如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$EF$过点$O$且分别交$AD$，$BC$于点$E$，$F$。求证：
(1)$OE=OF$；
(2)四边形$BEDF$是平行四边形。

(1) 证明略
(2) 证明略

【分析】
(1) 要证$OE=OF$，可通过证明两线段所在的三角形全等推导。首先利用平行四边形的性质得到对角线互相平分、对边平行，进而得到相等的内错角和边，再结合对顶角相等证明三角形全等，即可得到对应边相等。
(2) 要证四边形$BEDF$是平行四边形，结合平行四边形$ABCD$的性质可得$OB=OD$，再结合第一问证得的$OE=OF$，可利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OA=OC$，$AD// BC$，
∴$∠ OAE=∠ OCF$，
在$△ AOE$和$△ COF$中：
$\begin{cases}∠ OAE=∠ OCF \\OA=OC \\∠ AOE=∠ COF\end{cases}$
∴$△ AOE≌△ COF$（ASA），
∴$OE=OF$。
(2) 证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OB=OD$，
由(1)已证得$OE=OF$，
即四边形$BEDF$的对角线互相平分，
∴四边形$BEDF$是平行四边形。
【答案】
(1) $OE=OF$，证明见解析；
(2) 四边形$BEDF$是平行四边形，证明见解析。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【点评】
本题属于平行四边形的基础常考题，考查了平行四边形性质和判定的综合应用，通过证明三角形全等得到线段相等是解题的突破口，解题时可灵活选择平行四边形的判定方法简化证明过程。
【难度系数】
0.8