇问题数量关系
【点评】
本题结合实际行程场景命题，解题的关键是准确抓住相向而行相遇问题的等量关系，代入求值时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.8
解题时先处理第一问：这是典型的相向而行相遇问题，核心等量关系为“甲行驶的路程+乙行驶的路程=两地总距离s”，我们可以先设相遇时长为t，结合“路程=速度×时间”分别表示甲、乙的行驶路程，代入等量关系推导t的代数式即可。第二问属于代数式求值问题，直接将给定的s、a、b的数值代入第一问得到的代数式中，计算出结果即可，注意结果要带对应单位。
【解析】
(1) 设甲、乙两人从出发到相遇的时长为$t\ \mathrm{h}$。
根据路程=速度×时间，相遇时甲的行驶路程为$at\ \mathrm{km}$，乙的行驶路程为$bt\ \mathrm{km}$，由两人路程和等于总路程$s$可得：
$at + bt = s$
整理得：$t(a+b)=s$，因此$t=\frac{s}{a+b}$。
即甲、乙两人从出发到相遇的时长为$\frac{s}{a+b}\ \mathrm{h}$。
(2) 将$s=260$，$a=70$，$b=60$代入$\frac{s}{a+b}$中：
$\frac{s}{a+b}=\frac{260}{70+60}=\frac{260}{130}=2$（$\mathrm{h}$）
即两人从出发到相遇的时长为$2\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1) $\frac{s}{a+b}\ \mathrm{h}$；(2) $2\ \mathrm{h}$
【知识点】
列代数式、代数式求值、相遇问题数量关系
【点评】
本题结合实际行程场景命题，解题的关键是准确抓住相向而行相遇问题的等量关系，代入求值时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.8
2. 如图，长方形的长为a，宽为2b.
(1)用含a,b的代数式表示图中阴影部分的面积S(结果保留π)；
(2)当a=5 cm,b=2 cm时，求阴影部分的面积.(其中π取3.14)
(1)用含a,b的代数式表示图中阴影部分的面积S(结果保留π)；
(2)当a=5 cm,b=2 cm时，求阴影部分的面积.(其中π取3.14)
答案
2. (1) 因为长方形的长为$a$,宽为$2b$,所以 $S_{\mathrm{阴影}}=2ab-π b^2$；(2) $7.44\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
本题考查不规则图形面积的计算与代数式求值，解题思路如下：1. 针对第(1)问，观察图形可知阴影部分面积等于长方形面积减去左右两个空白半圆的面积，两个半圆可拼接为一个完整的圆，先分别求出长方形和拼接后整圆的面积，再作差即可得到阴影面积的代数式；2. 针对第(2)问，直接将a、b、π的取值代入第(1)问得到的代数式，按运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 首先计算长方形的面积：长方形长为$a$，宽为$2b$，根据长方形面积公式，$S_{\mathrm{长方形}}=长×宽=a×2b=2ab$。
观察空白部分：左右两个半圆的直径均为长方形的宽$2b$，因此半圆的半径$r=b$，两个半圆可拼成1个半径为$b$的整圆，根据圆的面积公式，$S_{\mathrm{圆}}=πr^2=πb^2$。
因此阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{长方形}}-S_{\mathrm{圆}}=2ab-πb^2$。
(2) 当$a=5\ \mathrm{cm}$，$b=2\ \mathrm{cm}$，$π=3.14$时，将数值代入$S=2ab-πb^2$得：
$\begin{aligned}S&=2×5×2 - 3.14×2^2\\&=20 - 3.14×4\\&=20 - 12.56\\&=7.44\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $S=2ab-πb^2$；(2) $7.44\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
割补法求面积，代数式求值，圆的面积计算
【点评】
本题解题核心是将不规则的阴影面积转化为规则的长方形与圆的面积差，熟记长方形、圆的面积公式，掌握代数式代入求值的运算规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题考查不规则图形面积的计算与代数式求值，解题思路如下：1. 针对第(1)问，观察图形可知阴影部分面积等于长方形面积减去左右两个空白半圆的面积，两个半圆可拼接为一个完整的圆，先分别求出长方形和拼接后整圆的面积，再作差即可得到阴影面积的代数式；2. 针对第(2)问，直接将a、b、π的取值代入第(1)问得到的代数式，按运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 首先计算长方形的面积：长方形长为$a$，宽为$2b$，根据长方形面积公式，$S_{\mathrm{长方形}}=长×宽=a×2b=2ab$。
观察空白部分：左右两个半圆的直径均为长方形的宽$2b$，因此半圆的半径$r=b$，两个半圆可拼成1个半径为$b$的整圆，根据圆的面积公式，$S_{\mathrm{圆}}=πr^2=πb^2$。
因此阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{长方形}}-S_{\mathrm{圆}}=2ab-πb^2$。
(2) 当$a=5\ \mathrm{cm}$，$b=2\ \mathrm{cm}$，$π=3.14$时，将数值代入$S=2ab-πb^2$得：
$\begin{aligned}S&=2×5×2 - 3.14×2^2\\&=20 - 3.14×4\\&=20 - 12.56\\&=7.44\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $S=2ab-πb^2$；(2) $7.44\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
割补法求面积，代数式求值，圆的面积计算
【点评】
本题解题核心是将不规则的阴影面积转化为规则的长方形与圆的面积差，熟记长方形、圆的面积公式，掌握代数式代入求值的运算规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
3. 某书店新进了一批图书,甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本,现购进m本甲种书和n本乙种书.
(1)用含m,n的代数式表示总费用；
(2)若共购进1 000本甲种书及2 000本乙种书,求总费用.
(1)用含m,n的代数式表示总费用；
(2)若共购进1 000本甲种书及2 000本乙种书,求总费用.
答案
(1) 总费用为$(4m+10n)$元；(2) 24 000 元
解析
【分析】
(1) 解题时先明确总费用等于甲种书的总进价加上乙种书的总进价，分别用“单价×数量”计算两种书的总进价，再相加即可得到含m、n的总费用代数式；
(2) 第二问属于代数式求值问题，直接把m=1000、n=2000代入第一问得到的代数式中，按照有理数运算规则计算即可得到总费用。
【解析】
(1) 已知甲种书进价4元/本，购进m本，因此甲种书总费用为$4m$元；乙种书进价10元/本，购进n本，因此乙种书总费用为$10n$元。
总费用为两种书的费用之和，即总费用为$(4m+10n)$元。
(2) 把$m=1000$，$n=2000$代入$4m+10n$得：
$4×1000 + 10×2000 = 4000 + 20000 = 24000$（元）
【答案】
(1) 总费用为$(4m+10n)$元；(2) 24 000 元
【知识点】
列代数式；代数式求值
【点评】
本题结合实际购物场景考查代数式相关应用，核心是理清总价、单价、数量三者的数量关系，代入数值计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.9
(1) 解题时先明确总费用等于甲种书的总进价加上乙种书的总进价，分别用“单价×数量”计算两种书的总进价，再相加即可得到含m、n的总费用代数式；
(2) 第二问属于代数式求值问题，直接把m=1000、n=2000代入第一问得到的代数式中，按照有理数运算规则计算即可得到总费用。
【解析】
(1) 已知甲种书进价4元/本，购进m本，因此甲种书总费用为$4m$元；乙种书进价10元/本，购进n本，因此乙种书总费用为$10n$元。
总费用为两种书的费用之和，即总费用为$(4m+10n)$元。
(2) 把$m=1000$，$n=2000$代入$4m+10n$得：
$4×1000 + 10×2000 = 4000 + 20000 = 24000$（元）
【答案】
(1) 总费用为$(4m+10n)$元；(2) 24 000 元
【知识点】
列代数式；代数式求值
【点评】
本题结合实际购物场景考查代数式相关应用，核心是理清总价、单价、数量三者的数量关系，代入数值计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.9
物品打包
某社区节日期间为老人送爱心，志愿者小明和小华利用周末参加志愿活动，帮助社区打包物品。
【知识准备】
当$x=6,y=4$时，求下列各代数式的值.
(1)$(x+y)(x-y)=$
(2)$x^2+2xy+y^2=$
某社区节日期间为老人送爱心，志愿者小明和小华利用周末参加志愿活动，帮助社区打包物品。
【知识准备】
当$x=6,y=4$时，求下列各代数式的值.
(1)$(x+y)(x-y)=$
20
；(2)$x^2+2xy+y^2=$
100
.答案
(1) 20；(2) 100
解析
【分析】
求解本题的核心思路是使用代入法计算代数式的值：首先明确题目给出的x=6、y=4的取值，再将数值分别代入两个代数式中，按照有理数的运算顺序（有括号先算括号内，有乘方先算乘方，再算乘除，最后算加减）逐步计算即可得到结果。
【解析】
(1) 把$x=6,y=4$代入$(x+y)(x-y)$：
先计算括号内的运算：$x+y=6+4=10$，$x-y=6-4=2$
再计算乘法：$10×2=20$
(2) 把$x=6,y=4$代入$x^2+2xy+y^2$：
分别计算各项的值：$x^2=6^2=36$，$2xy=2×6×4=48$，$y^2=4^2=16$
再计算加法：$36+48+16=100$
【答案】
(1) 20；(2) 100
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，主要考查代入法的应用和有理数运算的准确性，计算时注意运算顺序即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
求解本题的核心思路是使用代入法计算代数式的值：首先明确题目给出的x=6、y=4的取值，再将数值分别代入两个代数式中，按照有理数的运算顺序（有括号先算括号内，有乘方先算乘方，再算乘除，最后算加减）逐步计算即可得到结果。
【解析】
(1) 把$x=6,y=4$代入$(x+y)(x-y)$：
先计算括号内的运算：$x+y=6+4=10$，$x-y=6-4=2$
再计算乘法：$10×2=20$
(2) 把$x=6,y=4$代入$x^2+2xy+y^2$：
分别计算各项的值：$x^2=6^2=36$，$2xy=2×6×4=48$，$y^2=4^2=16$
再计算加法：$36+48+16=100$
【答案】
(1) 20；(2) 100
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，主要考查代入法的应用和有理数运算的准确性，计算时注意运算顺序即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
