1. 多项式$2x^2 - 4xy + 2x$提取公因式$2x$后，另一个因式为 （）

A.$x - 2y$
B.$x - 4y + 1$
C.$x - 2y + 1$
D.$x - 2y - 1$

1. C

【分析】
本题考查提取公因式法分解因式的应用。解题思路如下：首先明确，多项式提取公因式后，剩余的另一个因式等于原多项式每一项分别除以公因式所得商的代数和。解题时要注意，若原多项式中某一项与公因式完全相同，除以公因式后结果为1，不能漏写该项，否则会出现漏项错误。
【解析】
对多项式$2x^2 - 4xy + 2x$提取公因式$2x$，将各项分别除以$2x$计算：
1. 第一项$2x^2÷2x=x$
2. 第二项$-4xy÷2x=-2y$
3. 第三项$2x÷2x=1$
将上述结果相加，可得另一个因式为$x-2y+1$。
【答案】
C
【知识点】
提取公因式法分解因式、整式除法运算
【点评】
本题是因式分解的基础题，重点考查提取公因式的基本操作，学生解题时容易漏写最后一项的商1，做题时要细心检查每一项的运算结果，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.8

2. 因式分解：
(1) $2m^3n + 16m^2 + 4mn^3$；
(2) $2x^3 - 4x^2y^3 + 6x^2y^2$；
(3) $\frac{4}{3}x^3y^3 - \frac{2}{9}x^2y^4$；
(4) $4xy^3 - 4x^2y - y^3$。

$4x^{10}y^3$

例1 已知长方形的长为$a$，宽为$b$，它的周长为12，面积为4。求：
(1)代数式$a^2 + b^2$的值；
(2)代数式$a^2b(a - b) + ab^3$的值。

解：
由题意得：$2(a+b)=12$，$ab=4$，
因此可得$a+b=6$。
(1) 由完全平方公式变形得：
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
将$a+b=6$，$ab=4$代入：
$a^2 + b^2 = 6^2 - 2×4 = 36 - 8 = 28$
(2) 先对代数式化简：
$\begin{aligned}a^2b(a - b) + ab^3 &= a^3b - a^2b^2 + ab^3 \\&= ab(a^2 - ab + b^2) \\&= ab[(a^2 + b^2) - ab]\end{aligned}$
将$ab=4$，$a^2+b^2=28$代入：
原式$= 4×(28 - 4) = 4×24 = 96$
综上，(1) $a^2 + b^2$的值为28；(2) $a^2b(a - b) + ab^3$的值为96。

【分析】
首先根据长方形的周长和面积公式，先得出$a+b$与$ab$的取值，不需要单独求解$a$、$b$的具体数值。第(1)问利用完全平方公式的变形，将$a^2+b^2$转化为含$(a+b)$和$ab$的式子，整体代入即可计算；第(2)问先对代数式因式分解化简，将其整理为含$ab$和$a^2+b^2$的形式，再代入已知条件和第(1)问的结果计算即可，整体代入的思路可大幅简化计算过程。
【解析】
由题意得：$2(a+b)=12$，$ab=4$，
因此可得$a+b=6$。
(1) 由完全平方公式变形得：
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
将$a+b=6$，$ab=4$代入：
$a^2 + b^2 = 6^2 - 2×4 = 36 - 8 = 28$
(2) 先对代数式化简：
$\begin{aligned}a^2b(a - b) + ab^3 &= a^3b - a^2b^2 + ab^3 \\&= ab(a^2 - ab + b^2) \\&= ab[(a^2 + b^2) - ab]\end{aligned}$
将$ab=4$，$a^2+b^2=28$代入：
原式$= 4×(28 - 4) = 4×24 = 96$
【答案】
(1)$\boxed{28}$；(2)$\boxed{96}$
【知识点】
完全平方公式，因式分解，代数式求值
【点评】
本题侧重考查整式运算中的整体代入思想，无需计算$a$、$b$的具体值，通过公式变形和因式分解即可快速求解，是整式运算类的基础常考题型，熟练掌握完全平方公式的变形是解题关键。
【难度系数】
0.7

例2 父亲今年$x$岁，儿子今年$y$岁，父亲比儿子大26岁，并且$x^2 - xy = 1040$，求父亲和儿子今年分别为多少岁。

解：
由题意可得：$x - y = 26$
对$x^2 - xy$因式分解，得：
$x^2 - xy = x(x - y)$
将$x - y = 26$，$x^2 - xy = 1040$代入上式，得：
$26x = 1040$
解得$x = 40$
将$x=40$代入$x - y = 26$，得：
$y = 40 - 26 = 14$
答：父亲今年40岁，儿子今年14岁。

【分析】
首先根据“父亲比儿子大26岁”可得到年龄差的等量关系$x-y=26$；再观察已知等式$x^2-xy=1040$，可对左侧多项式提取公因式$x$进行因式分解，变形为$x(x-y)$的形式，将$x-y=26$整体代入后就能得到只含$x$的一元一次方程，解出$x$后再代入年龄差等式即可求出$y$，最后验证年龄符合实际即可。
【解析】
解：由题意可得父子年龄差满足：$x - y = 26$
对$x^2 - xy$因式分解，提取公因式$x$得：
$x^2 - xy = x(x - y)$
将$x - y = 26$，$x^2 - xy = 1040$代入上式，得：
$26x = 1040$
解得$x = 40$
将$x=40$代入$x - y = 26$，得：
$y = 40 - 26 = 14$
经检验，所得结果符合实际年龄情况。
答：父亲今年40岁，儿子今年14岁。
【答案】
父亲今年40岁，儿子今年14岁。
【知识点】
提取公因式因式分解，整体代入求值，年龄问题应用
【点评】
本题是代数知识结合生活实际的典型题型，解题核心是熟练运用提取公因式法分解多项式，通过整体代入简化计算，避免了复杂的方程组求解，很好地考察了学生的因式分解能力和整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.7

如图是某体育公园内的草坪示意图，该草坪的两端为半圆形，中间是长方形。已知半圆形草坪的半径为$ r $，长方形草坪的长为$ l $。
(1)利用因式分解表示草坪的面积；
(2)当$ r = 30 \ \mathrm{m} $，$ l = 100 \ \mathrm{m} $时，求草坪的面积。（$π$取3.14）

(1) 由题图可知，草坪的面积=长方形的面积+圆的面积，即草坪的面积为$2rl+π r^2=r(2l+π r)$。
(2) 当$r=30 \ \mathrm{m}$，$l=100 \ \mathrm{m}$时，
草坪的面积为$r(2l+π r)$
$=30×(2×100+3.14×30)$
$=30×294.2$
$=8\ 826(\mathrm{m}^2)$。
所以草坪的面积为$8\ 826 \ \mathrm{m}^2$。

【分析】
(1) 首先观察图形结构：草坪由中间的长方形和两端的两个半圆组成，两个半圆可拼接为一个半径为$r$的整圆。先分别计算两部分面积再求和，最后对所得的代数式提取公因式完成因式分解即可。(2) 第二问直接将$r$、$l$、$π$的数值代入第一问因式分解后的式子，按照运算顺序计算即可得到结果，使用因式分解后的式子计算可以简化运算过程。
【解析】
(1) 长方形的宽等于半圆的直径即$2r$，因此长方形面积=长×宽$=l× 2r=2rl$；
两个半圆刚好组成一个完整的圆，圆的面积$=π r^2$；
因此草坪总面积=长方形面积+圆的面积$=2rl+π r^2$，
提取公因式$r$，因式分解得：$2rl+π r^2=r(2l+π r)$。
(2) 将$r=30 \ \mathrm{m}$，$l=100 \ \mathrm{m}$，$π=3.14$代入$r(2l+π r)$得：
原式$=30×(2× 100 + 3.14× 30)$
$=30×(200 + 94.2)$
$=30× 294.2$
$=8826(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $r(2l+π r)$
(2) $8826 \ \mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式、提公因式法因式分解、代数式求值
【点评】
本题结合生活中的实际图形出题，解题的关键是正确拆分组合图形，准确计算各部分面积，掌握提公因式法因式分解的方法，代入求值时注意运算顺序即可顺利求解。
【难度系数】
0.8