登录
1. 下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是 （）
A.对角线相互垂直
B.对角线互相平分
C.一组对角相等
D.一组对边相等
A.对角线相互垂直
B.对角线互相平分
C.一组对角相等
D.一组对边相等
答案
B
解析
【分析】
本题考查平行四边形的判定，解题思路为先回忆平行四边形的判定定理，再逐一分析各选项，结合反例排除不符合判定要求的选项，最终选出正确答案。首先明确平行四边形的常见判定条件：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分。接下来逐个验证选项：对角线互相垂直不是平行四边形的判定条件，可举反例排除；对角线互相平分是平行四边形的判定定理，符合要求；仅一组对角相等不满足判定要求，需两组对角分别相等才可判定，举反例排除；仅一组对边相等不满足判定要求，举反例排除。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，例如筝形的对角线互相垂直，但不属于平行四边形，故A错误；
B. 根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知该条件可以判定四边形为平行四边形，故B正确；
C. 只有一组对角相等的四边形不能判定为平行四边形，必须是两组对角分别相等才可判定，存在仅一组对角相等的不规则四边形不属于平行四边形，故C错误；
D. 只有一组对边相等的四边形不能判定为平行四边形，例如等腰梯形的两腰相等，属于一组对边相等，但等腰梯形不是平行四边形，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对平行四边形判定定理的记忆与辨析能力，解题时要注意区分平行四边形的判定条件和其他特殊四边形的性质，通过举反例可以快速排除错误选项，避免对判定定理的内容记忆混淆。
【难度系数】
0.85
本题考查平行四边形的判定，解题思路为先回忆平行四边形的判定定理，再逐一分析各选项，结合反例排除不符合判定要求的选项，最终选出正确答案。首先明确平行四边形的常见判定条件：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分。接下来逐个验证选项：对角线互相垂直不是平行四边形的判定条件，可举反例排除；对角线互相平分是平行四边形的判定定理，符合要求；仅一组对角相等不满足判定要求，需两组对角分别相等才可判定，举反例排除；仅一组对边相等不满足判定要求，举反例排除。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，例如筝形的对角线互相垂直，但不属于平行四边形，故A错误；
B. 根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知该条件可以判定四边形为平行四边形，故B正确；
C. 只有一组对角相等的四边形不能判定为平行四边形，必须是两组对角分别相等才可判定，存在仅一组对角相等的不规则四边形不属于平行四边形，故C错误；
D. 只有一组对边相等的四边形不能判定为平行四边形，例如等腰梯形的两腰相等，属于一组对边相等，但等腰梯形不是平行四边形，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对平行四边形判定定理的记忆与辨析能力，解题时要注意区分平行四边形的判定条件和其他特殊四边形的性质，通过举反例可以快速排除错误选项，避免对判定定理的内容记忆混淆。
【难度系数】
0.85
2. 如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是 （）
A.若$AO=OC$，则四边形ABCD是平行四边形
B.若$AC=BD$，则四边形ABCD是平行四边形
C.若$AO=BO$，$CO=DO$，则四边形ABCD是平行四边形
D.若$AO=OC$，$BO=OD$，则四边形ABCD是平行四边形
A.若$AO=OC$，则四边形ABCD是平行四边形
B.若$AC=BD$，则四边形ABCD是平行四边形
C.若$AO=BO$，$CO=DO$，则四边形ABCD是平行四边形
D.若$AO=OC$，$BO=OD$，则四边形ABCD是平行四边形
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形和对角线相关的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。接下来逐一分析每个选项给出的条件是否符合该判定定理，判断能否推出四边形是平行四边形：
1. 先明确对角线互相平分的要求是$AO=OC$且$BO=OD$同时成立；
2. 逐个核对选项的条件是否满足上述要求，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，逐一分析选项：
A. 仅给出$AO=OC$，无法证明$BO=OD$，不能说明对角线互相平分，无法判定四边形ABCD是平行四边形，该选项错误；
B. $AC=BD$是对角线相等，对角线相等的四边形不一定是平行四边形（如等腰梯形对角线也相等），不符合判定条件，该选项错误；
C. 给出$AO=BO$，$CO=DO$，不能推出对角线互相平分，无法判定四边形ABCD是平行四边形，该选项错误；
D. $AO=OC$，$BO=OD$，说明四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，符合平行四边形的判定定理，可判定四边形ABCD是平行四边形，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查平行四边形的对角线判定定理，需要准确识记判定条件，注意区分“对角线相等”“对角线互相平分”等易混淆的条件，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行四边形和对角线相关的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。接下来逐一分析每个选项给出的条件是否符合该判定定理，判断能否推出四边形是平行四边形：
1. 先明确对角线互相平分的要求是$AO=OC$且$BO=OD$同时成立；
2. 逐个核对选项的条件是否满足上述要求，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，逐一分析选项：
A. 仅给出$AO=OC$，无法证明$BO=OD$，不能说明对角线互相平分，无法判定四边形ABCD是平行四边形，该选项错误；
B. $AC=BD$是对角线相等，对角线相等的四边形不一定是平行四边形（如等腰梯形对角线也相等），不符合判定条件，该选项错误；
C. 给出$AO=BO$，$CO=DO$，不能推出对角线互相平分，无法判定四边形ABCD是平行四边形，该选项错误；
D. $AO=OC$，$BO=OD$，说明四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，符合平行四边形的判定定理，可判定四边形ABCD是平行四边形，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查平行四边形的对角线判定定理，需要准确识记判定条件，注意区分“对角线相等”“对角线互相平分”等易混淆的条件，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
任务二
平行四边形的判定和性质定理的综合运用
阅读材料，完成下列探究。
如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE，BF，分别交AB于点H，交DC于点G。已知AD//BC，AE=CF。
探究1：四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由。
探究2：若∠DAH=∠GBA，GF=2，CF=4，求AD的长。
平行四边形的判定和性质定理的综合运用
阅读材料，完成下列探究。
如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE，BF，分别交AB于点H，交DC于点G。已知AD//BC，AE=CF。
探究1：四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由。
探究2：若∠DAH=∠GBA，GF=2，CF=4，求AD的长。
答案
探究1
证明：∵ $AD// BC$，
∴ $∠ DAE=∠ BCF$，
∵ $DE⊥ AC$，$BF⊥ AC$，
∴ $∠ AED=∠ CFB=90°$，
在$△ ADE$和$△ CBF$中：
$\begin{cases}∠ DAE=∠ BCF \\AE=CF \\∠ AED=∠ CFB\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CBF(\mathrm{ASA})$，
∴ $AD=BC$，
又∵ $AD// BC$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形。
---
探究2
解：∵ $DE⊥ AC$，$BF⊥ AC$，
∴ $DH// BG$，
由探究1知四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，即$HB// DG$，
∴ 四边形$DGBH$是平行四边形，
∴ $∠ ABG=∠ AHD$，
∵ $∠ DAH=∠ GBA$，
∴ $∠ DAH=∠ AHD$，
∴ $AD=DH$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，∴ $AB=CD$，
∵ 四边形$DGBH$是平行四边形，∴ $DG=BH$，
∴ $AB-BH=CD-DG$，即$AH=CG$，
在$△ CFG$和$△ AEH$中：
$\begin{cases}∠ GCF=∠ HAE \\∠ CFG=∠ AEH=90° \\CG=AH\end{cases}$
∴ $△ CFG ≌ △ AEH(\mathrm{AAS})$，
∴ $EH=GF=2$。
已知$AE=CF=4$，设$DE=x$，则$DH=DE+EH=x+2$，即$AD=x+2$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$AD^2=AE^2+DE^2$，
代入得：$(x+2)^2=4^2+x^2$，
解得$x=3$，
∴ $AD=3+2=5$。
答：$AD$的长为$\boldsymbol{5}$。
证明：∵ $AD// BC$，
∴ $∠ DAE=∠ BCF$，
∵ $DE⊥ AC$，$BF⊥ AC$，
∴ $∠ AED=∠ CFB=90°$，
在$△ ADE$和$△ CBF$中：
$\begin{cases}∠ DAE=∠ BCF \\AE=CF \\∠ AED=∠ CFB\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CBF(\mathrm{ASA})$，
∴ $AD=BC$，
又∵ $AD// BC$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形。
---
探究2
解：∵ $DE⊥ AC$，$BF⊥ AC$，
∴ $DH// BG$，
由探究1知四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，即$HB// DG$，
∴ 四边形$DGBH$是平行四边形，
∴ $∠ ABG=∠ AHD$，
∵ $∠ DAH=∠ GBA$，
∴ $∠ DAH=∠ AHD$，
∴ $AD=DH$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，∴ $AB=CD$，
∵ 四边形$DGBH$是平行四边形，∴ $DG=BH$，
∴ $AB-BH=CD-DG$，即$AH=CG$，
在$△ CFG$和$△ AEH$中：
$\begin{cases}∠ GCF=∠ HAE \\∠ CFG=∠ AEH=90° \\CG=AH\end{cases}$
∴ $△ CFG ≌ △ AEH(\mathrm{AAS})$，
∴ $EH=GF=2$。
已知$AE=CF=4$，设$DE=x$，则$DH=DE+EH=x+2$，即$AD=x+2$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$AD^2=AE^2+DE^2$，
代入得：$(x+2)^2=4^2+x^2$，
解得$x=3$，
∴ $AD=3+2=5$。
答：$AD$的长为$\boldsymbol{5}$。
解析
【分析】
探究1：要判定四边形ABCD是平行四边形，已知AD//BC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，只需证明AD=BC即可。结合已知条件，可通过ASA证明△ADE≌△CBF，从而得到AD=BC，完成平行四边形的判定。
探究2：首先由垂直于同一直线的两条直线平行得DH//BG，结合平行四边形ABCD中AB//CD，可判定四边形DGBH是平行四边形，通过角的等量代换可得AD=DH。再通过AAS证明△CFG≌△AEH，得到EH=GF=2，设DE=x，则AD=DH=x+2，在Rt△ADE中利用勾股定理列方程求解，即可得到AD的长度。
【解析】
探究1：
证明：
∵ $AD// BC$，
∴ $∠DAE=∠BCF$，
∵ $DE⊥AC$，$BF⊥AC$，
∴ $∠AED=∠CFB=90°$，
在$△ADE$和$△CBF$中：
$\begin{cases}∠DAE=∠BCF \\AE=CF \\∠AED=∠CFB\end{cases}$
∴ $△ADE ≌ △CBF(\mathrm{ASA})$，
∴ $AD=BC$，
又
∵ $AD// BC$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形。
探究2：
解：
∵ $DE⊥AC$，$BF⊥AC$，
∴ $DH// BG$，
由探究1知四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，即$HB// DG$，
∴ 四边形$DGBH$是平行四边形，
∴ $∠ABG=∠AHD$，
∵ $∠DAH=∠GBA$，
∴ $∠DAH=∠AHD$，
∴ $AD=DH$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB=CD$，
∵ 四边形$DGBH$是平行四边形，
∴ $DG=BH$，
∴ $AB-BH=CD-DG$，即$AH=CG$，
在$△CFG$和$△AEH$中：
$\begin{cases}∠GCF=∠HAE \\∠CFG=∠AEH=90° \\CG=AH\end{cases}$
∴ $△CFG ≌ △AEH(\mathrm{AAS})$，
∴ $EH=GF=2$。
已知$AE=CF=4$，设$DE=x$，则$DH=DE+EH=x+2$，即$AD=x+2$，
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，由勾股定理得：
$AD^2=AE^2+DE^2$，
代入得：$(x+2)^2=4^2+x^2$，
解得$x=3$，
∴ $AD=3+2=5$。
【答案】
探究1：四边形ABCD是平行四边形；探究2：AD的长为$\boldsymbol{5}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是平行四边形相关的综合题，解题时可从求证目标逆向推导所需条件，通过全等三角形完成边角的等量转化，第二问结合方程思想用勾股定理求解线段长，能很好地锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
探究1：要判定四边形ABCD是平行四边形，已知AD//BC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，只需证明AD=BC即可。结合已知条件，可通过ASA证明△ADE≌△CBF，从而得到AD=BC，完成平行四边形的判定。
探究2：首先由垂直于同一直线的两条直线平行得DH//BG，结合平行四边形ABCD中AB//CD，可判定四边形DGBH是平行四边形，通过角的等量代换可得AD=DH。再通过AAS证明△CFG≌△AEH，得到EH=GF=2，设DE=x，则AD=DH=x+2，在Rt△ADE中利用勾股定理列方程求解，即可得到AD的长度。
【解析】
探究1：
证明：
∵ $AD// BC$，
∴ $∠DAE=∠BCF$，
∵ $DE⊥AC$，$BF⊥AC$，
∴ $∠AED=∠CFB=90°$，
在$△ADE$和$△CBF$中：
$\begin{cases}∠DAE=∠BCF \\AE=CF \\∠AED=∠CFB\end{cases}$
∴ $△ADE ≌ △CBF(\mathrm{ASA})$，
∴ $AD=BC$，
又
∵ $AD// BC$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形。
探究2：
解：
∵ $DE⊥AC$，$BF⊥AC$，
∴ $DH// BG$，
由探究1知四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，即$HB// DG$，
∴ 四边形$DGBH$是平行四边形，
∴ $∠ABG=∠AHD$，
∵ $∠DAH=∠GBA$，
∴ $∠DAH=∠AHD$，
∴ $AD=DH$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB=CD$，
∵ 四边形$DGBH$是平行四边形，
∴ $DG=BH$，
∴ $AB-BH=CD-DG$，即$AH=CG$，
在$△CFG$和$△AEH$中：
$\begin{cases}∠GCF=∠HAE \\∠CFG=∠AEH=90° \\CG=AH\end{cases}$
∴ $△CFG ≌ △AEH(\mathrm{AAS})$，
∴ $EH=GF=2$。
已知$AE=CF=4$，设$DE=x$，则$DH=DE+EH=x+2$，即$AD=x+2$，
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，由勾股定理得：
$AD^2=AE^2+DE^2$，
代入得：$(x+2)^2=4^2+x^2$，
解得$x=3$，
∴ $AD=3+2=5$。
【答案】
探究1：四边形ABCD是平行四边形；探究2：AD的长为$\boldsymbol{5}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是平行四边形相关的综合题，解题时可从求证目标逆向推导所需条件，通过全等三角形完成边角的等量转化，第二问结合方程思想用勾股定理求解线段长，能很好地锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
即时测评
答案
1. B
2. D
2. D
如图，在$□ ABCD$中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是OA，OC的中点，求证：$BM=DN$且$BM// DN$。
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD。
∵ M，N分别是OA，OC的中点，
∴ OM = $\frac{1}{2}$OA，ON = $\frac{1}{2}$OC，
∴ OM = ON。
又∵ OB = OD，
∴ 四边形BMDN的对角线互相平分，
∴ 四边形BMDN是平行四边形，
∴ BM = DN 且 $BM// DN$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD。
∵ M，N分别是OA，OC的中点，
∴ OM = $\frac{1}{2}$OA，ON = $\frac{1}{2}$OC，
∴ OM = ON。
又∵ OB = OD，
∴ 四边形BMDN的对角线互相平分，
∴ 四边形BMDN是平行四边形，
∴ BM = DN 且 $BM// DN$。
解析
【分析】
要证明BM与DN相等且平行，可通过证明两条线段所在的四边形BMDN是平行四边形推导结论。首先回忆平行四边形的性质，已知ABCD的对角线互相平分，可得到OA=OC、OB=OD；再结合M、N是OA、OC中点的条件，可推出OM=ON，此时四边形BMDN的对角线互相平分，根据平行四边形的判定定理即可判定其为平行四边形，平行四边形的对边平行且相等，即可得到待证结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD。
∵ M，N分别是OA，OC的中点，
∴ OM = $\frac{1}{2}$OA，ON = $\frac{1}{2}$OC，
∴ OM = ON。
又
∵ OB = OD，
∴ 四边形BMDN的对角线互相平分，
∴ 四边形BMDN是平行四边形，
∴ BM = DN 且 $BM// DN$。
【答案】
BM=DN且BM//DN
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；中点的定义
【点评】
本题是平行四边形性质与判定的综合基础题，解题核心是通过已知平行四边形的对角线性质结合中点条件，推导待证四边形的对角线特征，进而利用平行四边形判定定理得到结论，有助于加深对平行四边形相关性质和判定的理解与运用。
【难度系数】
0.85
要证明BM与DN相等且平行，可通过证明两条线段所在的四边形BMDN是平行四边形推导结论。首先回忆平行四边形的性质，已知ABCD的对角线互相平分，可得到OA=OC、OB=OD；再结合M、N是OA、OC中点的条件，可推出OM=ON，此时四边形BMDN的对角线互相平分，根据平行四边形的判定定理即可判定其为平行四边形，平行四边形的对边平行且相等，即可得到待证结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD。
∵ M，N分别是OA，OC的中点，
∴ OM = $\frac{1}{2}$OA，ON = $\frac{1}{2}$OC，
∴ OM = ON。
又
∵ OB = OD，
∴ 四边形BMDN的对角线互相平分，
∴ 四边形BMDN是平行四边形，
∴ BM = DN 且 $BM// DN$。
【答案】
BM=DN且BM//DN
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；中点的定义
【点评】
本题是平行四边形性质与判定的综合基础题，解题核心是通过已知平行四边形的对角线性质结合中点条件，推导待证四边形的对角线特征，进而利用平行四边形判定定理得到结论，有助于加深对平行四边形相关性质和判定的理解与运用。
【难度系数】
0.85
如图，点A，F，C，D在同一条直线上，AF=DC，AB//DE，AB=DE，连接BC，BF，CE，EF。
探究1：用判定定理1证明四边形BCEF是平行四边形。
探究2：用判定定理2证明四边形BCEF是平行四边形。
探究3：用判定定理3证明四边形BCEF是平行四边形。
探究4：用平行四边形的定义证明四边形BCEF是平行四边形。
探究1：用判定定理1证明四边形BCEF是平行四边形。
探究2：用判定定理2证明四边形BCEF是平行四边形。
探究3：用判定定理3证明四边形BCEF是平行四边形。
探究4：用平行四边形的定义证明四边形BCEF是平行四边形。
答案
探究1 证明：
∵AB//DE，
∴∠A=∠D。
∵AF=CD，
∴AC=DF。
在△ABC 和△DEF 中，
$\begin{cases} AB=DE,\\ ∠ A=∠ D,\\ AC=DF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(SAS)。
∴BC=EF。
在△ABF 和△DEC 中，
$\begin{cases} AB=DE,\\ ∠ A=∠ D,\\ AF=DC, \end{cases}$
∴△ABF≌△DEC(SAS)。
∴BF=EC。
∴四边形BCEF 是平行四边形。
探究2 证明：由探究1，知△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE。
∴BC//EF。
∴四边形BCEF 是平行四边形。
探究3 证明：如图，连接BE，交AD于点O，连接AE，BD。
∵AB//DE，AB=DE，
∴四边形ABDE 是平行四边形。
∴AO=DO，BO=EO。
∵AF=DC，
∴OF=OC。
∴四边形BCEF 是平行四边形。
探究4 证明：由探究1，知△ABC≌△DEF。
∴∠ACB=∠DFE。
∴BC//EF。
由探究1，知△ABF≌△DEC。
∴∠AFB=∠DCE。
∴∠CFB=∠FCE。
∴BF//EC。
∴四边形BCEF 是平行四边形。
解析
【分析】
我们首先明确平行四边形的相关判定规则：①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。解题时首先利用AB//DE得到内错角∠A=∠D，结合AF=DC可推出AC=DF，先证明相关三角形全等得到对应边、角的相等关系，再对应不同的判定要求整理出符合判定的条件，即可完成证明。
【解析】
探究1（用两组对边分别相等证明）
由AB//DE可得∠A=∠D；由AF=CD，两边同时加FC得AC=DF。先通过SAS证明△ABC≌△DEF，得BC=EF；再通过SAS证明△ABF≌△DEC，得BF=EC，两组对边分别相等，因此四边形BCEF是平行四边形。
探究2（用一组对边平行且相等证明）
由探究1的全等结论可得BC=EF，且对应角∠ACB=∠DFE，内错角相等可推出BC//EF，一组对边平行且相等，因此四边形BCEF是平行四边形。
探究3（用对角线互相平分证明）
连接BE交AD于点O，先由AB//DE且AB=DE，可得四边形ABDE是平行四边形，因此对角线互相平分，即AO=DO，BO=EO；再结合AF=DC，可得AO-AF=DO-DC，即OF=OC，四边形BCEF的对角线BE和CF互相平分，因此是平行四边形。
探究4（用定义即两组对边分别平行证明）
由探究1的全等结论可得∠ACB=∠DFE，推出BC//EF；另由△ABF≌△DEC得∠AFB=∠DCE，利用等角的补角相等得∠CFB=∠FCE，推出BF//EC，两组对边分别平行，因此四边形BCEF是平行四边形。
【答案】
探究1 证明：
∵AB//DE，
∴∠A=∠D。
∵AF=CD，
∴AC=DF。
在△ABC 和△DEF 中，
$\begin{cases} AB=DE,\\ ∠ A=∠ D,\\ AC=DF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(SAS)。
∴BC=EF。
在△ABF 和△DEC 中，
$\begin{cases} AB=DE,\\ ∠ A=∠ D,\\ AF=DC, \end{cases}$
∴△ABF≌△DEC(SAS)。
∴BF=EC。
∴四边形BCEF 是平行四边形。
探究2 证明：由探究1，知△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE。
∴BC//EF。
∴四边形BCEF 是平行四边形。
探究3 证明：如图，连接BE，交AD于点O，连接AE，BD。
∵AB//DE，AB=DE，
∴四边形ABDE 是平行四边形。
∴AO=DO，BO=EO。
∵AF=DC，
∴OF=OC。
∴四边形BCEF 是平行四边形。
探究4 证明：由探究1，知△ABC≌△DEF。
∴∠ACB=∠DFE。
∴BC//EF。
由探究1，知△ABF≌△DEC。
∴∠AFB=∠DCE。
∴∠CFB=∠FCE。
∴BF//EC。
∴四边形BCEF 是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题针对平行四边形的不同判定方法设置分层证明，能帮助学生清晰区分各类判定的适用条件，解题核心是先通过全等三角形得到对应边、角的等量关系，再结合所需判定定理筛选对应条件即可完成证明，对巩固平行四边形判定的相关知识有较好的作用。
【难度系数】
0.7
我们首先明确平行四边形的相关判定规则：①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。解题时首先利用AB//DE得到内错角∠A=∠D，结合AF=DC可推出AC=DF，先证明相关三角形全等得到对应边、角的相等关系，再对应不同的判定要求整理出符合判定的条件，即可完成证明。
【解析】
探究1（用两组对边分别相等证明）
由AB//DE可得∠A=∠D；由AF=CD，两边同时加FC得AC=DF。先通过SAS证明△ABC≌△DEF，得BC=EF；再通过SAS证明△ABF≌△DEC，得BF=EC，两组对边分别相等，因此四边形BCEF是平行四边形。
探究2（用一组对边平行且相等证明）
由探究1的全等结论可得BC=EF，且对应角∠ACB=∠DFE，内错角相等可推出BC//EF，一组对边平行且相等，因此四边形BCEF是平行四边形。
探究3（用对角线互相平分证明）
连接BE交AD于点O，先由AB//DE且AB=DE，可得四边形ABDE是平行四边形，因此对角线互相平分，即AO=DO，BO=EO；再结合AF=DC，可得AO-AF=DO-DC，即OF=OC，四边形BCEF的对角线BE和CF互相平分，因此是平行四边形。
探究4（用定义即两组对边分别平行证明）
由探究1的全等结论可得∠ACB=∠DFE，推出BC//EF；另由△ABF≌△DEC得∠AFB=∠DCE，利用等角的补角相等得∠CFB=∠FCE，推出BF//EC，两组对边分别平行，因此四边形BCEF是平行四边形。
【答案】
探究1 证明：
∵AB//DE，
∴∠A=∠D。
∵AF=CD，
∴AC=DF。
在△ABC 和△DEF 中，
$\begin{cases} AB=DE,\\ ∠ A=∠ D,\\ AC=DF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(SAS)。
∴BC=EF。
在△ABF 和△DEC 中，
$\begin{cases} AB=DE,\\ ∠ A=∠ D,\\ AF=DC, \end{cases}$
∴△ABF≌△DEC(SAS)。
∴BF=EC。
∴四边形BCEF 是平行四边形。
探究2 证明：由探究1，知△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE。
∴BC//EF。
∴四边形BCEF 是平行四边形。
探究3 证明：如图，连接BE，交AD于点O，连接AE，BD。
∵AB//DE，AB=DE，
∴四边形ABDE 是平行四边形。
∴AO=DO，BO=EO。
∵AF=DC，
∴OF=OC。
∴四边形BCEF 是平行四边形。
探究4 证明：由探究1，知△ABC≌△DEF。
∴∠ACB=∠DFE。
∴BC//EF。
由探究1，知△ABF≌△DEC。
∴∠AFB=∠DCE。
∴∠CFB=∠FCE。
∴BF//EC。
∴四边形BCEF 是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题针对平行四边形的不同判定方法设置分层证明，能帮助学生清晰区分各类判定的适用条件，解题核心是先通过全等三角形得到对应边、角的等量关系，再结合所需判定定理筛选对应条件即可完成证明，对巩固平行四边形判定的相关知识有较好的作用。
【难度系数】
0.7
